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4. (2025·西宁)如图19,在正五边形ABCDE内,以AB为边作等边△ABF,再以点A为圆心,AE长为半径作弧.若AB=3,则图中阴影部分的面积是.
答案
$\boldsymbol{\frac{6π}{5}}$
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，首先观察阴影部分是圆心为A的扇形，因此只需确定扇形的半径和圆心角度数，再代入扇形面积公式求解即可。解题步骤如下：1. 利用正五边形的性质求出内角∠EAB的度数和边长AE的长度；2. 结合等边三角形的性质求出扇形的圆心角∠EAF的度数；3. 代入扇形面积公式计算结果。
【解析】
1. 求正五边形的内角度数与扇形半径：
正n边形的内角和为$(n-2)×180°$，因此正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即$∠ EAB=108°$。
正五边形各边相等，已知$AB=3$，因此$AE=AB=3$，即扇形的半径$r=3$。
2. 求扇形的圆心角：
∵$△ ABF$是等边三角形，
∴$∠ FAB=60°$，
∴扇形的圆心角$∠ EAF=∠ EAB-∠ FAB=108°-60°=48°$。
3. 计算阴影面积：
扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入得：
$S_{阴影}=\frac{48π×3^2}{360}=\frac{432π}{360}=\frac{6π}{5}$。
【答案】
$\frac{6π}{5}$
【知识点】
正多边形的性质，等边三角形的性质，扇形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将正多边形、等边三角形的性质与扇形面积计算相结合，难度不大，解题的核心是准确找到扇形的圆心角度数，同时需要牢记相关基础公式。
【难度系数】
0.7
要计算阴影部分的面积，首先观察阴影部分是圆心为A的扇形，因此只需确定扇形的半径和圆心角度数，再代入扇形面积公式求解即可。解题步骤如下：1. 利用正五边形的性质求出内角∠EAB的度数和边长AE的长度；2. 结合等边三角形的性质求出扇形的圆心角∠EAF的度数；3. 代入扇形面积公式计算结果。
【解析】
1. 求正五边形的内角度数与扇形半径：
正n边形的内角和为$(n-2)×180°$，因此正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即$∠ EAB=108°$。
正五边形各边相等，已知$AB=3$，因此$AE=AB=3$，即扇形的半径$r=3$。
2. 求扇形的圆心角：
∵$△ ABF$是等边三角形，
∴$∠ FAB=60°$，
∴扇形的圆心角$∠ EAF=∠ EAB-∠ FAB=108°-60°=48°$。
3. 计算阴影面积：
扇形面积公式为$S=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入得：
$S_{阴影}=\frac{48π×3^2}{360}=\frac{432π}{360}=\frac{6π}{5}$。
【答案】
$\frac{6π}{5}$
【知识点】
正多边形的性质，等边三角形的性质，扇形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将正多边形、等边三角形的性质与扇形面积计算相结合，难度不大，解题的核心是准确找到扇形的圆心角度数，同时需要牢记相关基础公式。
【难度系数】
0.7
5. 如图20,用一个圆心角为$120°$的扇形围成一个无底的圆锥.
(1)若圆锥的母线长为3 cm,求圆锥的侧面积;
(2)若圆锥底面圆的半径为2 cm,求扇形的半径.
(1)若圆锥的母线长为3 cm,求圆锥的侧面积;
(2)若圆锥底面圆的半径为2 cm,求扇形的半径.
答案
解：
(1) 圆锥的侧面积即为圆心角为$120°$的扇形的面积，
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ l^2}{360}$，其中$n=120°$，圆锥母线长$l=3\ \mathrm{cm}$，
代入得：$S=\frac{120×π×3^2}{360}=3π\ (\mathrm{cm}^2)$。
(2) 设扇形的半径为$R\ \mathrm{cm}$，
由扇形围成无底圆锥可知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，
根据弧长公式与圆的周长公式列方程：
$\frac{120π R}{180}=2π×2$
化简得$\frac{2π R}{3}=4π$，
解得$R=6$。
综上，(1) 圆锥的侧面积为$3π\ \mathrm{cm}^2$；(2) 扇形的半径为$6\ \mathrm{cm}$。
(1) 圆锥的侧面积即为圆心角为$120°$的扇形的面积，
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ l^2}{360}$，其中$n=120°$，圆锥母线长$l=3\ \mathrm{cm}$，
代入得：$S=\frac{120×π×3^2}{360}=3π\ (\mathrm{cm}^2)$。
(2) 设扇形的半径为$R\ \mathrm{cm}$，
由扇形围成无底圆锥可知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，
根据弧长公式与圆的周长公式列方程：
$\frac{120π R}{180}=2π×2$
化简得$\frac{2π R}{3}=4π$，
解得$R=6$。
综上，(1) 圆锥的侧面积为$3π\ \mathrm{cm}^2$；(2) 扇形的半径为$6\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
这道题考查扇形与圆锥侧面展开的相关计算，解题思路清晰：(1) 圆锥的侧面积就是围成它的扇形的面积，已知扇形的圆心角和半径（即圆锥母线长），直接代入扇形面积公式计算即可；(2) 扇形围成圆锥时，扇形的弧长恰好等于圆锥底面圆的周长，以此为等量关系列方程，即可求出扇形的半径。
【解析】
(1) 圆锥的侧面积等于圆心角为$120°$的扇形的面积，已知圆锥母线长即扇形半径$l=3\ \mathrm{cm}$，圆心角$n=120°$，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ l^2}{360}$，代入得：
$S=\frac{120×π×3^2}{360}=3π\ (\mathrm{cm}^2)$
(2) 设扇形的半径为$R\ \mathrm{cm}$，扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。
根据弧长公式和圆的周长公式列方程：
$\frac{120π R}{180}=2π×2$
化简得$\frac{2π R}{3}=4π$，解得$R=6$。
【答案】
(1) $3π\ \mathrm{cm}^2$；(2) $6\ \mathrm{cm}$
【知识点】
扇形面积计算，弧长计算，圆锥侧面展开性质
【点评】
本题是圆锥与扇形转化的基础题型，解题核心是牢记两个等量关系：圆锥侧面积等于展开扇形的面积，扇形弧长等于圆锥底面周长，属于几何计算的常考基础题。
【难度系数】
0.7
这道题考查扇形与圆锥侧面展开的相关计算，解题思路清晰：(1) 圆锥的侧面积就是围成它的扇形的面积，已知扇形的圆心角和半径（即圆锥母线长），直接代入扇形面积公式计算即可；(2) 扇形围成圆锥时，扇形的弧长恰好等于圆锥底面圆的周长，以此为等量关系列方程，即可求出扇形的半径。
【解析】
(1) 圆锥的侧面积等于圆心角为$120°$的扇形的面积，已知圆锥母线长即扇形半径$l=3\ \mathrm{cm}$，圆心角$n=120°$，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ l^2}{360}$，代入得：
$S=\frac{120×π×3^2}{360}=3π\ (\mathrm{cm}^2)$
(2) 设扇形的半径为$R\ \mathrm{cm}$，扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。
根据弧长公式和圆的周长公式列方程：
$\frac{120π R}{180}=2π×2$
化简得$\frac{2π R}{3}=4π$，解得$R=6$。
【答案】
(1) $3π\ \mathrm{cm}^2$；(2) $6\ \mathrm{cm}$
【知识点】
扇形面积计算，弧长计算，圆锥侧面展开性质
【点评】
本题是圆锥与扇形转化的基础题型，解题核心是牢记两个等量关系：圆锥侧面积等于展开扇形的面积，扇形弧长等于圆锥底面周长，属于几何计算的常考基础题。
【难度系数】
0.7
