6. 如图20,正方形ABCD内接于⊙O,M为弧AD的中点,连接BM,CM.
(1)求证:BM=CM;
(2)连接OB,OM,求∠BOM的度数.

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB=CD$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
∵ $M$为弧$AD$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DM}$，即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$，
∴ $BM=CM$。
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(2) 解：
∵ 正方形$ABCD$内接于$\odot O$，圆的总度数为$360°$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DA}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}$的度数为 $\frac{360°}{4}=90°$。
∵ $M$为弧$AD$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AM}$的度数为 $\frac{1}{2}×\overset{\frown}{AD}$的度数$=\frac{1}{2}×90°=45°$，
∴ $\overset{\frown}{BM}$的度数$=\overset{\frown}{AB}$的度数$+\overset{\frown}{AM}$的度数$=90°+45°=135°$。
∵ 圆心角的度数等于其所对弧的度数，
∴ $∠ BOM=135°$。
最终结论：$∠ BOM$的度数为$\boldsymbol{135°}$。

【分析】
(1)要证明BM=CM，根据同圆中等弧对等弦的性质，只需证明两条弦对应的弧$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$即可。首先利用正方形的性质得到$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，再结合M是$\overset{\frown}{AD}$的中点得到$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，两段弧分别相加即可得到$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$，进而推出弦相等。
(2)要求∠BOM的度数，根据圆心角的度数等于其所对弧的度数的性质，只需先求出$\overset{\frown}{BM}$的度数即可。先根据圆内接正方形的性质，算出四段相等的弧$\overset{\frown}{AB}、\overset{\frown}{BC}、\overset{\frown}{CD}、\overset{\frown}{DA}$的度数均为90°，再由M是$\overset{\frown}{AD}$中点得到$\overset{\frown}{AM}$的度数为45°，相加得到$\overset{\frown}{BM}$的度数，即可得到∠BOM的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB=CD$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
∵ $M$为弧$AD$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{DM}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DM}$，即$\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CM}$，
∴ $BM=CM$。
(2) 解：
∵ 正方形$ABCD$内接于$\odot O$，圆的总度数为$360°$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DA}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}$的度数为 $\frac{360°}{4}=90°$。
∵ $M$为弧$AD$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AM}$的度数为 $\frac{1}{2}×\overset{\frown}{AD}$的度数$=\frac{1}{2}×90°=45°$，
∴ $\overset{\frown}{BM}$的度数$=\overset{\frown}{AB}$的度数$+\overset{\frown}{AM}$的度数$=90°+45°=135°$。
∵ 圆心角的度数等于其所对弧的度数，
∴ $∠ BOM=135°$。
【答案】
(1) 证明成立，$BM=CM$；
(2) $\boldsymbol{∠BOM=135°}$
【知识点】
1. 同圆中弧弦关系
2. 正方形的性质
3. 圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆与正方形结合的基础题型，核心考查圆心角、弧、弦的对应关系，解题时可将弦相等的证明转化为弧相等的推导，圆心角计算可直接转化为对应弧的度数计算，思路清晰，是圆章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.7