9.如图 3-2-29,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是边 AD,CD 上的点,AE=ED,DF=$\frac{1}{4}$DC,连接 EF 并延长,交 BC 的延长线于点 G.
(1)求证:△ABE∽△DEF;
(2)若正方形的边长为 4,求 BG 的长.

9. (1) 证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形，
$\therefore AD=AB=DC=BC,∠ A=∠ D=90°.$
$\because AE=ED,\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}.$
$\because DF=\frac{1}{4}DC,\therefore \frac{DF}{DE}=\frac{1}{2}.$
$\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{DF}{DE}.\therefore △ ABE ∽ △ DEF.$
(2) 解:$\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形，
$\therefore ED// BG.\therefore \frac{ED}{CG}=\frac{DF}{CF}.$
又$\because DF=\frac{1}{4}DC$,正方形的边长为 4，
$\therefore ED=2,CG=6.$
$\therefore BG=BC+CG=10.$

10.如图 3-2-30,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$AC=10\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$.点 $M$ 从点 $C$ 出发,以2 cm/s 的速度沿 $CA$ 向点 $A$ 匀速运动,点 $N$ 从点 $B$ 出发,以 1 cm/s 的速度沿 $BC$ 向点 $C$匀速运动,当一个点到达终点时,另一点也随即停止运动.
(1)经过几秒,$△ MCN$ 的面积等于$△ ABC$ 面积的$\frac{2}{5}$?
(2)经过几秒,$△ MCN$ 与$△ ABC$ 相似?

10. 解:(1)设经过 $x$ s,$△ MCN$ 的面积等于$△ ABC$ 面积的$\frac{2}{5}$，
则 $\frac{1}{2}× 2x(8-x)=\frac{1}{2}× 8× 10× \frac{2}{5}$，
解得 $x_1=x_2=4.$
答:经过 4 s,$△ MCN$ 的面积等于$△ ABC$ 面积的$\frac{2}{5}.$
(2)设经过 $t$ s,$△ MCN$ 与$△ ABC$ 相似.
$\because ∠ C=∠ C,$
$\therefore$ 可分为两种情况：
①$\frac{MC}{BC}=\frac{NC}{AC}$,即$\frac{2t}{8}=\frac{8-t}{10}$，
解得 $t=\frac{16}{7}$；
②$\frac{MC}{AC}=\frac{NC}{BC}$,即$\frac{2t}{10}=\frac{8-t}{8}$，
解得 $t=\frac{40}{13}.$
答:经过 $\frac{16}{7}$ s 或 $\frac{40}{13}$ s,$△ MCN$ 与$△ ABC$ 相似.