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1.在同一平面内,已知$\odot O$的半径为2,圆心O到直线l的距离为3,点P为圆上的一个动点,则点P到直线l的最大距离是 ()
A.2
B.5
C.6
D.8
A.2
B.5
C.6
D.8
答案
B
解析
【分析】
要求圆上动点P到直线l的最大距离，首先明确：过圆心O作直线l的垂线，圆上位于垂线背离直线l一侧的端点到直线l的距离最大，该最大距离等于圆心O到直线l的距离加上圆的半径，代入已知数据即可求解。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=2$，圆心O到直线l的距离$d=3$。
圆上一点到定直线的最大距离为圆心到直线的距离与圆半径之和，因此点P到直线l的最大距离为：
$d + r = 3 + 2 = 5$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
点到直线的距离；圆的基本性质
【点评】
本题是基础常考题，解题的关键是掌握圆上点到定直线的距离最值规律，牢记直线与圆相离时，最大距离为圆心到直线距离加半径，最小距离为圆心到直线距离减半径即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要求圆上动点P到直线l的最大距离，首先明确：过圆心O作直线l的垂线，圆上位于垂线背离直线l一侧的端点到直线l的距离最大，该最大距离等于圆心O到直线l的距离加上圆的半径，代入已知数据即可求解。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=2$，圆心O到直线l的距离$d=3$。
圆上一点到定直线的最大距离为圆心到直线的距离与圆半径之和，因此点P到直线l的最大距离为：
$d + r = 3 + 2 = 5$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
点到直线的距离；圆的基本性质
【点评】
本题是基础常考题，解题的关键是掌握圆上点到定直线的距离最值规律，牢记直线与圆相离时，最大距离为圆心到直线距离加半径，最小距离为圆心到直线距离减半径即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 如图1,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3.若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是 ()
A.$8≤ AB≤10$
B.$8＜ AB≤10$
C.$4≤ AB≤5$
D.$4＜ AB≤5$
A.$8≤ AB≤10$
B.$8＜ AB≤10$
C.$4≤ AB≤5$
D.$4＜ AB≤5$
答案
A
解析
【分析】
解题时需先明确弦长的最值对应的临界状态：①大圆中最长的弦是直径，可直接得到AB的最大值；②弦AB与小圆有公共点的临界情况是AB与小圆相切，此时弦长最短，再结合垂径定理、勾股定理计算最短弦长，最终确定AB的取值范围。具体思考路径：先求AB最大值，再求相切时的最短弦长，最后根据“有公共点包含相切、相交两种情况”确定取值范围的开闭区间。
【解析】
1. 求AB的最大值：
大圆半径为5，因此大圆内最长的弦为直径，长度为$2×5=10$，即AB的最大值为10。
2. 求AB的最小值：
当弦AB与小圆相切时，AB与小圆恰好有1个公共点，此时AB长度最短。
过圆心O作$OC⊥ AB$于点C，连接OA：
∵AB与小圆相切，
∴OC等于小圆半径3，OA为大圆半径5。
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$
根据垂径定理，OC垂直平分AB，因此$AB=2AC=8$。
3. 确定取值范围：
∵弦AB与小圆有公共点包含相切（1个公共点）、相交（2个公共点）两种情况，
∴AB的取值范围为$8≤ AB≤10$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题核心是结合直线与圆的位置关系判断弦长的临界状态，解题关键是准确找到“相切时弦长最短、直径是最长弦”这两个最值条件，属于圆的性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时需先明确弦长的最值对应的临界状态：①大圆中最长的弦是直径，可直接得到AB的最大值；②弦AB与小圆有公共点的临界情况是AB与小圆相切，此时弦长最短，再结合垂径定理、勾股定理计算最短弦长，最终确定AB的取值范围。具体思考路径：先求AB最大值，再求相切时的最短弦长，最后根据“有公共点包含相切、相交两种情况”确定取值范围的开闭区间。
【解析】
1. 求AB的最大值：
大圆半径为5，因此大圆内最长的弦为直径，长度为$2×5=10$，即AB的最大值为10。
2. 求AB的最小值：
当弦AB与小圆相切时，AB与小圆恰好有1个公共点，此时AB长度最短。
过圆心O作$OC⊥ AB$于点C，连接OA：
∵AB与小圆相切，
∴OC等于小圆半径3，OA为大圆半径5。
在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$
根据垂径定理，OC垂直平分AB，因此$AB=2AC=8$。
3. 确定取值范围：
∵弦AB与小圆有公共点包含相切（1个公共点）、相交（2个公共点）两种情况，
∴AB的取值范围为$8≤ AB≤10$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题核心是结合直线与圆的位置关系判断弦长的临界状态，解题关键是准确找到“相切时弦长最短、直径是最长弦”这两个最值条件，属于圆的性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图2，矩形ABCD的长为6，宽为3，点$O_1$为矩形的中心，$\odot O_2$的半径为1，$O_1O_2 ⊥ AB$于点P，$O_1O_2=6$。若$\odot O_2$绕点P按顺时针方向旋转$360°$，在旋转过程中，$\odot O_2$与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）
A.3次
B.4次
C.5次
D.6次
A.3次
B.4次
C.5次
D.6次
答案
B
解析
【分析】
解题时首先明确：①$\odot O_2$绕点$P$旋转的过程中，圆心$O_2$的轨迹是以$P$为圆心、$PO_2$的长度为半径的圆；②当$\odot O_2$与矩形的边只有一个公共点时，满足$\odot O_2$与边所在直线相切（圆心到直线的距离等于半径1），且切点在矩形的边上，不存在其他交点。接下来我们分别分析$\odot O_2$与矩形四条边相切的情况，排除切点落在边的延长线上的无效情况，统计符合要求的次数即可。
首先计算$PO_2$的长度：$O_1$是矩形中心，$O_1O_2 ⊥ AB$于$P$，因此$O_1$到$AB$的距离等于矩形宽的一半，即$3÷2=1.5$，结合$O_1O_2=6$，可得$PO_2=O_1O_2 - O_1P=6-1.5=4.5$，即$O_2$的轨迹半径为4.5。
【解析】
我们分边讨论相切的有效情况：
1. 与$AD$、$BC$边相切：圆心$O_2$到$AD$（或$BC$）的距离为1，经计算，仅当圆心在$AD$左侧距离1、$BC$右侧距离1时，切点落在$AD$、$BC$的边上，各对应1次有效相切，共2次；
2. 与$CD$边相切：圆心$O_2$到$CD$的距离为1，当圆心在$CD$上方距离1时，存在2个位置使得切点落在$CD$边上，对应2次有效相切；
3. 与$AB$边相切：圆心$O_2$到$AB$的距离为1时，所有切点均落在$AB$的延长线上，没有符合要求的情况。
综上，符合条件的情况共有$2+2=4$次。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆的位置关系，旋转的性质，矩形的性质
【点评】
本题结合旋转场景考查直线与圆相切的判定，解题的核心是先确定旋转过程中圆心的运动轨迹，再根据相切时“圆心到直线距离等于半径”的性质逐一验证，注意需判断切点是否在矩形的边上，避免误算无效情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确：①$\odot O_2$绕点$P$旋转的过程中，圆心$O_2$的轨迹是以$P$为圆心、$PO_2$的长度为半径的圆；②当$\odot O_2$与矩形的边只有一个公共点时，满足$\odot O_2$与边所在直线相切（圆心到直线的距离等于半径1），且切点在矩形的边上，不存在其他交点。接下来我们分别分析$\odot O_2$与矩形四条边相切的情况，排除切点落在边的延长线上的无效情况，统计符合要求的次数即可。
首先计算$PO_2$的长度：$O_1$是矩形中心，$O_1O_2 ⊥ AB$于$P$，因此$O_1$到$AB$的距离等于矩形宽的一半，即$3÷2=1.5$，结合$O_1O_2=6$，可得$PO_2=O_1O_2 - O_1P=6-1.5=4.5$，即$O_2$的轨迹半径为4.5。
【解析】
我们分边讨论相切的有效情况：
1. 与$AD$、$BC$边相切：圆心$O_2$到$AD$（或$BC$）的距离为1，经计算，仅当圆心在$AD$左侧距离1、$BC$右侧距离1时，切点落在$AD$、$BC$的边上，各对应1次有效相切，共2次；
2. 与$CD$边相切：圆心$O_2$到$CD$的距离为1，当圆心在$CD$上方距离1时，存在2个位置使得切点落在$CD$边上，对应2次有效相切；
3. 与$AB$边相切：圆心$O_2$到$AB$的距离为1时，所有切点均落在$AB$的延长线上，没有符合要求的情况。
综上，符合条件的情况共有$2+2=4$次。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆的位置关系，旋转的性质，矩形的性质
【点评】
本题结合旋转场景考查直线与圆相切的判定，解题的核心是先确定旋转过程中圆心的运动轨迹，再根据相切时“圆心到直线距离等于半径”的性质逐一验证，注意需判断切点是否在矩形的边上，避免误算无效情况。
【难度系数】
0.6
4. 如图3,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,D和E分别是AC和AB的中点,则以DE为直径的圆与BC的位置关系是 ()
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离$d$与圆半径$r$的大小：$d＜r$时相交，$d=r$时相切，$d＞r$时相离。解题步骤可按以下思路展开：第一步先由△ABC的三边长判断它是直角三角形，方便后续计算高；第二步利用三角形中位线的性质，得到DE与BC的位置关系、DE的长度，进而求出圆的半径$r$；第三步用面积法求出△ABC中BC边上的高，再结合中位线的性质得到DE与BC的距离，也就是圆心到BC的距离$d$；最后比较$d$和$r$的大小即可得出结论。
【解析】
1. 判断△ABC的形状：
已知$AB=6$，$AC=8$，$BC=10$，则$AB^2+AC^2=6^2+8^2=100=10^2=BC^2$，根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，$∠ A=90°$。
2. 求BC边上的高：
△ABC的面积$S=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×6×8=24$。
过点A作$AF⊥ BC$于点F，由面积公式$S=\frac{1}{2}× BC× AF$，可得$AF=\frac{2S}{BC}=\frac{48}{10}=4.8$。
3. 求圆的半径和圆心到BC的距离：
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// BC$，且$DE=\frac{1}{2}BC=5$，
则以DE为直径的圆的半径$r=\frac{5}{2}=2.5$。
∵中位线DE平分△ABC的高AF，
∴DE与BC之间的距离$d=\frac{AF}{2}=\frac{4.8}{2}=2.4$，即圆心到BC的距离为2.4。
4. 比较大小判断位置关系：
∵$d=2.4＜r=2.5$，
∴以DE为直径的圆与BC相交。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，直线与圆的位置关系判定，勾股定理逆定理
【点评】
本题综合考查了直角三角形的判定、三角形中位线性质和直线与圆位置关系的判断，解题的关键是将圆与直线的位置关系转化为距离与半径的大小比较，用面积法求三角形的高是这类题常用的计算技巧。
【难度系数】
0.7
要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离$d$与圆半径$r$的大小：$d＜r$时相交，$d=r$时相切，$d＞r$时相离。解题步骤可按以下思路展开：第一步先由△ABC的三边长判断它是直角三角形，方便后续计算高；第二步利用三角形中位线的性质，得到DE与BC的位置关系、DE的长度，进而求出圆的半径$r$；第三步用面积法求出△ABC中BC边上的高，再结合中位线的性质得到DE与BC的距离，也就是圆心到BC的距离$d$；最后比较$d$和$r$的大小即可得出结论。
【解析】
1. 判断△ABC的形状：
已知$AB=6$，$AC=8$，$BC=10$，则$AB^2+AC^2=6^2+8^2=100=10^2=BC^2$，根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，$∠ A=90°$。
2. 求BC边上的高：
△ABC的面积$S=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×6×8=24$。
过点A作$AF⊥ BC$于点F，由面积公式$S=\frac{1}{2}× BC× AF$，可得$AF=\frac{2S}{BC}=\frac{48}{10}=4.8$。
3. 求圆的半径和圆心到BC的距离：
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// BC$，且$DE=\frac{1}{2}BC=5$，
则以DE为直径的圆的半径$r=\frac{5}{2}=2.5$。
∵中位线DE平分△ABC的高AF，
∴DE与BC之间的距离$d=\frac{AF}{2}=\frac{4.8}{2}=2.4$，即圆心到BC的距离为2.4。
4. 比较大小判断位置关系：
∵$d=2.4＜r=2.5$，
∴以DE为直径的圆与BC相交。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，直线与圆的位置关系判定，勾股定理逆定理
【点评】
本题综合考查了直角三角形的判定、三角形中位线性质和直线与圆位置关系的判断，解题的关键是将圆与直线的位置关系转化为距离与半径的大小比较，用面积法求三角形的高是这类题常用的计算技巧。
【难度系数】
0.7
5. $\odot O$的半径为$R$,点$O$到直线$l$的距离为$d$. $R$和$d$是方程$x^2 - 4x + m = 0$的两根,当直线$l$与$\odot O$相切时,$m$的值为.
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
解题时首先回忆直线与圆相切的核心性质：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，由此可得$d=R$。已知$R$、$d$是方程$x^2-4x+m=0$的两个根，说明该一元二次方程有两个相等的实数根，接下来只需利用一元二次方程根的判别式代入计算即可求出$m$的值。
【解析】
解：
∵ 直线$l$与$\odot O$相切
∴ 圆心$O$到直线$l$的距离等于圆的半径，即$d = R$
∵ $R$和$d$是方程$x^2 - 4x + m = 0$的两根
∴ 该方程有两个相等的实数根，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
在方程$x^2 - 4x + m = 0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=m$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×1× m = 0$
即$16 - 4m = 0$
解得$m=4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
1. 直线与圆相切的性质
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础题，将直线与圆的位置关系和一元二次方程根的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握直线与圆相切的判定条件，再结合一元二次方程的相关性质计算即可，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆直线与圆相切的核心性质：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，由此可得$d=R$。已知$R$、$d$是方程$x^2-4x+m=0$的两个根，说明该一元二次方程有两个相等的实数根，接下来只需利用一元二次方程根的判别式代入计算即可求出$m$的值。
【解析】
解：
∵ 直线$l$与$\odot O$相切
∴ 圆心$O$到直线$l$的距离等于圆的半径，即$d = R$
∵ $R$和$d$是方程$x^2 - 4x + m = 0$的两根
∴ 该方程有两个相等的实数根，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
在方程$x^2 - 4x + m = 0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=m$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×1× m = 0$
即$16 - 4m = 0$
解得$m=4$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
1. 直线与圆相切的性质
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础题，将直线与圆的位置关系和一元二次方程根的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握直线与圆相切的判定条件，再结合一元二次方程的相关性质计算即可，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
6. 如图4，P为正比例函数$y=\frac{3}{2}x$图象上的一个动点，$\odot P$的半径为3. 设点P的坐标为$(x,y)$.
(1)求$\odot P$与直线$x=2$相切时点P的坐标；
(2)请直接写出$\odot P$与直线$x=2$相交、相离时x的取值范围.
(1)求$\odot P$与直线$x=2$相切时点P的坐标；
(2)请直接写出$\odot P$与直线$x=2$相交、相离时x的取值范围.
答案
解：
(1) 当$\odot P$与直线$x=2$相切时，点$P$到直线$x=2$的距离等于$\odot P$的半径3。
点$P(x,y)$到直线$x=2$的距离为$|x-2|$，因此：
$|x - 2| = 3$
解得$x=5$或$x=-1$。
∵点$P$在正比例函数$y=\frac{3}{2}x$的图象上，
当$x=5$时，$y=\frac{3}{2}×5=\frac{15}{2}$；
当$x=-1$时，$y=\frac{3}{2}×(-1)=-\frac{3}{2}$。
∴此时点$P$的坐标为$(5,\frac{15}{2})$或$(-1,-\frac{3}{2})$。
(2) $\odot P$与直线$x=2$相交时，$x$的取值范围是$-1＜x＜5$；
$\odot P$与直线$x=2$相离时，$x$的取值范围是$x＜-1$或$x＞5$。
(1) 当$\odot P$与直线$x=2$相切时，点$P$到直线$x=2$的距离等于$\odot P$的半径3。
点$P(x,y)$到直线$x=2$的距离为$|x-2|$，因此：
$|x - 2| = 3$
解得$x=5$或$x=-1$。
∵点$P$在正比例函数$y=\frac{3}{2}x$的图象上，
当$x=5$时，$y=\frac{3}{2}×5=\frac{15}{2}$；
当$x=-1$时，$y=\frac{3}{2}×(-1)=-\frac{3}{2}$。
∴此时点$P$的坐标为$(5,\frac{15}{2})$或$(-1,-\frac{3}{2})$。
(2) $\odot P$与直线$x=2$相交时，$x$的取值范围是$-1＜x＜5$；
$\odot P$与直线$x=2$相离时，$x$的取值范围是$x＜-1$或$x＞5$。
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确直线与圆相切、相交、相离的判定核心：圆心到直线的距离等于半径时相切，小于半径时相交，大于半径时相离。
对于(1)，直线$x=2$是竖直线，点$P(x,y)$到该直线的距离为横坐标差的绝对值$|x-2|$，结合相切时距离等于半径3，先列绝对值方程求出$x$的值，再将$x$代入正比例函数解析式求出对应$y$值，即可得到点$P$的坐标。
对于(2)，根据相交、相离时距离与半径的大小关系，列绝对值不等式求解即可得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 当$\odot P$与直线$x=2$相切时，圆心$P$到直线$x=2$的距离等于$\odot P$的半径3。
点$P(x,y)$到直线$x=2$的距离为$|x-2|$，因此可得方程：
$|x - 2| = 3$
去绝对值得$x-2=3$或$x-2=-3$，解得$x=5$或$x=-1$。
∵点$P$在正比例函数$y=\frac{3}{2}x$的图象上，
当$x=5$时，$y=\frac{3}{2}×5=\frac{15}{2}$；
当$x=-1$时，$y=\frac{3}{2}×(-1)=-\frac{3}{2}$。
∴此时点$P$的坐标为$(5,\frac{15}{2})$或$(-1,-\frac{3}{2})$。
(2) 当$\odot P$与直线$x=2$相交时，圆心到直线的距离小于半径，即$|x-2|＜3$，
解不等式得$-3＜x-2＜3$，即$-1＜x＜5$；
当$\odot P$与直线$x=2$相离时，圆心到直线的距离大于半径，即$|x-2|＞3$，
解不等式得$x-2＞3$或$x-2＜-3$，即$x＞5$或$x＜-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(5,\frac{15}{2})}$或$\boldsymbol{(-1,-\frac{3}{2})}$
(2) 相交：$\boldsymbol{-1＜x＜5}$；相离：$\boldsymbol{x＜-1}$或$\boldsymbol{x＞5}$
【知识点】
直线与圆的位置关系；点到直线的距离；正比例函数的性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，结合了平面直角坐标系中点到竖直线的距离计算和正比例函数的性质，解题核心是熟练掌握直线与圆三种位置关系对应的距离与半径的大小关系，计算时注意绝对值方程、不等式的求解不要漏解。
【难度系数】
0.75
要解决本题，首先需明确直线与圆相切、相交、相离的判定核心：圆心到直线的距离等于半径时相切，小于半径时相交，大于半径时相离。
对于(1)，直线$x=2$是竖直线，点$P(x,y)$到该直线的距离为横坐标差的绝对值$|x-2|$，结合相切时距离等于半径3，先列绝对值方程求出$x$的值，再将$x$代入正比例函数解析式求出对应$y$值，即可得到点$P$的坐标。
对于(2)，根据相交、相离时距离与半径的大小关系，列绝对值不等式求解即可得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 当$\odot P$与直线$x=2$相切时，圆心$P$到直线$x=2$的距离等于$\odot P$的半径3。
点$P(x,y)$到直线$x=2$的距离为$|x-2|$，因此可得方程：
$|x - 2| = 3$
去绝对值得$x-2=3$或$x-2=-3$，解得$x=5$或$x=-1$。
∵点$P$在正比例函数$y=\frac{3}{2}x$的图象上，
当$x=5$时，$y=\frac{3}{2}×5=\frac{15}{2}$；
当$x=-1$时，$y=\frac{3}{2}×(-1)=-\frac{3}{2}$。
∴此时点$P$的坐标为$(5,\frac{15}{2})$或$(-1,-\frac{3}{2})$。
(2) 当$\odot P$与直线$x=2$相交时，圆心到直线的距离小于半径，即$|x-2|＜3$，
解不等式得$-3＜x-2＜3$，即$-1＜x＜5$；
当$\odot P$与直线$x=2$相离时，圆心到直线的距离大于半径，即$|x-2|＞3$，
解不等式得$x-2＞3$或$x-2＜-3$，即$x＞5$或$x＜-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(5,\frac{15}{2})}$或$\boldsymbol{(-1,-\frac{3}{2})}$
(2) 相交：$\boldsymbol{-1＜x＜5}$；相离：$\boldsymbol{x＜-1}$或$\boldsymbol{x＞5}$
【知识点】
直线与圆的位置关系；点到直线的距离；正比例函数的性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，结合了平面直角坐标系中点到竖直线的距离计算和正比例函数的性质，解题核心是熟练掌握直线与圆三种位置关系对应的距离与半径的大小关系，计算时注意绝对值方程、不等式的求解不要漏解。
【难度系数】
0.75
