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5. 如图13,已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是°.
答案
$\boldsymbol{70}$
解析
【分析】
解题时先回忆三角形内切圆的相关性质：内切圆的圆心（内心）是三角形三个内角的角平分线的交点，同时圆的切线垂直于过切点的半径。首先利用角平分线的性质求出∠OBD的度数，再结合切线性质得到直角∠ODB，最后在△BOD中用内角和定理计算∠BOD即可。
【解析】
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，
∴ O是△ABC的内心，OB平分∠ABC，
∴ $∠ OBD = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 40° = 20°$，
∵ BC与⊙O相切于点D，
∴ OD⊥BC，即$∠ ODB = 90°$，
在△BOD中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BOD = 180° - ∠ ODB - ∠ OBD = 180° - 90° - 20° = 70°$。
【答案】
$\boldsymbol{70}$
【知识点】
三角形内心的性质；切线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，重点考查三角形内切圆相关性质的综合应用，解题的关键是牢记内心是角平分线的交点、切线垂直于过切点的半径这两个核心性质，再结合三角形内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆三角形内切圆的相关性质：内切圆的圆心（内心）是三角形三个内角的角平分线的交点，同时圆的切线垂直于过切点的半径。首先利用角平分线的性质求出∠OBD的度数，再结合切线性质得到直角∠ODB，最后在△BOD中用内角和定理计算∠BOD即可。
【解析】
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，
∴ O是△ABC的内心，OB平分∠ABC，
∴ $∠ OBD = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 40° = 20°$，
∵ BC与⊙O相切于点D，
∴ OD⊥BC，即$∠ ODB = 90°$，
在△BOD中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BOD = 180° - ∠ ODB - ∠ OBD = 180° - 90° - 20° = 70°$。
【答案】
$\boldsymbol{70}$
【知识点】
三角形内心的性质；切线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，重点考查三角形内切圆相关性质的综合应用，解题的关键是牢记内心是角平分线的交点、切线垂直于过切点的半径这两个核心性质，再结合三角形内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 如图14,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,交BC于点F.
(1)若∠ABC=40°,∠C=80°,求∠CBD的度数;
(2)求证:DB=DE.
(1)若∠ABC=40°,∠C=80°,求∠CBD的度数;
(2)求证:DB=DE.
答案
解：(1) 在△ABC中，
∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 40° - 80° = 60°。
∵ 点E是△ABC的内心，
∴ AD平分∠BAC，
∴ ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 30°。
又∵ ∠CBD与∠CAD都是弧CD所对的圆周角，
∴ ∠CBD = ∠CAD = 30°。
(2) 证明：连接BE，
∵ 点E是△ABC的内心，
∴ ∠BAE = ∠CAE，∠ABE = ∠CBE。
∵ ∠DEB = ∠BAE + ∠ABE，
∠DBE = ∠CBD + ∠CBE，
又∵ ∠CBD = ∠CAE = ∠BAE，
∴ ∠DEB = ∠DBE，
∴ DB = DE。
∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 40° - 80° = 60°。
∵ 点E是△ABC的内心，
∴ AD平分∠BAC，
∴ ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = 30°。
又∵ ∠CBD与∠CAD都是弧CD所对的圆周角，
∴ ∠CBD = ∠CAD = 30°。
(2) 证明：连接BE，
∵ 点E是△ABC的内心，
∴ ∠BAE = ∠CAE，∠ABE = ∠CBE。
∵ ∠DEB = ∠BAE + ∠ABE，
∠DBE = ∠CBD + ∠CBE，
又∵ ∠CBD = ∠CAE = ∠BAE，
∴ ∠DEB = ∠DBE，
∴ DB = DE。
解析
【分析】
(1) 求∠CBD的度数可结合圆周角定理转化为求同弧所对的∠CAD的度数：先利用三角形内角和计算△ABC中∠BAC的度数，再根据三角形内心的性质可知AD平分∠BAC，即可求出∠CAD，进而得到∠CBD的度数。
(2) 证明DB=DE可通过“等角对等边”推导，即证明∠DEB=∠DBE：先连接BE，利用内心的性质得到两组相等的角，再结合三角形外角的性质分别表示∠DEB和∠DBE，通过圆周角定理完成角的等量代换，即可证明两个角相等，进而得到边相等。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ C = 180° - 40° - 80° = 60°$
∵点E是△ABC的内心，内心为三角形三条角平分线的交点
∴AD平分$∠ BAC$
∴$∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 60° = 30°$
又
∵$∠ CBD$与$∠ CAD$都是弧CD所对的圆周角，同弧所对的圆周角相等
∴$∠ CBD = ∠ CAD = 30°$
(2) 证明：连接BE
∵点E是△ABC的内心
∴AE平分$∠ BAC$，BE平分$∠ ABC$，即$∠ BAE = ∠ CAE$，$∠ ABE = ∠ CBE$
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得
$∠ DEB = ∠ BAE + ∠ ABE$
$∠ DBE = ∠ CBD + ∠ CBE$
又
∵$∠ CBD$和$∠ CAE$都是弧CD所对的圆周角，故$∠ CBD = ∠ CAE = ∠ BAE$
∴$∠ DEB = ∠ DBE$
根据等角对等边，可得$DB = DE$
【答案】
(1) $\boxed{30°}$；(2) 证明成立，$DB=DE$
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础常考题，解题核心是通过角平分线性质、圆周角定理完成角的等量代换，逻辑链条清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠CBD的度数可结合圆周角定理转化为求同弧所对的∠CAD的度数：先利用三角形内角和计算△ABC中∠BAC的度数，再根据三角形内心的性质可知AD平分∠BAC，即可求出∠CAD，进而得到∠CBD的度数。
(2) 证明DB=DE可通过“等角对等边”推导，即证明∠DEB=∠DBE：先连接BE，利用内心的性质得到两组相等的角，再结合三角形外角的性质分别表示∠DEB和∠DBE，通过圆周角定理完成角的等量代换，即可证明两个角相等，进而得到边相等。
【解析】
(1) 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ C = 180° - 40° - 80° = 60°$
∵点E是△ABC的内心，内心为三角形三条角平分线的交点
∴AD平分$∠ BAC$
∴$∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 60° = 30°$
又
∵$∠ CBD$与$∠ CAD$都是弧CD所对的圆周角，同弧所对的圆周角相等
∴$∠ CBD = ∠ CAD = 30°$
(2) 证明：连接BE
∵点E是△ABC的内心
∴AE平分$∠ BAC$，BE平分$∠ ABC$，即$∠ BAE = ∠ CAE$，$∠ ABE = ∠ CBE$
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得
$∠ DEB = ∠ BAE + ∠ ABE$
$∠ DBE = ∠ CBD + ∠ CBE$
又
∵$∠ CBD$和$∠ CAE$都是弧CD所对的圆周角，故$∠ CBD = ∠ CAE = ∠ BAE$
∴$∠ DEB = ∠ DBE$
根据等角对等边，可得$DB = DE$
【答案】
(1) $\boxed{30°}$；(2) 证明成立，$DB=DE$
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础常考题，解题核心是通过角平分线性质、圆周角定理完成角的等量代换，逻辑链条清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
1. 如图15,正五边形ABCDE内接于$\odot O$,点P是$\overset{\frown}{AE}$上一点,则$∠ CPD$的度数是 （）
A.$30°$
B.$36°$
C.$45°$
D.$72°$
A.$30°$
B.$36°$
C.$45°$
D.$72°$
答案
B
解析
【分析】
解决本题的思路如下：第一步，回忆正多边形内接于圆的性质：正n边形内接于圆时，各边所对的圆心角相等，总度数为360°；第二步，明确要求的∠CPD是圆周角，根据圆周角定理，它的度数等于所对弧的圆心角度数的一半，所以先找到∠CPD所对的弧是$\overset{\frown}{CD}$；第三步，先计算$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角度数，再除以2即可得到∠CPD的度数。
【解析】
连接OC、OD。
∵正五边形ABCDE内接于$\odot O$，
∴各边所对的圆心角相等，
∴$∠ COD=360°÷5=72°$。
∵$∠ CPD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，$∠ COD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ CPD=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×72°=36°$。
【答案】
B
【知识点】
1.正多边形与圆
2.圆周角定理
【点评】
本题考查正多边形内接于圆的性质和圆周角定理的应用，解题的关键是确定所求圆周角对应的弧，先求出对应弧的圆心角度数再计算，是基础类题型。
【难度系数】
0.8
解决本题的思路如下：第一步，回忆正多边形内接于圆的性质：正n边形内接于圆时，各边所对的圆心角相等，总度数为360°；第二步，明确要求的∠CPD是圆周角，根据圆周角定理，它的度数等于所对弧的圆心角度数的一半，所以先找到∠CPD所对的弧是$\overset{\frown}{CD}$；第三步，先计算$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角度数，再除以2即可得到∠CPD的度数。
【解析】
连接OC、OD。
∵正五边形ABCDE内接于$\odot O$，
∴各边所对的圆心角相等，
∴$∠ COD=360°÷5=72°$。
∵$∠ CPD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，$∠ COD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ CPD=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×72°=36°$。
【答案】
B
【知识点】
1.正多边形与圆
2.圆周角定理
【点评】
本题考查正多边形内接于圆的性质和圆周角定理的应用，解题的关键是确定所求圆周角对应的弧，先求出对应弧的圆心角度数再计算，是基础类题型。
【难度系数】
0.8
2. 如图16,已知正六边形ABCDEF的半径为2,且点O为正六边形ABCDEF的中心,则阴影部分的面积为 ()
A.$\sqrt{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{2π}{3}-\sqrt{3}$
D.$\dfrac{π}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
A.$\sqrt{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{2π}{3}-\sqrt{3}$
D.$\dfrac{π}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
答案
C
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，首先观察阴影部分是不规则图形，可转化为规则图形的面积差求解。首先回忆正六边形的性质：正六边形的中心角为$360°÷6=60°$，且正六边形的半径等于边长，因此中心与相邻两个顶点构成的三角形是边长为2的等边三角形。阴影部分面积等于对应圆心角为$60°$的扇形面积减去这个等边三角形的面积，分别计算两个规则图形的面积再作差即可。
【解析】
解：
∵正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，正六边形的半径为2，
∴阴影部分对应的扇形圆心角为$60°$，半径$r=2$，
扇形面积：$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60π× 2^2}{360}=\frac{2π}{3}$，
又
∵正六边形的半径等于边长，
∴中心与相邻两顶点构成的三角形是边长为2的等边三角形，
等边三角形面积：$S_{△}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}× 2^2=\sqrt{3}$，
∴阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{扇形}-S_{△}=\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
正六边形的性质；扇形面积计算；等边三角形面积计算
【点评】
本题考查组合图形面积的求解，解题的核心是将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差，需要熟练掌握正六边形的特征及常见规则图形的面积公式。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，首先观察阴影部分是不规则图形，可转化为规则图形的面积差求解。首先回忆正六边形的性质：正六边形的中心角为$360°÷6=60°$，且正六边形的半径等于边长，因此中心与相邻两个顶点构成的三角形是边长为2的等边三角形。阴影部分面积等于对应圆心角为$60°$的扇形面积减去这个等边三角形的面积，分别计算两个规则图形的面积再作差即可。
【解析】
解：
∵正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，正六边形的半径为2，
∴阴影部分对应的扇形圆心角为$60°$，半径$r=2$，
扇形面积：$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60π× 2^2}{360}=\frac{2π}{3}$，
又
∵正六边形的半径等于边长，
∴中心与相邻两顶点构成的三角形是边长为2的等边三角形，
等边三角形面积：$S_{△}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}× 2^2=\sqrt{3}$，
∴阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{扇形}-S_{△}=\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
正六边形的性质；扇形面积计算；等边三角形面积计算
【点评】
本题考查组合图形面积的求解，解题的核心是将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差，需要熟练掌握正六边形的特征及常见规则图形的面积公式。
【难度系数】
0.7
