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3. 我国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注中提到了“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以实现对$π$的近似估算. 如图17，$\odot O$的半径为1，则圆的面积为$π$，若将其内接正十二边形的面积作为$\odot O$面积的近似值. 据此，可得$π$的估计值为（）
A.$\sqrt{10}$
B.3.14
C.3.13
D.3
A.$\sqrt{10}$
B.3.14
C.3.13
D.3
答案
D
解析
【分析】
要得到π的估计值，本质是求半径为1的圆的内接正十二边形的面积。我们可以将正十二边形拆分为12个全等的等腰三角形，每个三角形的腰长等于圆的半径1，顶角为正十二边形的中心角，先计算单个等腰三角形的面积，再乘12即可得到正十二边形的总面积，也就是π的近似值。
【解析】
1. 求正十二边形的中心角：
圆周角为$360°$，正十二边形每个中心角的度数为$\frac{360°}{12}=30°$。
2. 计算单个等腰三角形的面积：
每个等腰三角形的两条腰长均为圆的半径1，两边夹角为$30°$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sinθ$（$a、b$为两边长度，$θ$为两边的夹角），且$\sin30°=\frac{1}{2}$，可得单个三角形面积：
$S_1=\frac{1}{2}×1×1×\sin30°=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
3. 计算正十二边形的总面积：
正十二边形由12个全等的上述等腰三角形组成，因此总面积为：
$S=12× S_1=12×\frac{1}{4}=3$
即π的估计值为3。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆，三角形面积计算，特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合我国古代“割圆术”的数学文化背景命题，将正多边形面积计算和圆的性质结合，解题关键是掌握将正多边形拆分为多个全等等腰三角形的方法，侧重基础知识点的应用。
【难度系数】
0.7
要得到π的估计值，本质是求半径为1的圆的内接正十二边形的面积。我们可以将正十二边形拆分为12个全等的等腰三角形，每个三角形的腰长等于圆的半径1，顶角为正十二边形的中心角，先计算单个等腰三角形的面积，再乘12即可得到正十二边形的总面积，也就是π的近似值。
【解析】
1. 求正十二边形的中心角：
圆周角为$360°$，正十二边形每个中心角的度数为$\frac{360°}{12}=30°$。
2. 计算单个等腰三角形的面积：
每个等腰三角形的两条腰长均为圆的半径1，两边夹角为$30°$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sinθ$（$a、b$为两边长度，$θ$为两边的夹角），且$\sin30°=\frac{1}{2}$，可得单个三角形面积：
$S_1=\frac{1}{2}×1×1×\sin30°=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
3. 计算正十二边形的总面积：
正十二边形由12个全等的上述等腰三角形组成，因此总面积为：
$S=12× S_1=12×\frac{1}{4}=3$
即π的估计值为3。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆，三角形面积计算，特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合我国古代“割圆术”的数学文化背景命题，将正多边形面积计算和圆的性质结合，解题关键是掌握将正多边形拆分为多个全等等腰三角形的方法，侧重基础知识点的应用。
【难度系数】
0.7
4.如图18,正八边形ABCDEFGH内接于$\odot O$,连接AF,BF.若$\odot O$的半径为2,则$△ ABF$的面积为.
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{2}}$
解析
【分析】
解题时首先结合正八边形内接于圆的性质，计算正八边形的中心角为45°；再观察图形发现BF是圆的直径，长度为4，可将BF作为△ABF的底，只需计算点A到BF的距离（即三角形的高）即可；过A作BF的垂线，利用45°角的三角函数值求出高，最后代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵正八边形ABCDEFGH内接于$\odot O$，
∴正八边形的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，即$∠ AOB=45°$。
∵顶点B到F间隔4个边，对应的中心角$∠ BOF=4×45°=180°$，
∴BF是$\odot O$的直径，$BF=2×2=4$。
过点A作$AM⊥ BF$于点M，在$Rt△ AOM$中，$OA=2$，$∠ AOM=45°$，
∴$AM=OA·\sin45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。
∴$S_{△ ABF}=\frac{1}{2}× BF× AM=\frac{1}{2}×4×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形与圆，解直角三角形，三角形面积计算
【点评】
本题解题的关键是结合正多边形的性质判断出BF为圆的直径，简化了面积计算的过程，同时需要熟练运用三角函数求直角三角形的边长。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合正八边形内接于圆的性质，计算正八边形的中心角为45°；再观察图形发现BF是圆的直径，长度为4，可将BF作为△ABF的底，只需计算点A到BF的距离（即三角形的高）即可；过A作BF的垂线，利用45°角的三角函数值求出高，最后代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵正八边形ABCDEFGH内接于$\odot O$，
∴正八边形的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，即$∠ AOB=45°$。
∵顶点B到F间隔4个边，对应的中心角$∠ BOF=4×45°=180°$，
∴BF是$\odot O$的直径，$BF=2×2=4$。
过点A作$AM⊥ BF$于点M，在$Rt△ AOM$中，$OA=2$，$∠ AOM=45°$，
∴$AM=OA·\sin45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。
∴$S_{△ ABF}=\frac{1}{2}× BF× AM=\frac{1}{2}×4×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形与圆，解直角三角形，三角形面积计算
【点评】
本题解题的关键是结合正多边形的性质判断出BF为圆的直径，简化了面积计算的过程，同时需要熟练运用三角函数求直角三角形的边长。
【难度系数】
0.6
5. 已知,如图19,△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BAC=36°,AB,AC的中垂线分别交⊙O于点E,F,求证:五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形.
答案
证明：
∵ AB=AC，∠BAC=36°，
∴ ∠ABC=∠ACB = $\frac{180° - 36°}{2} = 72°$。
由圆周角定理可得：
弧AC的度数 = $2∠ ABC = 144°$，
弧AB的度数 = $2∠ ACB = 144°$，
∴ 弧BC的度数 = $360° - 144° - 144° = 72°$。
∵ AB的中垂线交⊙O于点E，由垂径定理可知，该中垂线平分弧AB，
∴ 弧AE = 弧BE = $\frac{1}{2}$弧AB = $72°$。
同理，AC的中垂线交⊙O于点F，由垂径定理可知，该中垂线平分弧AC，
∴ 弧AF = 弧CF = $\frac{1}{2}$弧AC = $72°$。
∴ 弧AE = 弧BE = 弧BC = 弧CF = 弧AF，
即五边形AEBCF的五条边所对的劣弧全部相等，
∴ AF=FC=CB=BE=EA，且五边形AEBCF的五个内角都相等，
∴ 五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形。
∵ AB=AC，∠BAC=36°，
∴ ∠ABC=∠ACB = $\frac{180° - 36°}{2} = 72°$。
由圆周角定理可得：
弧AC的度数 = $2∠ ABC = 144°$，
弧AB的度数 = $2∠ ACB = 144°$，
∴ 弧BC的度数 = $360° - 144° - 144° = 72°$。
∵ AB的中垂线交⊙O于点E，由垂径定理可知，该中垂线平分弧AB，
∴ 弧AE = 弧BE = $\frac{1}{2}$弧AB = $72°$。
同理，AC的中垂线交⊙O于点F，由垂径定理可知，该中垂线平分弧AC，
∴ 弧AF = 弧CF = $\frac{1}{2}$弧AC = $72°$。
∴ 弧AE = 弧BE = 弧BC = 弧CF = 弧AF，
即五边形AEBCF的五条边所对的劣弧全部相等，
∴ AF=FC=CB=BE=EA，且五边形AEBCF的五个内角都相等，
∴ 五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形。
解析
【分析】
要证明圆内接五边形AEBCF是正五边形，根据圆内接正多边形的判定规则，只需证明它的五条边所对的劣弧全部相等即可（同圆中等弧对等弦，且等弧对应的圆周角相等，可同时保证五边形各边相等、各内角相等）。解题可按以下思路展开：第一步，利用等腰三角形内角和性质，求出△ABC两个底角的度数；第二步，结合圆周角定理，算出弧AB、弧AC、弧BC的度数；第三步，根据垂径定理，弦的垂直平分线过圆心且平分弦所对的弧，分别求出弧AE、弧BE、弧AF、弧CF的度数；第四步，验证五段劣弧度数全部相等，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，∠BAC=36°，
∴ ∠ABC=∠ACB = $\frac{180° - 36°}{2} = 72°$。
由圆周角定理可得：
弧AC的度数 = $2∠ABC = 144°$，
弧AB的度数 = $2∠ACB = 144°$，
∴ 弧BC的度数 = $360° - 144° - 144° = 72°$。
∵ AB的中垂线交⊙O于点E，由垂径定理可知，该中垂线平分弧AB，
∴ 弧AE = 弧BE = $\frac{1}{2}$弧AB = $72°$。
同理，AC的中垂线交⊙O于点F，由垂径定理可知，该中垂线平分弧AC，
∴ 弧AF = 弧CF = $\frac{1}{2}$弧AC = $72°$。
∴ 弧AE = 弧BE = 弧BC = 弧CF = 弧AF，即五边形AEBCF的五条边所对的劣弧全部相等，
∴ AF=FC=CB=BE=EA，且五边形AEBCF的五个内角都相等，
∴ 五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形。
【答案】
五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形
【知识点】
等腰三角形性质、圆周角定理、垂径定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型证明题，解题关键是掌握圆内接正多边形的判定方法，熟练运用等腰三角形性质、圆周角定理和垂径定理完成弧与角的转化，能够有效考察对圆相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要证明圆内接五边形AEBCF是正五边形，根据圆内接正多边形的判定规则，只需证明它的五条边所对的劣弧全部相等即可（同圆中等弧对等弦，且等弧对应的圆周角相等，可同时保证五边形各边相等、各内角相等）。解题可按以下思路展开：第一步，利用等腰三角形内角和性质，求出△ABC两个底角的度数；第二步，结合圆周角定理，算出弧AB、弧AC、弧BC的度数；第三步，根据垂径定理，弦的垂直平分线过圆心且平分弦所对的弧，分别求出弧AE、弧BE、弧AF、弧CF的度数；第四步，验证五段劣弧度数全部相等，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，∠BAC=36°，
∴ ∠ABC=∠ACB = $\frac{180° - 36°}{2} = 72°$。
由圆周角定理可得：
弧AC的度数 = $2∠ABC = 144°$，
弧AB的度数 = $2∠ACB = 144°$，
∴ 弧BC的度数 = $360° - 144° - 144° = 72°$。
∵ AB的中垂线交⊙O于点E，由垂径定理可知，该中垂线平分弧AB，
∴ 弧AE = 弧BE = $\frac{1}{2}$弧AB = $72°$。
同理，AC的中垂线交⊙O于点F，由垂径定理可知，该中垂线平分弧AC，
∴ 弧AF = 弧CF = $\frac{1}{2}$弧AC = $72°$。
∴ 弧AE = 弧BE = 弧BC = 弧CF = 弧AF，即五边形AEBCF的五条边所对的劣弧全部相等，
∴ AF=FC=CB=BE=EA，且五边形AEBCF的五个内角都相等，
∴ 五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形。
【答案】
五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形
【知识点】
等腰三角形性质、圆周角定理、垂径定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型证明题，解题关键是掌握圆内接正多边形的判定方法，熟练运用等腰三角形性质、圆周角定理和垂径定理完成弧与角的转化，能够有效考察对圆相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
