1.(2025·自贡)PA,PB分别与$\odot O$相切于A,B两点,点C在$\odot O$上且不与点A,B重合.若$∠ P=80°$,则$∠ ACB$的度数为 ()

A.$50°$
B.$100°$
C.$130°$
D.$50°$或$130°$

D

【分析】
首先根据切线的性质，连接圆心与切点可得到垂直关系，进而求出圆心角∠AOB的度数；再根据点C在圆周上的位置分两种情况讨论：当点C在优弧AB上时，利用圆周角定理直接计算∠ACB；当点C在劣弧AB上时，结合圆周角定理或圆内接四边形的对角互补性质计算∠ACB，避免漏解。
【解析】
解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-80°=100°$，
分两种情况讨论：
① 若点C在优弧AB上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×100°=50°$；
② 若点C在劣弧AB上，此时优弧AB的度数为$360°-100°=260°$，同理可得$∠ ACB=\frac{1}{2}×260°=130°$（也可根据圆内接四边形对角互补，得$∠ ACB=180°-50°=130°$）。
综上，$∠ ACB$的度数为$50°$或$130°$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于圆的性质综合应用题，解题关键是熟练掌握切线与半径垂直的性质，易错点是忽略点C在圆上的位置有两种情况导致漏解，解题时需注意分类讨论，考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6

2. 如图5,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,以点A为圆心,以3 cm为半径作⊙A,当AB= cm时,BC与⊙A相切.

$\boldsymbol{6}$

【分析】
要解决这道题，首先回忆圆的切线的核心性质：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。因此我们首先过点A作BC的垂线段，该垂线段的长度就等于⊙A的半径3cm。再结合已知的∠B=30°，利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边一半的性质，即可求出AB的长度。
【解析】
过点A作AD⊥BC，垂足为D。
∵BC与⊙A相切，
∴AD是⊙A的半径，即AD=3cm。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AD = \frac{1}{2}AB$，
∴$AB = 2AD = 2×3 = 6$（cm）。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的切线性质的基础应用题型，解题的关键是将直线与圆相切的条件转化为圆心到直线的距离等于半径，再结合特殊直角三角形的边角关系计算对应线段长度，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.8

3. 如图6，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，$∠ OAB=38°$，则$∠ P=$°。

$\boldsymbol{76}$

【分析】
解题时先回忆圆的切线相关性质：①圆的切线垂直于过切点的半径，可得OA⊥PA；②从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，可得PA=PB，△PAB为等腰三角形。已知∠OAB=38°，先计算出∠PAB的度数，再利用等腰三角形内角和特征即可求出∠P的度数。
【解析】
解：
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∵∠OAB=38°，
∴∠PAB=∠OAP - ∠OAB = 90° - 38° = 52°，
∵PA、PB都是⊙O的切线，根据切线长定理可得PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=52°，
在△PAB中，由三角形内角和为180°得：
∠P=180° - ∠PAB - ∠PBA = 180° - 52° - 52° = 76°。
【答案】
$\boldsymbol{76}$
【知识点】
切线的性质，切线长定理，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的切线相关的基础计算题，核心是熟练运用切线的性质和切线长定理，结合等腰三角形、三角形内角和的知识即可求解，解题思路比较直观。
【难度系数】
0.8

4. (2025·济南)如图7,AB是$\odot O$的直径,C为$\odot O$上一点,P为$\odot O$外一点,$OP// AC$,且$∠ OBP=90°$,连接PC.
(1)求证:PC与$\odot O$相切;
(2)若$AO=3,OP=5$,求AC的长.

(1) 证明：
连接OC，
∵ OA=OC，
∴ ∠A=∠OCA，
∵ OP//AC，
∴ ∠A=∠BOP，∠OCA=∠COP，
∴ ∠BOP=∠COP，
在△OBP和△OCP中，
$\{\begin{array}{l} OB=OC \\ ∠BOP=∠COP \\ OP=OP \end{array} $
∴ △OBP ≌ △OCP（SAS），
∴ ∠OCP=∠OBP=90°，即OC⊥PC，
又∵ OC是⊙O的半径，
∴ PC与⊙O相切。
---
(2) 解：
∵ AO=3，
∴ OC=OB=OA=3，
∵ ∠OBP=90°，OP=5，
∴ 在Rt△OBP中，$BP=\sqrt{OP^2 - OB^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，
过点O作OE⊥AC于点E，
由垂径定理得：$AE=EC=\frac{1}{2}AC$，∠OEA=90°，
∵ OP//AC，
∴ ∠A=∠BOP，
又∵ ∠OEA=∠PBO=90°，
∴ △OAE ∽ △POB，
∴ $\frac{AE}{OB}=\frac{OA}{OP}$，
代入数值：$\frac{AE}{3}=\frac{3}{5}$，
解得 $AE=\frac{9}{5}$，
∴ $AC=2AE=\frac{18}{5}$。
综上，AC的长为$\frac{18}{5}$。

【分析】
(1) 要证明PC与$\odot O$相切，根据切线的判定定理，需证明PC垂直于过切点的半径，因此优先连接辅助线OC，证明$∠ OCP=90°$即可。已知$OP// AC$，结合等腰$△ OAC$的底角相等，可推导得出$∠ BOP=∠ COP$，再通过SAS证明$△ OBP≌△ OCP$，即可得到$∠ OCP=∠ OBP=90°$，完成切线证明。
(2) 求AC的长时，先根据已知半径和OP的长度，在$Rt△ OBP$中算出BP的长度；再利用垂径定理，过O作$OE⊥ AC$，将AC转化为2AE，通过证明$△ OAE∽△ POB$，利用相似三角形对应边成比例求出AE的长度，即可得到AC的长。
【解析】
(1) 证明：
连接OC，
$\because OA=OC$，
$\therefore ∠ A=∠ OCA$，
$\because OP// AC$，
$\therefore ∠ A=∠ BOP$，$∠ OCA=∠ COP$，
$\therefore ∠ BOP=∠ COP$，
在$△ OBP$和$△ OCP$中，
$\{\begin{array}{l} OB=OC \\ ∠ BOP=∠ COP \\ OP=OP \end{array} $
$\therefore △ OBP ≌ △ OCP$（SAS），
$\therefore ∠ OCP=∠ OBP=90°$，即$OC⊥ PC$，
又$\because$ OC是$\odot O$的半径，
$\therefore$ PC与$\odot O$相切。
(2) 解：
$\because AO=3$，
$\therefore OC=OB=OA=3$，
$\because ∠ OBP=90°$，$OP=5$，
$\therefore$ 在$Rt△ OBP$中，$BP=\sqrt{OP^2 - OB^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，
过点O作$OE⊥ AC$于点E，
由垂径定理得：$AE=EC=\frac{1}{2}AC$，$∠ OEA=90°$，
$\because OP// AC$，
$\therefore ∠ A=∠ BOP$，
又$\because ∠ OEA=∠ PBO=90°$，
$\therefore △ OAE ∽ △ POB$，
$\therefore \frac{AE}{OB}=\frac{OA}{OP}$，
代入数值：$\frac{AE}{3}=\frac{3}{5}$，
解得 $AE=\frac{9}{5}$，
$\therefore AC=2AE=\frac{18}{5}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\frac{18}{5}$
【知识点】
切线的判定；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的常考基础题型，解题的关键是熟练掌握切线判定的辅助线作法，结合平行线的性质找到角的等量关系，灵活运用全等、相似及垂径定理进行推导计算，对几何逻辑推导能力有一定的基础要求。
【难度系数】
0.7