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11.【数学应用】一根木棍原长 m m，如果从第一天起每天折断它的一半。
(1)请写出木棍第一天、第二天、第三天的长度分别是多少；
(2)试推断第 n 天木棍的长度是多少。
(1)请写出木棍第一天、第二天、第三天的长度分别是多少；
(2)试推断第 n 天木棍的长度是多少。
答案
(1) $\frac{m}{2}\ \mathrm{m},\frac{m}{4}\ \mathrm{m},\frac{m}{8}\ \mathrm{m}$
(2) $\frac{m}{2^n}\ \mathrm{m}$
(2) $\frac{m}{2^n}\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
解题的核心是理解“每天折断它的一半”的含义：每天剩余的木棍长度是前一天剩余长度的$\frac{1}{2}$。先按照这个数量关系依次计算前三天的木棍长度，再观察前三天结果的变化规律，就能归纳推导出第n天的木棍长度。
【解析】
(1) 已知木棍原长为$m\ \mathrm{m}$，每天剩余长度为前一天的$\frac{1}{2}$：
第一天剩余长度：$m×\frac{1}{2}=\frac{m}{2}\ \mathrm{m}$
第二天剩余长度：$\frac{m}{2}×\frac{1}{2}=\frac{m}{4}\ \mathrm{m}$
第三天剩余长度：$\frac{m}{4}×\frac{1}{2}=\frac{m}{8}\ \mathrm{m}$
(2) 观察前三天的长度规律：
第1天长度为$\frac{m}{2^1}\ \mathrm{m}$，第2天长度为$\frac{m}{2^2}\ \mathrm{m}$，第3天长度为$\frac{m}{2^3}\ \mathrm{m}$，以此类推，第$n$天木棍的长度为$\frac{m}{2^n}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\frac{m}{2}\ \mathrm{m},\frac{m}{4}\ \mathrm{m},\frac{m}{8}\ \mathrm{m}$
(2) $\frac{m}{2^n}\ \mathrm{m}$
【知识点】
乘方的意义，列代数式，规律探究
【点评】
本题结合实际场景考查数量变化规律的归纳能力，解题关键是明确每天长度和前一天长度的数量关系，结合乘方的概念推导一般结论，能锻炼逻辑推理和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.8
解题的核心是理解“每天折断它的一半”的含义：每天剩余的木棍长度是前一天剩余长度的$\frac{1}{2}$。先按照这个数量关系依次计算前三天的木棍长度，再观察前三天结果的变化规律，就能归纳推导出第n天的木棍长度。
【解析】
(1) 已知木棍原长为$m\ \mathrm{m}$，每天剩余长度为前一天的$\frac{1}{2}$：
第一天剩余长度：$m×\frac{1}{2}=\frac{m}{2}\ \mathrm{m}$
第二天剩余长度：$\frac{m}{2}×\frac{1}{2}=\frac{m}{4}\ \mathrm{m}$
第三天剩余长度：$\frac{m}{4}×\frac{1}{2}=\frac{m}{8}\ \mathrm{m}$
(2) 观察前三天的长度规律：
第1天长度为$\frac{m}{2^1}\ \mathrm{m}$，第2天长度为$\frac{m}{2^2}\ \mathrm{m}$，第3天长度为$\frac{m}{2^3}\ \mathrm{m}$，以此类推，第$n$天木棍的长度为$\frac{m}{2^n}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\frac{m}{2}\ \mathrm{m},\frac{m}{4}\ \mathrm{m},\frac{m}{8}\ \mathrm{m}$
(2) $\frac{m}{2^n}\ \mathrm{m}$
【知识点】
乘方的意义，列代数式，规律探究
【点评】
本题结合实际场景考查数量变化规律的归纳能力，解题关键是明确每天长度和前一天长度的数量关系，结合乘方的概念推导一般结论，能锻炼逻辑推理和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.8
12.如图,根据图中信息,用代数式表示图中阴影部分的面积。
答案
$S_{\mathrm{阴影}}=(a+b)^2 - a^2 - b^2$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，直接计算阴影这个不规则图形的面积比较复杂，我们可以用“整体减空白”的割补法求解：首先观察到整体是边长为$(a+b)$的大正方形，空白部分是4个等腰直角三角形，其中2个直角边长为$a$，2个直角边长为$b$，先分别算出大正方形的面积、所有空白部分的总面积，再用大正方形面积减去空白总面积即可得到阴影部分的面积。
【解析】
1. 计算大正方形的总面积：
大正方形的边长为$a+b$，因此总面积为$S_{\mathrm{总}}=(a+b)^2$。
2. 计算空白部分的总面积：
单个直角边为$a$的等腰直角三角形面积为$\frac{1}{2}a^2$，2个该类三角形的总面积为$2×\frac{1}{2}a^2=a^2$；
单个直角边为$b$的等腰直角三角形面积为$\frac{1}{2}b^2$，2个该类三角形的总面积为$2×\frac{1}{2}b^2=b^2$；
因此空白部分总面积为$a^2+b^2$。
3. 计算阴影部分面积：
阴影面积 = 大正方形总面积 - 空白部分总面积，即$S_{\mathrm{阴影}}=(a+b)^2 - a^2 - b^2$。
【答案】
$S_{\mathrm{阴影}}=(a+b)^2 - a^2 - b^2$
【知识点】
割补法求面积，正方形面积计算，列代数式
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，核心是将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差，割补思想是几何面积计算的常用方法，熟练掌握可大幅降低解题难度。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，直接计算阴影这个不规则图形的面积比较复杂，我们可以用“整体减空白”的割补法求解：首先观察到整体是边长为$(a+b)$的大正方形，空白部分是4个等腰直角三角形，其中2个直角边长为$a$，2个直角边长为$b$，先分别算出大正方形的面积、所有空白部分的总面积，再用大正方形面积减去空白总面积即可得到阴影部分的面积。
【解析】
1. 计算大正方形的总面积：
大正方形的边长为$a+b$，因此总面积为$S_{\mathrm{总}}=(a+b)^2$。
2. 计算空白部分的总面积：
单个直角边为$a$的等腰直角三角形面积为$\frac{1}{2}a^2$，2个该类三角形的总面积为$2×\frac{1}{2}a^2=a^2$；
单个直角边为$b$的等腰直角三角形面积为$\frac{1}{2}b^2$，2个该类三角形的总面积为$2×\frac{1}{2}b^2=b^2$；
因此空白部分总面积为$a^2+b^2$。
3. 计算阴影部分面积：
阴影面积 = 大正方形总面积 - 空白部分总面积，即$S_{\mathrm{阴影}}=(a+b)^2 - a^2 - b^2$。
【答案】
$S_{\mathrm{阴影}}=(a+b)^2 - a^2 - b^2$
【知识点】
割补法求面积，正方形面积计算，列代数式
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，核心是将不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差，割补思想是几何面积计算的常用方法，熟练掌握可大幅降低解题难度。
【难度系数】
0.7
