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1. 下列式子中,表示 y 是 x 的反比例函数的是 ()
A.$xy=1$
B.$y=\dfrac{1}{x^2}$
C.$y=\dfrac{x}{2}$
D.$y=\dfrac{x}{x+1}$
A.$xy=1$
B.$y=\dfrac{1}{x^2}$
C.$y=\dfrac{x}{2}$
D.$y=\dfrac{x}{x+1}$
答案
A
解析
【分析】
要判断哪个式子表示y是x的反比例函数，首先需要明确反比例函数的定义及常见表达形式：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），也可变形为$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）的形式，接下来只需将每个选项对照定义逐一验证即可。
【解析】
首先回忆反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，自变量$x$的次数为$-1$，且分母只含有自变量$x$。
对各选项逐一分析：
选项A：$xy=1$可变形为$y=\frac{1}{x}$，符合$xy=k$（$k=1≠0$）的反比例函数形式，符合要求；
选项B：$y=\frac{1}{x^2}$中自变量$x$的次数是$-2$，不符合反比例函数自变量次数为$-1$的要求，不是反比例函数；
选项C：$y=\frac{x}{2}$是正比例函数，属于一次函数范畴，不是反比例函数；
选项D：$y=\frac{x}{x+1}$的分母是$x+1$，不是仅含自变量$x$的单项式，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数。
综上，只有选项A符合反比例函数的定义。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对反比例函数定义的理解和辨析，解题关键是熟练掌握反比例函数的三种常见表达形式，注意区分反比例函数与正比例函数、其他分式型函数的差异，掌握定义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要判断哪个式子表示y是x的反比例函数，首先需要明确反比例函数的定义及常见表达形式：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），也可变形为$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）的形式，接下来只需将每个选项对照定义逐一验证即可。
【解析】
首先回忆反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，自变量$x$的次数为$-1$，且分母只含有自变量$x$。
对各选项逐一分析：
选项A：$xy=1$可变形为$y=\frac{1}{x}$，符合$xy=k$（$k=1≠0$）的反比例函数形式，符合要求；
选项B：$y=\frac{1}{x^2}$中自变量$x$的次数是$-2$，不符合反比例函数自变量次数为$-1$的要求，不是反比例函数；
选项C：$y=\frac{x}{2}$是正比例函数，属于一次函数范畴，不是反比例函数；
选项D：$y=\frac{x}{x+1}$的分母是$x+1$，不是仅含自变量$x$的单项式，不符合反比例函数的形式，不是反比例函数。
综上，只有选项A符合反比例函数的定义。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对反比例函数定义的理解和辨析，解题关键是熟练掌握反比例函数的三种常见表达形式，注意区分反比例函数与正比例函数、其他分式型函数的差异，掌握定义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2. 已知函数$y=(m+2)x^{m^2 -5}$是反比例函数，则$m$的值是（）
A.2
B.$\pm2$
C.$\pm4$
D.$\pm6$
A.2
B.$\pm2$
C.$\pm4$
D.$\pm6$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确反比例函数的定义要求：反比例函数的一般形式为$y = kx^{-1}$（$k$为常数，且$k ≠ 0$），因此需要同时满足两个条件：一是自变量$x$的指数为$-1$，二是自变量的系数不为0。我们可以先根据指数条件列方程求出$m$的可能值，再根据系数不为0的条件排除不符合要求的解，最终得到正确的$m$值。
【解析】
根据反比例函数的定义，可得：
1. 自变量$x$的指数为$-1$，即：
$m^2 - 5 = -1$
移项计算得：$m^2 = 4$，解得$m = 2$或$m = -2$
2. 自变量的系数不为0，即：
$m + 2 ≠ 0$，解得$m ≠ -2$
结合上述两个条件，舍去$m = -2$，最终得$m = 2$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的概念、一元二次方程求解、不等式求解
【点评】
本题是基础概念类考题，易错点是容易忽略反比例函数中比例系数不为0的隐含条件，直接根据指数计算结果误选B，解题时需牢记概念的全部限制条件，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确反比例函数的定义要求：反比例函数的一般形式为$y = kx^{-1}$（$k$为常数，且$k ≠ 0$），因此需要同时满足两个条件：一是自变量$x$的指数为$-1$，二是自变量的系数不为0。我们可以先根据指数条件列方程求出$m$的可能值，再根据系数不为0的条件排除不符合要求的解，最终得到正确的$m$值。
【解析】
根据反比例函数的定义，可得：
1. 自变量$x$的指数为$-1$，即：
$m^2 - 5 = -1$
移项计算得：$m^2 = 4$，解得$m = 2$或$m = -2$
2. 自变量的系数不为0，即：
$m + 2 ≠ 0$，解得$m ≠ -2$
结合上述两个条件，舍去$m = -2$，最终得$m = 2$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的概念、一元二次方程求解、不等式求解
【点评】
本题是基础概念类考题，易错点是容易忽略反比例函数中比例系数不为0的隐含条件，直接根据指数计算结果误选B，解题时需牢记概念的全部限制条件，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
3. 已知反比例函数的解析式为$y=\frac{|a|-2}{x}$,则$a$的取值范围是（）
A.$a≠2$
B.$a≠-2$
C.$a≠±2$
D.$a=±2$
A.$a≠2$
B.$a≠-2$
C.$a≠±2$
D.$a=±2$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的定义要求：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数），其中核心限制条件是比例系数$k≠0$。本题中比例系数是$|a|-2$，因此我们只需要列出关于$a$的不等式，解出不等式就能得到$a$的取值范围。
【解析】
根据反比例函数的定义，$y=\frac{k}{x}$中比例系数$k$不能为0，因此对于函数$y=\frac{|a|-2}{x}$，有：
$|a|-2≠0$
移项得$|a|≠2$
根据绝对值的性质，绝对值为2的数是$\pm2$，因此$a≠\pm2$。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义、绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略反比例函数比例系数不为0的要求，或是解绝对值不等式时漏掉其中一种符号情况，牢记反比例函数的定义即可快速得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆反比例函数的定义要求：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数），其中核心限制条件是比例系数$k≠0$。本题中比例系数是$|a|-2$，因此我们只需要列出关于$a$的不等式，解出不等式就能得到$a$的取值范围。
【解析】
根据反比例函数的定义，$y=\frac{k}{x}$中比例系数$k$不能为0，因此对于函数$y=\frac{|a|-2}{x}$，有：
$|a|-2≠0$
移项得$|a|≠2$
根据绝对值的性质，绝对值为2的数是$\pm2$，因此$a≠\pm2$。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义、绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略反比例函数比例系数不为0的要求，或是解绝对值不等式时漏掉其中一种符号情况，牢记反比例函数的定义即可快速得分。
【难度系数】
0.8
4. 下面的三个问题中都有两个变量:①面积一定的等腰三角形,底边上的高 $ y $ 与底边长 $ x $;②将泳池中的水匀速放出,直至放完,泳池中的剩余水量 $ y $ 与放水时间 $ x $;③计划从A地到B地铺设一段铁轨,每日铺设长度 $ y $ 与铺设天数 $ x $.其中,变量 $ y $ 与变量 $ x $ 满足反比例函数关系的是 $\boldsymbol{(\quad)}$
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确反比例函数的核心判定特征：若两个变量x、y满足$xy=k$（k为非零常数），则y是x的反比例函数。接下来我们依次分析三个问题中y与x的等量关系，判断是否满足乘积为定值即可。首先分析①，等腰三角形面积固定，结合面积公式可推导x和y的乘积为定值；再分析②，匀速放水的剩余水量随时间线性减少，属于一次函数关系，乘积不是定值；最后分析③，铁轨总长度固定，每日铺设长度和天数的乘积就是总长度，为定值，由此即可选出符合条件的组合。
【解析】
我们先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数为反比例函数，也可变形为$xy=k$（$k$为非零常数），即两个变量的乘积为固定非零值时，二者成反比例函数关系。
1. 分析①：设等腰三角形的面积为$S$（$S$为定值，$S＞0$），根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得$S=\frac{1}{2}xy$，变形可得$xy=2S$。$2S$是固定的非零常数，因此$y$是$x$的反比例函数。
2. 分析②：设泳池总水量为$a$，匀速放水的速度为$v$（$a、v$均为定值，$a＞0,v＞0$），则剩余水量$y=a-vx$，符合一次函数$y=kx+b$的形式，不是反比例函数。
3. 分析③：设A地到B地的铁轨总长度为$m$（$m$为定值，$m＞0$），根据总长度=每日铺设长度×铺设天数，可得$xy=m$，$m$是固定的非零常数，因此$y$是$x$的反比例函数。
综上，满足反比例函数关系的是①③。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义；实际问题的等量关系；一次函数的特征
【点评】
本题考查反比例函数的识别，解题的关键是先结合实际场景推导两个变量的关系式，再对照反比例函数的定义判断，注意要区分开反比例函数与一次函数的形式，避免混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确反比例函数的核心判定特征：若两个变量x、y满足$xy=k$（k为非零常数），则y是x的反比例函数。接下来我们依次分析三个问题中y与x的等量关系，判断是否满足乘积为定值即可。首先分析①，等腰三角形面积固定，结合面积公式可推导x和y的乘积为定值；再分析②，匀速放水的剩余水量随时间线性减少，属于一次函数关系，乘积不是定值；最后分析③，铁轨总长度固定，每日铺设长度和天数的乘积就是总长度，为定值，由此即可选出符合条件的组合。
【解析】
我们先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数为反比例函数，也可变形为$xy=k$（$k$为非零常数），即两个变量的乘积为固定非零值时，二者成反比例函数关系。
1. 分析①：设等腰三角形的面积为$S$（$S$为定值，$S＞0$），根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得$S=\frac{1}{2}xy$，变形可得$xy=2S$。$2S$是固定的非零常数，因此$y$是$x$的反比例函数。
2. 分析②：设泳池总水量为$a$，匀速放水的速度为$v$（$a、v$均为定值，$a＞0,v＞0$），则剩余水量$y=a-vx$，符合一次函数$y=kx+b$的形式，不是反比例函数。
3. 分析③：设A地到B地的铁轨总长度为$m$（$m$为定值，$m＞0$），根据总长度=每日铺设长度×铺设天数，可得$xy=m$，$m$是固定的非零常数，因此$y$是$x$的反比例函数。
综上，满足反比例函数关系的是①③。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义；实际问题的等量关系；一次函数的特征
【点评】
本题考查反比例函数的识别，解题的关键是先结合实际场景推导两个变量的关系式，再对照反比例函数的定义判断，注意要区分开反比例函数与一次函数的形式，避免混淆。
【难度系数】
0.8
5. 长方形的面积为100,则长方形的长y与宽x间的函数关系是.
答案
解：
由长方形的面积公式可得 $ xy = 100 $，
整理得长$ y $与宽$ x $的函数关系为 $ \boldsymbol{y=\frac{100}{x}(x＞0)} $。
由长方形的面积公式可得 $ xy = 100 $，
整理得长$ y $与宽$ x $的函数关系为 $ \boldsymbol{y=\frac{100}{x}(x＞0)} $。
解析
【分析】
解题时首先回忆长方形的面积计算公式，将已知的面积、长、宽代入公式得到等量关系，再将式子变形为用含x的代数式表示y的形式；最后结合实际意义，长方形的宽是正数，因此要明确自变量x的取值范围，即可得到最终的函数关系。
【解析】
根据长方形的面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知面积为100，长为y，宽为x，代入可得：
$xy=100$
因为x是长方形的宽，属于长度，因此$x＞0$，将等式变形得：
$y=\frac{100}{x}(x＞0)$
【答案】
$y=\frac{100}{x}(x＞0)$
【知识点】
反比例函数的概念；长方形面积计算
【点评】
本题是反比例函数在几何场景中的基础应用，解题的关键是牢记面积公式，同时注意实际问题中自变量的取值范围不能遗漏，否则会导致答案不完整。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆长方形的面积计算公式，将已知的面积、长、宽代入公式得到等量关系，再将式子变形为用含x的代数式表示y的形式；最后结合实际意义，长方形的宽是正数，因此要明确自变量x的取值范围，即可得到最终的函数关系。
【解析】
根据长方形的面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知面积为100，长为y，宽为x，代入可得：
$xy=100$
因为x是长方形的宽，属于长度，因此$x＞0$，将等式变形得：
$y=\frac{100}{x}(x＞0)$
【答案】
$y=\frac{100}{x}(x＞0)$
【知识点】
反比例函数的概念；长方形面积计算
【点评】
本题是反比例函数在几何场景中的基础应用，解题的关键是牢记面积公式，同时注意实际问题中自变量的取值范围不能遗漏，否则会导致答案不完整。
【难度系数】
0.85
6. 已知函数$y=(m+3)x^{m^2 -10}$是关于$x$的反比例函数，则$m$的值是。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
要解决本题，需结合反比例函数的定义推导m的取值：反比例函数的标准形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$），因此需同时满足两个条件：①$x$的指数为$-1$；②$x$的系数不为$0$。先根据指数要求列方程求出$m$的可能值，再结合系数不为$0$的限制排除不符合的取值即可。
【解析】
解：
∵函数$y=(m+3)x^{m^2 -10}$是关于$x$的反比例函数
∴根据反比例函数的定义可列条件：
$\begin{cases}m^2 - 10 = -1 \quad \mathrm{（x的指数为-1）} \\m + 3 ≠ 0 \quad \mathrm{（系数不能为0）}\end{cases}$
解方程$m^2 - 10 = -1$：
移项得$m^2=9$，解得$m=3$或$m=-3$
解不等式$m + 3 ≠ 0$，得$m≠-3$
综上，排除不符合条件的$m=-3$，故$m=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
反比例函数的定义，一元二次方程的解法，不等式求解
【点评】
本题是反比例函数概念的基础应用题型，解题时需注意不要遗漏“系数不为0”的隐含限制条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需结合反比例函数的定义推导m的取值：反比例函数的标准形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$），因此需同时满足两个条件：①$x$的指数为$-1$；②$x$的系数不为$0$。先根据指数要求列方程求出$m$的可能值，再结合系数不为$0$的限制排除不符合的取值即可。
【解析】
解：
∵函数$y=(m+3)x^{m^2 -10}$是关于$x$的反比例函数
∴根据反比例函数的定义可列条件：
$\begin{cases}m^2 - 10 = -1 \quad \mathrm{（x的指数为-1）} \\m + 3 ≠ 0 \quad \mathrm{（系数不能为0）}\end{cases}$
解方程$m^2 - 10 = -1$：
移项得$m^2=9$，解得$m=3$或$m=-3$
解不等式$m + 3 ≠ 0$，得$m≠-3$
综上，排除不符合条件的$m=-3$，故$m=3$
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
反比例函数的定义，一元二次方程的解法，不等式求解
【点评】
本题是反比例函数概念的基础应用题型，解题时需注意不要遗漏“系数不为0”的隐含限制条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
7. 已知函数$y=(5m-3)x^{2-n}+(n+m)$.
(1)当$m,n$为何值时,是一次函数?
(2)当$m,n$为何值时,为正比例函数?
(3)当$m,n$为何值时,为反比例函数?
(1)当$m,n$为何值时,是一次函数?
(2)当$m,n$为何值时,为正比例函数?
(3)当$m,n$为何值时,为反比例函数?
答案
解：
(1) 根据一次函数的定义，可得：
$\begin{cases}2-n=1\\5m-3≠0\end{cases}$
解得 $n=1$，$m≠\frac{3}{5}$。
即当$n=1$，$m≠\frac{3}{5}$时，该函数是一次函数。
(2) 根据正比例函数的定义，可得：
$\begin{cases}2-n=1\\n+m=0\\5m-3≠0\end{cases}$
解得 $\begin{cases}n=1\\m=-1\end{cases}$。
即当$m=-1$，$n=1$时，该函数是正比例函数。
(3) 根据反比例函数的定义，可得：
$\begin{cases}2-n=-1\\n+m=0\\5m-3≠0\end{cases}$
解得 $\begin{cases}n=3\\m=-3\end{cases}$。
即当$m=-3$，$n=3$时，该函数是反比例函数。
(1) 根据一次函数的定义，可得：
$\begin{cases}2-n=1\\5m-3≠0\end{cases}$
解得 $n=1$，$m≠\frac{3}{5}$。
即当$n=1$，$m≠\frac{3}{5}$时，该函数是一次函数。
(2) 根据正比例函数的定义，可得：
$\begin{cases}2-n=1\\n+m=0\\5m-3≠0\end{cases}$
解得 $\begin{cases}n=1\\m=-1\end{cases}$。
即当$m=-1$，$n=1$时，该函数是正比例函数。
(3) 根据反比例函数的定义，可得：
$\begin{cases}2-n=-1\\n+m=0\\5m-3≠0\end{cases}$
解得 $\begin{cases}n=3\\m=-3\end{cases}$。
即当$m=-3$，$n=3$时，该函数是反比例函数。
解析
【分析】
本题考查一次函数、正比例函数、反比例函数的定义，解题时需紧扣每类函数的定义特征列出约束条件求解：首先明确对应函数中自变量x的次数要求，其次注意x的系数不能为0的隐含条件，另外正比例函数、反比例函数还要求常数项为0，联立所得的方程和不等式求解即可得到m、n的取值。
【解析】
(1) 根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数为一次函数，可得：
$\begin{cases}2-n=1\\5m-3≠0\end{cases}$
解得 $n=1$，$m≠\frac{3}{5}$。
即当$n=1$，$m≠\frac{3}{5}$时，该函数是一次函数。
(2) 根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为正比例函数，可得：
$\begin{cases}2-n=1\\n+m=0\\5m-3≠0\end{cases}$
解得 $\begin{cases}n=1\\m=-1\end{cases}$。
即当$m=-1$，$n=1$时，该函数是正比例函数。
(3) 根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数，可得：
$\begin{cases}2-n=-1\\n+m=0\\5m-3≠0\end{cases}$
解得 $\begin{cases}n=3\\m=-3\end{cases}$。
即当$m=-3$，$n=3$时，该函数是反比例函数。
【答案】
(1) $n=1$，$m≠\frac{3}{5}$；
(2) $m=-1$，$n=1$；
(3) $m=-3$，$n=3$。
【知识点】
一次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义
【点评】
本题是函数概念类的基础题型，解题的核心是准确记忆三类函数的形式特征，尤其要注意自变量系数不为0的隐含限制，避免因忽略限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7
本题考查一次函数、正比例函数、反比例函数的定义，解题时需紧扣每类函数的定义特征列出约束条件求解：首先明确对应函数中自变量x的次数要求，其次注意x的系数不能为0的隐含条件，另外正比例函数、反比例函数还要求常数项为0，联立所得的方程和不等式求解即可得到m、n的取值。
【解析】
(1) 根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数为一次函数，可得：
$\begin{cases}2-n=1\\5m-3≠0\end{cases}$
解得 $n=1$，$m≠\frac{3}{5}$。
即当$n=1$，$m≠\frac{3}{5}$时，该函数是一次函数。
(2) 根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为正比例函数，可得：
$\begin{cases}2-n=1\\n+m=0\\5m-3≠0\end{cases}$
解得 $\begin{cases}n=1\\m=-1\end{cases}$。
即当$m=-1$，$n=1$时，该函数是正比例函数。
(3) 根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数，可得：
$\begin{cases}2-n=-1\\n+m=0\\5m-3≠0\end{cases}$
解得 $\begin{cases}n=3\\m=-3\end{cases}$。
即当$m=-3$，$n=3$时，该函数是反比例函数。
【答案】
(1) $n=1$，$m≠\frac{3}{5}$；
(2) $m=-1$，$n=1$；
(3) $m=-3$，$n=3$。
【知识点】
一次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义
【点评】
本题是函数概念类的基础题型，解题的核心是准确记忆三类函数的形式特征，尤其要注意自变量系数不为0的隐含限制，避免因忽略限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7
