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13.【数学应用】如图，某长方形广场的四角都有一块半径相等的四分之一圆形的草地，中间有一个与草地半径相等的圆形喷水池。若圆形的半径为$r$ m，长方形的长为$a$ m，宽为$b$ m，请用式子表示广场空地的面积。
答案
$(ab-2π r^2)\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
要求广场空地的面积，遵循“整体面积减去非空地面积”的思路求解即可：首先计算长方形广场的总面积，再计算所有草地和喷水池的总面积，最后将二者作差就是空地面积。其中四个角的四分之一圆形草地半径都相等，4个四分之一圆可以拼接成1个完整的圆形，再加上中间1个半径相同的圆形喷水池，非空地部分总面积就是2个等圆的面积和。
【解析】
解：首先计算长方形广场的总面积：
$S_{\mathrm{长方形}} = 长 × 宽 = ab \ \mathrm{m}^2$
再计算非空地部分的总面积：
4个四分之一圆形草地的总面积为：$4×\frac{1}{4}π r^2 = π r^2 \ \mathrm{m}^2$
中间圆形喷水池的面积为：$π r^2 \ \mathrm{m}^2$
因此非空地总面积为：$π r^2 + π r^2 = 2π r^2 \ \mathrm{m}^2$
最后计算空地面积：
$S_{\mathrm{空地}} = S_{\mathrm{长方形}} - S_{\mathrm{非空地}} = ab - 2π r^2 \ \mathrm{m}^2$
【答案】
$(ab-2π r^2)\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
长方形面积计算；圆的面积计算；列代数式
【点评】
本题属于组合图形面积的基础应用题，解题的核心是利用拼接法将分散的四分之一圆转化为整圆简化计算，求解时注意不要遗漏面积单位。
【难度系数】
0.8
要求广场空地的面积，遵循“整体面积减去非空地面积”的思路求解即可：首先计算长方形广场的总面积，再计算所有草地和喷水池的总面积，最后将二者作差就是空地面积。其中四个角的四分之一圆形草地半径都相等，4个四分之一圆可以拼接成1个完整的圆形，再加上中间1个半径相同的圆形喷水池，非空地部分总面积就是2个等圆的面积和。
【解析】
解：首先计算长方形广场的总面积：
$S_{\mathrm{长方形}} = 长 × 宽 = ab \ \mathrm{m}^2$
再计算非空地部分的总面积：
4个四分之一圆形草地的总面积为：$4×\frac{1}{4}π r^2 = π r^2 \ \mathrm{m}^2$
中间圆形喷水池的面积为：$π r^2 \ \mathrm{m}^2$
因此非空地总面积为：$π r^2 + π r^2 = 2π r^2 \ \mathrm{m}^2$
最后计算空地面积：
$S_{\mathrm{空地}} = S_{\mathrm{长方形}} - S_{\mathrm{非空地}} = ab - 2π r^2 \ \mathrm{m}^2$
【答案】
$(ab-2π r^2)\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
长方形面积计算；圆的面积计算；列代数式
【点评】
本题属于组合图形面积的基础应用题，解题的核心是利用拼接法将分散的四分之一圆转化为整圆简化计算，求解时注意不要遗漏面积单位。
【难度系数】
0.8
1. 当$x=3$，$y=-2$时，代数式$xy - \frac{1}{2}y^2$的值是（
A.4
B.$-8$
C.$-4$
D.8
B
）。A.4
B.$-8$
C.$-4$
D.8
答案
1. B
解析
【分析】
这是一道代数式求值的基础题，解题思路如下：首先将题目给出的x、y的取值代入原代数式，注意代入负数时要添加括号避免符号出错；再按照有理数混合运算的顺序计算，先算乘方，再算乘法，最后算减法，就能得出结果。
【解析】
解：把$x=3$，$y=-2$代入代数式$xy - \frac{1}{2}y^2$中：
第一步，代入得：
原式$=3×(-2) - \frac{1}{2}×(-2)^2$
第二步，先算乘方：$(-2)^2=4$，原式变为：
$= -6 - \frac{1}{2}×4$
第三步，再算乘法：$\frac{1}{2}×4=2$，原式变为：
$= -6 - 2$
第四步，计算减法得：
$= -8$
所以计算结果对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值、有理数混合运算
【点评】
本题是代数式计算的基础题，重点考查代入求值的规范和有理数运算顺序，解题时要注意负数乘方的符号判断，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.7
这是一道代数式求值的基础题，解题思路如下：首先将题目给出的x、y的取值代入原代数式，注意代入负数时要添加括号避免符号出错；再按照有理数混合运算的顺序计算，先算乘方，再算乘法，最后算减法，就能得出结果。
【解析】
解：把$x=3$，$y=-2$代入代数式$xy - \frac{1}{2}y^2$中：
第一步，代入得：
原式$=3×(-2) - \frac{1}{2}×(-2)^2$
第二步，先算乘方：$(-2)^2=4$，原式变为：
$= -6 - \frac{1}{2}×4$
第三步，再算乘法：$\frac{1}{2}×4=2$，原式变为：
$= -6 - 2$
第四步，计算减法得：
$= -8$
所以计算结果对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值、有理数混合运算
【点评】
本题是代数式计算的基础题，重点考查代入求值的规范和有理数运算顺序，解题时要注意负数乘方的符号判断，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.7
2.如图所示的是一个数值转换器，若输入的a的值为2，则输出的值为（
A.2
B.0
C.1
D.−1
B
）。A.2
B.0
C.1
D.−1
答案
2. B
解析
【分析】首先需要明确数值转换器的运算顺序：输入a后，先计算a的平方，再减去4，最后将所得的差乘以0.5得到输出结果。解题时先根据运算顺序列出对应的代数式，再将a=2代入式子按有理数运算规则逐步计算即可。
【解析】根据数值转换器的运算流程，可得输出结果的代数式为：$(a^2 - 4) × 0.5$
将$a=2$代入式子中计算：
1. 先算乘方：$2^2=4$
2. 再算减法：$4 - 4=0$
3. 最后算乘法：$0 × 0.5=0$
因此输出的值为0，对应选项B。
【答案】B
【知识点】代数式求值；有理数混合运算
【点评】本题属于基础运算类题型，解题核心是准确理解程序对应的运算顺序，按照有理数运算规则逐步计算即可，注意运算时不要搞错步骤顺序。
【难度系数】0.9
【解析】根据数值转换器的运算流程，可得输出结果的代数式为：$(a^2 - 4) × 0.5$
将$a=2$代入式子中计算：
1. 先算乘方：$2^2=4$
2. 再算减法：$4 - 4=0$
3. 最后算乘法：$0 × 0.5=0$
因此输出的值为0，对应选项B。
【答案】B
【知识点】代数式求值；有理数混合运算
【点评】本题属于基础运算类题型，解题核心是准确理解程序对应的运算顺序，按照有理数运算规则逐步计算即可，注意运算时不要搞错步骤顺序。
【难度系数】0.9
3.若$a$，$b$互为相反数，$x$，$y$互为倒数，则
$(a+b)+2xy$的值是(
A.2
B.3
C.3.5
D.4
$(a+b)+2xy$的值是(
A
)。A.2
B.3
C.3.5
D.4
答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数和倒数的核心性质：互为相反数的两个数之和为0，互为倒数的两个数之积为1。随后将这两个性质得到的结论代入待求的代数式中，直接计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵a，b互为相反数，根据相反数的性质可得$a+b=0$；
∵x，y互为倒数，根据倒数的性质可得$xy=1$。
把$a+b=0$，$xy=1$代入$(a+b)+2xy$中：
原式$=0 + 2×1 = 2$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查基本概念的应用，只要牢记相反数与倒数的性质，直接代入计算即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相反数和倒数的核心性质：互为相反数的两个数之和为0，互为倒数的两个数之积为1。随后将这两个性质得到的结论代入待求的代数式中，直接计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵a，b互为相反数，根据相反数的性质可得$a+b=0$；
∵x，y互为倒数，根据倒数的性质可得$xy=1$。
把$a+b=0$，$xy=1$代入$(a+b)+2xy$中：
原式$=0 + 2×1 = 2$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查基本概念的应用，只要牢记相反数与倒数的性质，直接代入计算即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4.在关系式$\frac{1}{f}=\frac{1}{v}+\frac{1}{u}$中，当$v=5,u=3$时，$f$的值是（
A.8
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{8}{15}$
D.$\frac{15}{8}$
D
）。A.8
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{8}{15}$
D.$\frac{15}{8}$
答案
4. D
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出了含三个变量的等式，已知v和u的取值求f，第一步先将已知的v=5、u=3代入给定的关系式中，先计算等式右侧$\frac{1}{v}+\frac{1}{u}$的结果，再根据倒数的含义求出f的值即可。计算异分母分数加法时要先通分，再按同分母分数加法规则计算，最后求倒数时注意不要把分子分母写反。
【解析】
解：将$v=5$，$u=3$代入关系式$\frac{1}{f}=\frac{1}{v}+\frac{1}{u}$，可得：
$\frac{1}{f}=\frac{1}{5}+\frac{1}{3}$
对右侧异分母分数通分，分母的最小公倍数是15，因此：
$\frac{1}{5}+\frac{1}{3}=\frac{3}{15}+\frac{5}{15}=\frac{8}{15}$
即$\frac{1}{f}=\frac{8}{15}$，根据倒数的定义，分子分母互换位置可得$f=\frac{15}{8}$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值、异分母分数加法、倒数的计算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查代入求值的方法，计算过程中要注意异分母通分的规则，以及最后求f时不要误将$\frac{8}{15}$直接作为结果，需注意倒数的转换。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目给出了含三个变量的等式，已知v和u的取值求f，第一步先将已知的v=5、u=3代入给定的关系式中，先计算等式右侧$\frac{1}{v}+\frac{1}{u}$的结果，再根据倒数的含义求出f的值即可。计算异分母分数加法时要先通分，再按同分母分数加法规则计算，最后求倒数时注意不要把分子分母写反。
【解析】
解：将$v=5$，$u=3$代入关系式$\frac{1}{f}=\frac{1}{v}+\frac{1}{u}$，可得：
$\frac{1}{f}=\frac{1}{5}+\frac{1}{3}$
对右侧异分母分数通分，分母的最小公倍数是15，因此：
$\frac{1}{5}+\frac{1}{3}=\frac{3}{15}+\frac{5}{15}=\frac{8}{15}$
即$\frac{1}{f}=\frac{8}{15}$，根据倒数的定义，分子分母互换位置可得$f=\frac{15}{8}$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值、异分母分数加法、倒数的计算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查代入求值的方法，计算过程中要注意异分母通分的规则，以及最后求f时不要误将$\frac{8}{15}$直接作为结果，需注意倒数的转换。
【难度系数】
0.8
5.有一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字比十位上的数字大5，用代数式表示这个两位数是
11a+5
；当$a=4$时，这个两位数是49
。答案
5. 11a+5 49
解析
【分析】
解题时首先要明确两位数的构成规则：两位数的数值=十位数字×10 + 个位数字。第一步先根据“个位上的数字比十位上的数字大5”的条件，用含a的式子表示出个位数字；再按照两位数的构成规则列出代数式并化简；最后将a=4代入化简后的代数式计算，就能得到对应的具体两位数。
【解析】
1. 表示这个两位数：
已知十位数字为a，个位数字比十位数字大5，因此个位数字为$a+5$。
根据两位数的构成规则，这个两位数可表示为：
$10a + (a+5) = 11a + 5$
2. 当$a=4$时，代入$11a+5$计算：
$11×4 +5 = 44 +5 = 49$
【答案】
$11a+5$；$49$
【知识点】
列代数式；代数式求值
【点评】
本题的核心是掌握多位数的数位表示意义，注意十位上的数字代表的是几个十，不能直接将十位、个位数字拼接书写代数式，是基础的代数式应用类题目。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确两位数的构成规则：两位数的数值=十位数字×10 + 个位数字。第一步先根据“个位上的数字比十位上的数字大5”的条件，用含a的式子表示出个位数字；再按照两位数的构成规则列出代数式并化简；最后将a=4代入化简后的代数式计算，就能得到对应的具体两位数。
【解析】
1. 表示这个两位数：
已知十位数字为a，个位数字比十位数字大5，因此个位数字为$a+5$。
根据两位数的构成规则，这个两位数可表示为：
$10a + (a+5) = 11a + 5$
2. 当$a=4$时，代入$11a+5$计算：
$11×4 +5 = 44 +5 = 49$
【答案】
$11a+5$；$49$
【知识点】
列代数式；代数式求值
【点评】
本题的核心是掌握多位数的数位表示意义，注意十位上的数字代表的是几个十，不能直接将十位、个位数字拼接书写代数式，是基础的代数式应用类题目。
【难度系数】
0.85
