5. (2025·眉山)如图8,AB为$\odot O$的直径,点C为圆上一点,过点C作$\odot O$的切线,交AB延长线于点D,过点B作$BE// DC$,交$\odot O$于点E,连接AE,AC.
(1)求证:$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CB}$;
(2)若$∠ BAE=60°$,$\odot O$的半径为2,求AC的长.

(1) 证明：
连接OC，
∵ CD是$\odot O$的切线，点C为切点，
∴ $OC⊥ CD$。
∵ $BE// DC$，
∴ $OC⊥ BE$。
又∵ OC是$\odot O$的半径，
由垂径定理可得OC平分$\overset{\frown}{BE}$，
即$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CB}$。
---
(2) 解：
∵ AB为$\odot O$的直径，
∴ $∠ AEB=90°$。
∵ $∠ BAE=60°$，
∴ $∠ ABE=90°-∠ BAE=30°$。
由(1)知$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CB}$，
∴ 弧对应的圆周角$∠ CAB=∠ CAE$。
又∵ $∠ BAE=∠ CAB+∠ CAE=60°$，
∴ $∠ CAB=30°$。
∵ $\odot O$的半径为2，
∴ $AB=2× 2=4$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中：
$AC=AB· \cos∠ CAB=4× \cos30°=4× \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$
即AC的长为$2\sqrt{3}$。

【分析】
(1) 要证明$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CB}$，可借助垂径定理推导：首先连接OC，利用切线的性质得到$OC⊥CD$，再结合$BE// DC$推出$OC⊥BE$，最后根据垂径定理即可得到OC平分弧BE，进而得证弧相等。
(2) 求AC的长时，先利用“直径所对的圆周角为直角”得到$∠AEB=90°$，结合已知$∠BAE=60°$推导角的关系；再借助(1)中弧相等的结论，得到等弧对应的圆周角相等，算出$∠CAB=30°$；最后在$Rt△ ABC$中，利用三角函数计算AC的长度即可。
【解析】
(1) 证明：
连接OC，
∵ CD是$\odot O$的切线，点C为切点，
∴ $OC⊥ CD$。
∵ $BE// DC$，
∴ $OC⊥ BE$。
又
∵ OC是$\odot O$的半径，
由垂径定理可得OC平分$\overset{\frown}{BE}$，
即$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CB}$。
(2) 解：
∵ AB为$\odot O$的直径，
∴ $∠ AEB=90°$。
∵ $∠ BAE=60°$，
∴ $∠ ABE=90°-∠ BAE=30°$。
由(1)知$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CB}$，
∴ 弧对应的圆周角$∠ CAB=∠ CAE$。
又
∵ $∠ BAE=∠ CAB+∠ CAE=60°$，
∴ $∠ CAB=30°$。
∵ $\odot O$的半径为2，
∴ $AB=2× 2=4$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中：
$AC=AB· \cos∠ CAB=4× \cos30°=4× \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$
即AC的长为$2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，融合了圆的性质、切线特点、直角三角形边角关系等考点，解题核心是合理添加辅助线，熟练运用圆的相关定理推导角和弧的关系，是中考的常见基础题型。
【难度系数】
0.7

1. 如图9,在$△ ABC$中,点$D$为$△ ABC$的内心,$∠ A=60°$,$CD=2$,$BD=4$,则$△ DBC$的面积是 ()

A.$4\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2$
D.$4$

B

【分析】
解题时先利用三角形内心的性质：内心是三角形内角角平分线的交点，结合已知∠A的度数推导∠BDC的度数，得到△DBC中BD、CD两边的夹角度数后，再利用两边及夹角的三角形面积公式计算即可。第一步：根据三角形内角和求出∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线性质求出∠DBC+∠DCB的度数，进而得到∠BDC的度数；第二步：代入两边及夹角的面积公式计算结果。
【解析】
解：
∵点D为△ABC的内心，
∴BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
即$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
∵在△ABC中，$∠ A=60°$，
∴$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-60°=120°$，
∴$∠ DBC+∠ DCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×120°=60°$，
∴在△DBC中，$∠ BDC=180°-(∠ DBC+∠ DCB)=180°-60°=120°$。
已知$BD=4$，$CD=2$，根据两边及夹角的三角形面积公式：
$S_{△ DBC}=\frac{1}{2}· BD· CD· \sin∠ BDC$
$=\frac{1}{2}×4×2×\sin120°$
$=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心的性质，三角形内角和定理，三角形面积计算
【点评】
本题需要结合三角形内心的性质推导夹角的度数，再利用三角函数计算面积，解题的核心是熟练掌握内心的定义，准确求出∠BDC的度数。
【难度系数】
0.65

2. 如图10，$\odot O$是等边$△ ABC$的内切圆，分别切$AB$，$BC$，$AC$于点$E$，$F$和$D$，$P$是$\overset{\frown}{DF}$上一点，则$∠ EPF$的度数是 （）

A.$65°$
B.$60°$
C.$58°$
D.$50°$

B

【分析】
要求∠EPF的度数，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是对应圆心角的一半，因此我们先求弧EF所对的圆心角∠EOF的度数。首先利用等边三角形内角为60°的性质，结合内切圆切线垂直于过切点的半径的性质，得到OE⊥AB、OF⊥BC，再通过四边形内角和求出∠EOF的度数，最后用圆周角定理即可求得∠EPF。
【解析】
连接OE、OF。
∵ ⊙O是等边△ABC的内切圆，E、F分别是AB、BC边上的切点，
∴ OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB=∠OFB=90°。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠B=60°。
在四边形OEBF中，内角和为360°，
∴ ∠EOF=360°-∠OEB-∠OFB-∠B=360°-90°-90°-60°=120°。
∵ ∠EPF是弧EF所对的圆周角，∠EOF是弧EF所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠EPF=½∠EOF=½×120°=60°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；等边三角形的性质
【点评】
本题是三角形内切圆的典型考题，解题核心是通过连接圆心和切点构造直角，结合多边形内角和与圆周角定理推导角的度数，解题思路清晰，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7

3. 如图11,设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径和外接圆的半径分别为h,r和R,则下列结论不正确的是 ()

A.$h=R+r$
B.$R=2r$
C.$r=\frac{\sqrt{3}}{4}a$
D.$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$

图11 图12

C

【分析】
解决本题的核心是利用等边三角形“四心（重心、内心、外心、垂心）重合”的性质。首先先计算等边三角形的高，再根据重心分高为2:1的比例，分别推导出外接圆半径R、内切圆半径r的表达式，最后逐一验证四个选项即可得到结论。
【解析】
已知等边三角形边长为a：
1. 先计算高h：由勾股定理得，$h=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$；
2. 等边三角形的内心、外心、重心重合，根据重心的性质：重心分中线（即高）的长度比为$2:1$（靠近顶点的段为外接圆半径R，靠近边的段为内切圆半径r），因此：
$R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
$r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{6}a$；
3. 逐一判断选项：
A选项：$R+r=\frac{\sqrt{3}}{3}a+\frac{\sqrt{3}}{6}a=\frac{\sqrt{3}}{2}a=h$，结论正确；
B选项：$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a=2×\frac{\sqrt{3}}{6}a=2r$，结论正确；
C选项：$r=\frac{\sqrt{3}}{6}a≠\frac{\sqrt{3}}{4}a$，结论错误；
D选项：$R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，结论正确。
本题要求选不正确的，故选C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；三角形的内切圆与外接圆；重心的性质
【点评】
本题属于基础题，解题关键是掌握等边三角形四心合一的特点，结合重心的比例关系快速求出内切圆、外接圆半径和高的关系，熟记相关结论可提升解题效率。
【难度系数】
0.8

4. 如图12,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=3$,$BC=4$,则$△ ABC$的内切圆的半径$r=$.

$\boldsymbol{1}$

【分析】
本题要求直角三角形的内切圆半径，解题可按两步思考：第一步，已知直角三角形的两条直角边，首先用勾股定理求出斜边的长度；第二步，结合三角形内切圆的性质，用面积法列方程求解半径，也可以直接用直角三角形内切圆半径的专用公式计算，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$。
1. 求斜边长度：由勾股定理得
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
2. 计算内切圆半径：
方法1（面积法）：三角形面积可表示为$\frac{1}{2}× AC× BC$，也可表示为$\frac{1}{2}× 三角形周长× 内切圆半径$。
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×3×4=6$，
同时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×(AC+BC+AB)· r=\frac{1}{2}×(3+4+5)r=6r$，
联立得$6r=6$，解得$r=1$。
方法2（直角三角形内切圆半径公式）：直角三角形内切圆半径$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边），代入得$r=\frac{3+4-5}{2}=1$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
勾股定理；三角形内切圆性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，考查直角三角形内切圆半径的求解，熟练掌握勾股定理以及内切圆和三角形面积的关系即可快速解答，两种计算方法可灵活选用。
【难度系数】
0.8