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8. 已知$y$是$z$的反比例函数，$z$是$x$的正比例函数.
(1)当$z=-\dfrac{2}{3}$时，$y=6$. 当$x=6$时，$z=4$. 求$y$与$x$之间的函数关系式.
(2)求证：$y$是$x$的反比例函数.
(1)当$z=-\dfrac{2}{3}$时，$y=6$. 当$x=6$时，$z=4$. 求$y$与$x$之间的函数关系式.
(2)求证：$y$是$x$的反比例函数.
答案
解：
(1) 设$y$与$z$的函数关系式为$y=\frac{k_1}{z}$（$k_1≠0$），$z$与$x$的函数关系式为$z=k_2 x$（$k_2≠0$）。
把$z=-\frac{2}{3}$，$y=6$代入$y=\frac{k_1}{z}$，得：
$6=\frac{k_1}{-\frac{2}{3}}$，
解得$k_1=-4$。
把$x=6$，$z=4$代入$z=k_2 x$，得：
$4=6k_2$，
解得$k_2=\frac{2}{3}$。
将$z=\frac{2}{3}x$代入$y=\frac{-4}{z}$，得：
$y=\frac{-4}{\frac{2}{3}x}=-\frac{6}{x}$。
即$y$与$x$之间的函数关系式为$y=-\frac{6}{x}$。
(2) 证明：
由题设$y=\frac{k_1}{z}$（$k_1≠0$），$z=k_2 x$（$k_2≠0$）。
将$z=k_2 x$代入$y=\frac{k_1}{z}$，得：
$y=\frac{k_1}{k_2 x}$，
令$k=\frac{k_1}{k_2}$，由$k_1≠0$，$k_2≠0$可得$k≠0$，
则$y=\frac{k}{x}$，符合反比例函数的定义，
因此$y$是$x$的反比例函数。
(1) 设$y$与$z$的函数关系式为$y=\frac{k_1}{z}$（$k_1≠0$），$z$与$x$的函数关系式为$z=k_2 x$（$k_2≠0$）。
把$z=-\frac{2}{3}$，$y=6$代入$y=\frac{k_1}{z}$，得：
$6=\frac{k_1}{-\frac{2}{3}}$，
解得$k_1=-4$。
把$x=6$，$z=4$代入$z=k_2 x$，得：
$4=6k_2$，
解得$k_2=\frac{2}{3}$。
将$z=\frac{2}{3}x$代入$y=\frac{-4}{z}$，得：
$y=\frac{-4}{\frac{2}{3}x}=-\frac{6}{x}$。
即$y$与$x$之间的函数关系式为$y=-\frac{6}{x}$。
(2) 证明：
由题设$y=\frac{k_1}{z}$（$k_1≠0$），$z=k_2 x$（$k_2≠0$）。
将$z=k_2 x$代入$y=\frac{k_1}{z}$，得：
$y=\frac{k_1}{k_2 x}$，
令$k=\frac{k_1}{k_2}$，由$k_1≠0$，$k_2≠0$可得$k≠0$，
则$y=\frac{k}{x}$，符合反比例函数的定义，
因此$y$是$x$的反比例函数。
解析
【分析】
本题分为求函数关系式和证明两类问题，解题思路如下：(1)首先根据反比例函数、正比例函数的定义，分别设出y与z、z与x的函数解析式，注意两个比例系数要区分开（用不同的下标表示）；其次将已知的对应值分别代入两个解析式，求出两个比例系数的值；最后将z关于x的表达式代入y关于z的表达式，消去中间变量z，即可得到y与x的函数关系式。(2)要证明y是x的反比例函数，只需根据题设的两个一般函数关系式，消去中间变量z，推导得到y关于x的解析式符合反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，k为常数且$k≠0$）即可。
【解析】
(1) 设$y$与$z$的反比例函数关系式为$y=\frac{k_1}{z}$（$k_1≠0$），$z$与$x$的正比例函数关系式为$z=k_2 x$（$k_2≠0$）。
把$z=-\frac{2}{3}$，$y=6$代入$y=\frac{k_1}{z}$，得：
$6=\frac{k_1}{-\frac{2}{3}}$，
解得$k_1=-4$。
把$x=6$，$z=4$代入$z=k_2 x$，得：
$4=6k_2$，
解得$k_2=\frac{2}{3}$。
将$z=\frac{2}{3}x$代入$y=\frac{-4}{z}$，得：
$y=\frac{-4}{\frac{2}{3}x}=-\frac{6}{x}$。
(2) 证明：
由题设$y=\frac{k_1}{z}$（$k_1≠0$），$z=k_2 x$（$k_2≠0$）。
将$z=k_2 x$代入$y=\frac{k_1}{z}$，得：
$y=\frac{k_1}{k_2 x}$，
令$k=\frac{k_1}{k_2}$，由$k_1≠0$、$k_2≠0$可得$k≠0$，
则$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），符合反比例函数的定义，
因此$y$是$x$的反比例函数。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{6}{x}$；(2) $y$是$x$的反比例函数，证明成立。
【知识点】
正比例函数定义、反比例函数定义、函数解析式的确定
【点评】
本题是函数概念的基础应用题型，核心考查对正比例、反比例函数定义的理解和运用，解题的关键是合理引入比例系数，通过消去中间变量得到目标函数关系，这类题型是后续学习复合函数的基础，需要熟练掌握代换消元的方法。
【难度系数】
0.8
本题分为求函数关系式和证明两类问题，解题思路如下：(1)首先根据反比例函数、正比例函数的定义，分别设出y与z、z与x的函数解析式，注意两个比例系数要区分开（用不同的下标表示）；其次将已知的对应值分别代入两个解析式，求出两个比例系数的值；最后将z关于x的表达式代入y关于z的表达式，消去中间变量z，即可得到y与x的函数关系式。(2)要证明y是x的反比例函数，只需根据题设的两个一般函数关系式，消去中间变量z，推导得到y关于x的解析式符合反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，k为常数且$k≠0$）即可。
【解析】
(1) 设$y$与$z$的反比例函数关系式为$y=\frac{k_1}{z}$（$k_1≠0$），$z$与$x$的正比例函数关系式为$z=k_2 x$（$k_2≠0$）。
把$z=-\frac{2}{3}$，$y=6$代入$y=\frac{k_1}{z}$，得：
$6=\frac{k_1}{-\frac{2}{3}}$，
解得$k_1=-4$。
把$x=6$，$z=4$代入$z=k_2 x$，得：
$4=6k_2$，
解得$k_2=\frac{2}{3}$。
将$z=\frac{2}{3}x$代入$y=\frac{-4}{z}$，得：
$y=\frac{-4}{\frac{2}{3}x}=-\frac{6}{x}$。
(2) 证明：
由题设$y=\frac{k_1}{z}$（$k_1≠0$），$z=k_2 x$（$k_2≠0$）。
将$z=k_2 x$代入$y=\frac{k_1}{z}$，得：
$y=\frac{k_1}{k_2 x}$，
令$k=\frac{k_1}{k_2}$，由$k_1≠0$、$k_2≠0$可得$k≠0$，
则$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），符合反比例函数的定义，
因此$y$是$x$的反比例函数。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{6}{x}$；(2) $y$是$x$的反比例函数，证明成立。
【知识点】
正比例函数定义、反比例函数定义、函数解析式的确定
【点评】
本题是函数概念的基础应用题型，核心考查对正比例、反比例函数定义的理解和运用，解题的关键是合理引入比例系数，通过消去中间变量得到目标函数关系，这类题型是后续学习复合函数的基础，需要熟练掌握代换消元的方法。
【难度系数】
0.8
1. 对于反比例函数$y=-\dfrac{2}{x}$，下列说法不正确的是 （）
A.图象分布在第二、四象限
B.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
C.图象经过点$(1,-2)$
D.若点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$都在图象上，且$x_1＜x_2$，则$y_1＜y_2$
A.图象分布在第二、四象限
B.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
C.图象经过点$(1,-2)$
D.若点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$都在图象上，且$x_1＜x_2$，则$y_1＜y_2$
答案
D
解析
【分析】
本题考查反比例函数的图象与性质，解题思路如下：首先确定反比例函数解析式中比例系数k的值，再结合k的符号逐一判断每个选项的描述是否正确，注意反比例函数的增减性成立的前提是在同一象限内，最终选出说法不正确的选项即可。
【解析】
已知反比例函数为$y=-\dfrac{2}{x}$，则比例系数$k=-2＜0$，逐一分析选项：
A. 当$k＜0$时，反比例函数图象分布在第二、四象限，该选项说法正确，不符合题意；
B. 当$k＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，当$x＞0$时，图象位于第四象限，因此$y$随$x$的增大而增大，该选项说法正确，不符合题意；
C. 将$x=1$代入解析式得$y=-\dfrac{2}{1}=-2$，因此图象经过点$(1,-2)$，该选项说法正确，不符合题意；
D. 反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，若两点不在同一象限，例如取$x_1=-1＜x_2=1$，代入得$y_1=2$，$y_2=-2$，此时$y_1＞y_2$，因此该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题核心考查反比例函数的性质，解题的关键是明确比例系数k对函数图象位置、增减性的影响，尤其要注意增减性的适用前提是在同一象限内，避免忽略前提直接判断大小导致错误。
【难度系数】
0.7
本题考查反比例函数的图象与性质，解题思路如下：首先确定反比例函数解析式中比例系数k的值，再结合k的符号逐一判断每个选项的描述是否正确，注意反比例函数的增减性成立的前提是在同一象限内，最终选出说法不正确的选项即可。
【解析】
已知反比例函数为$y=-\dfrac{2}{x}$，则比例系数$k=-2＜0$，逐一分析选项：
A. 当$k＜0$时，反比例函数图象分布在第二、四象限，该选项说法正确，不符合题意；
B. 当$k＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，当$x＞0$时，图象位于第四象限，因此$y$随$x$的增大而增大，该选项说法正确，不符合题意；
C. 将$x=1$代入解析式得$y=-\dfrac{2}{1}=-2$，因此图象经过点$(1,-2)$，该选项说法正确，不符合题意；
D. 反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，若两点不在同一象限，例如取$x_1=-1＜x_2=1$，代入得$y_1=2$，$y_2=-2$，此时$y_1＞y_2$，因此该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题核心考查反比例函数的性质，解题的关键是明确比例系数k对函数图象位置、增减性的影响，尤其要注意增减性的适用前提是在同一象限内，避免忽略前提直接判断大小导致错误。
【难度系数】
0.7
2. 反比例函数 $y=\frac{k-1}{x}$ 的图象在第一、三象限，则点 $(k,-3)$ 在第象限.
答案
四
解析
【分析】
解题时先回忆反比例函数的图象性质：对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m\ne0$），当$m＞0$时图象位于第一、三象限，当$m＜0$时图象位于第二、四象限。本题中反比例函数的比例系数为$k-1$，结合图象在第一、三象限的条件可列不等式求出$k$的取值范围，再根据各象限内点的坐标符号特征，就能判断点$(k,-3)$所在的象限。
【解析】
1. 根据反比例函数图象性质列不等式
∵ 反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象在第一、三象限
∴ 比例系数满足$k-1＞0$
2. 求解$k$的范围
解不等式得：$k＞1$，即$k$为正数
3. 判断点所在象限
点$(k,-3)$的横坐标$k＞0$，纵坐标$-3＜0$，符合第四象限内点“横坐标正、纵坐标负”的特征，因此该点在第四象限。
【答案】
四
【知识点】
反比例函数的图象与性质；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查反比例函数的性质和平面直角坐标系内点的坐标特征，解题关键是先根据反比例函数图象的位置求出参数$k$的正负，掌握相关基础性质就能快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆反比例函数的图象性质：对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m\ne0$），当$m＞0$时图象位于第一、三象限，当$m＜0$时图象位于第二、四象限。本题中反比例函数的比例系数为$k-1$，结合图象在第一、三象限的条件可列不等式求出$k$的取值范围，再根据各象限内点的坐标符号特征，就能判断点$(k,-3)$所在的象限。
【解析】
1. 根据反比例函数图象性质列不等式
∵ 反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象在第一、三象限
∴ 比例系数满足$k-1＞0$
2. 求解$k$的范围
解不等式得：$k＞1$，即$k$为正数
3. 判断点所在象限
点$(k,-3)$的横坐标$k＞0$，纵坐标$-3＜0$，符合第四象限内点“横坐标正、纵坐标负”的特征，因此该点在第四象限。
【答案】
四
【知识点】
反比例函数的图象与性质；象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查反比例函数的性质和平面直角坐标系内点的坐标特征，解题关键是先根据反比例函数图象的位置求出参数$k$的正负，掌握相关基础性质就能快速解答。
【难度系数】
0.9
3. 若反比例函数 $ y_1 = \frac{2}{x}, y_2 = -\frac{3}{x} $，当 $ 1 ≤ x ≤ 3 $ 时，函数 $ y_1 $ 的最大值是 $ a $，函数 $ y_2 $ 的最大值是 $ b $，则 $ a^b = \_\_\_\_\_\_ $
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，回忆反比例函数的增减性规律：当k＞0时，在x＞0的区间内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在x＞0的区间内，y随x的增大而增大。第二步，结合给定区间1≤x≤3，分别判断两个反比例函数的增减性，对应找到区间内使函数取最大值的x值，计算得到a和b。第三步，根据负整数指数幂的运算规则计算a^b的结果。
【解析】
1. 求a的值：
对于反比例函数$y_1=\frac{2}{x}$，其中$k=2＞0$，因此在$x＞0$时，$y_1$随$x$的增大而减小。
已知$1≤ x≤3$，当$x=1$时$y_1$取最大值，即$a=\frac{2}{1}=2$。
2. 求b的值：
对于反比例函数$y_2=-\frac{3}{x}$，其中$k=-3＜0$，因此在$x＞0$时，$y_2$随$x$的增大而增大。
已知$1≤ x≤3$，当$x=3$时$y_2$取最大值，即$b=-\frac{3}{3}=-1$。
3. 计算$a^b$：
代入$a=2$、$b=-1$，得$a^b=2^{-1}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
反比例函数的性质、函数最值求解、负整数指数幂运算
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性的应用，易错点是容易混淆k值正负对应的增减规律，或在求最值时选错区间端点值，只要熟练掌握反比例函数的基本性质，结合区间范围就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，回忆反比例函数的增减性规律：当k＞0时，在x＞0的区间内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在x＞0的区间内，y随x的增大而增大。第二步，结合给定区间1≤x≤3，分别判断两个反比例函数的增减性，对应找到区间内使函数取最大值的x值，计算得到a和b。第三步，根据负整数指数幂的运算规则计算a^b的结果。
【解析】
1. 求a的值：
对于反比例函数$y_1=\frac{2}{x}$，其中$k=2＞0$，因此在$x＞0$时，$y_1$随$x$的增大而减小。
已知$1≤ x≤3$，当$x=1$时$y_1$取最大值，即$a=\frac{2}{1}=2$。
2. 求b的值：
对于反比例函数$y_2=-\frac{3}{x}$，其中$k=-3＜0$，因此在$x＞0$时，$y_2$随$x$的增大而增大。
已知$1≤ x≤3$，当$x=3$时$y_2$取最大值，即$b=-\frac{3}{3}=-1$。
3. 计算$a^b$：
代入$a=2$、$b=-1$，得$a^b=2^{-1}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
反比例函数的性质、函数最值求解、负整数指数幂运算
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性的应用，易错点是容易混淆k值正负对应的增减规律，或在求最值时选错区间端点值，只要熟练掌握反比例函数的基本性质，结合区间范围就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
4. 若点$A(-1,y_1)$，$B(-\dfrac{1}{4},y_2)$，$C(1,y_3)$都在反比例函数$y=\dfrac{k^2+1}{x}$（$k$为常数）的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为________。
答案
解：
∵ 对任意常数k，都有$k^2\ge0$，
∴ $k^2+1＞0$，
∴ 反比例函数$y=\frac{k^2+1}{x}$的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵ $-1＜-\frac{1}{4}＜0$，
∴ 点A、B都在第三象限，可得$y_2＜y_1＜0$。
又∵ 点C的横坐标$1＞0$，
∴ 点C在第一象限，得$y_3＞0$。
∴ $y_2＜y_1＜y_3$。
∵ 对任意常数k，都有$k^2\ge0$，
∴ $k^2+1＞0$，
∴ 反比例函数$y=\frac{k^2+1}{x}$的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵ $-1＜-\frac{1}{4}＜0$，
∴ 点A、B都在第三象限，可得$y_2＜y_1＜0$。
又∵ 点C的横坐标$1＞0$，
∴ 点C在第一象限，得$y_3＞0$。
∴ $y_2＜y_1＜y_3$。
解析
【分析】
要比较三个函数值的大小，可按以下思路推导：①首先根据平方的非负性判断反比例函数的比例系数$k^2+1$的正负，以此确定函数图象所在象限以及增减性；②再判断三个点分别所在的象限，不同象限的点，第一象限的纵坐标恒为正，第三象限的纵坐标恒为负；③同一象限内的点，结合横坐标的大小和函数增减性比较纵坐标的大小，最后整合得到三个函数值的大小关系。
【解析】
∵ 对任意常数$k$，都有$k^2\ge0$，
∴ $k^2+1＞0$，
∴ 反比例函数$y=\frac{k^2+1}{x}$的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵ $-1＜-\frac{1}{4}＜0$，
∴ 点A、B都在第三象限，可得$y_2＜y_1＜0$。
又
∵ 点C的横坐标$1＞0$，
∴ 点C在第一象限，得$y_3＞0$。
∴ $y_2＜y_1＜y_3$。
【答案】
$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
【知识点】
反比例函数的性质；平方的非负性；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的典型基础应用题，解题核心是先确定反比例系数的符号，明确函数的增减性和图象所在象限，再结合点的坐标特征比较函数值大小，解题时需注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立。
【难度系数】
0.8
要比较三个函数值的大小，可按以下思路推导：①首先根据平方的非负性判断反比例函数的比例系数$k^2+1$的正负，以此确定函数图象所在象限以及增减性；②再判断三个点分别所在的象限，不同象限的点，第一象限的纵坐标恒为正，第三象限的纵坐标恒为负；③同一象限内的点，结合横坐标的大小和函数增减性比较纵坐标的大小，最后整合得到三个函数值的大小关系。
【解析】
∵ 对任意常数$k$，都有$k^2\ge0$，
∴ $k^2+1＞0$，
∴ 反比例函数$y=\frac{k^2+1}{x}$的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵ $-1＜-\frac{1}{4}＜0$，
∴ 点A、B都在第三象限，可得$y_2＜y_1＜0$。
又
∵ 点C的横坐标$1＞0$，
∴ 点C在第一象限，得$y_3＞0$。
∴ $y_2＜y_1＜y_3$。
【答案】
$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
【知识点】
反比例函数的性质；平方的非负性；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的典型基础应用题，解题核心是先确定反比例系数的符号，明确函数的增减性和图象所在象限，再结合点的坐标特征比较函数值大小，解题时需注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立。
【难度系数】
0.8
5. 图1是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象,则k的值可以为.(写出符合图象特征的一个值即可)
答案
9（答案不唯一，满足k＞8即可）
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先根据反比例函数图象所在象限判断k的符号：已知函数图象在第一象限且x＞0，因此k为正数；第二步，结合反比例函数k的代数意义推导k的取值范围：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，变形可得$k=xy$，即k等于图象上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积，结合图象特征可知图象上所有点的xy乘积都大于8，因此k＞8；第三步，任取一个大于8的正数作为k的值即可。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象位于第一象限，
∴$k＞0$，
由反比例函数的解析式可得$k=xy$，结合图象特征可知图象上任意点的横、纵坐标乘积$xy＞8$，
∴$k＞8$，
因此只需取大于8的任意正数即可，例如取$k=9$。
【答案】
9（答案不唯一，满足k＞8即可）
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质；2.反比例函数系数k的意义
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，重点考查图象性质与系数k的关联，只要掌握反比例函数中k和图象上点坐标的对应关系，就能快速确定k的取值范围，进而得到符合要求的答案。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，先根据反比例函数图象所在象限判断k的符号：已知函数图象在第一象限且x＞0，因此k为正数；第二步，结合反比例函数k的代数意义推导k的取值范围：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，变形可得$k=xy$，即k等于图象上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积，结合图象特征可知图象上所有点的xy乘积都大于8，因此k＞8；第三步，任取一个大于8的正数作为k的值即可。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象位于第一象限，
∴$k＞0$，
由反比例函数的解析式可得$k=xy$，结合图象特征可知图象上任意点的横、纵坐标乘积$xy＞8$，
∴$k＞8$，
因此只需取大于8的任意正数即可，例如取$k=9$。
【答案】
9（答案不唯一，满足k＞8即可）
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质；2.反比例函数系数k的意义
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，重点考查图象性质与系数k的关联，只要掌握反比例函数中k和图象上点坐标的对应关系，就能快速确定k的取值范围，进而得到符合要求的答案。
【难度系数】
0.8
6. 如图2,已知反比例函数$y_1=\frac{k}{x}(x＜0)$和$y_2=-\frac{1}{x}(x＜0)$的图象分别为$C_1,C_2$,A是$C_1$上一点,过点A作$AB⊥ x$轴,垂足为点B,AB与$C_2$交于点D.若$△ AOD$的面积为2,则k的值为.
答案
$\boldsymbol{-5}$
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足、原点三点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。本题中△AOD的面积可转化为△OAB的面积减去△OBD的面积，我们可以先用k的几何意义分别表示两个小三角形的面积，再结合已知△AOD的面积列方程求解，最后结合$C_1$所在的象限确定k的符号即可得到结果。
【解析】
根据反比例函数k的几何意义：
1. 对于$y_2=-\frac{1}{x}(x＜0)$，点D在$C_2$上，且$DB⊥x$轴，因此$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}×|-1|=\frac{1}{2}$；
2. 点A在$C_1:y_1=\frac{k}{x}(x＜0)$上，且$AB⊥x$轴，因此$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}|k|$；
3. 由图形可知$S_{△ AOD}=S_{△ OAB}-S_{△ OBD}$，已知$S_{△ AOD}=2$，代入得：
$\frac{1}{2}|k| - \frac{1}{2}=2$
解方程得：
$\frac{1}{2}|k|=\frac{5}{2}$，即$|k|=5$
又因为$C_1$是$x＜0$时的反比例函数图象，位于第二象限，因此$k＜0$，故$k=-5$。
【答案】
$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象性质
【点评】
本题的核心是利用反比例函数k的几何意义转化三角形面积，解题时要注意观察图形中各三角形的面积关系，最后不要遗漏根据图象所在象限判断k的正负，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.65
解题时首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足、原点三点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。本题中△AOD的面积可转化为△OAB的面积减去△OBD的面积，我们可以先用k的几何意义分别表示两个小三角形的面积，再结合已知△AOD的面积列方程求解，最后结合$C_1$所在的象限确定k的符号即可得到结果。
【解析】
根据反比例函数k的几何意义：
1. 对于$y_2=-\frac{1}{x}(x＜0)$，点D在$C_2$上，且$DB⊥x$轴，因此$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}×|-1|=\frac{1}{2}$；
2. 点A在$C_1:y_1=\frac{k}{x}(x＜0)$上，且$AB⊥x$轴，因此$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}|k|$；
3. 由图形可知$S_{△ AOD}=S_{△ OAB}-S_{△ OBD}$，已知$S_{△ AOD}=2$，代入得：
$\frac{1}{2}|k| - \frac{1}{2}=2$
解方程得：
$\frac{1}{2}|k|=\frac{5}{2}$，即$|k|=5$
又因为$C_1$是$x＜0$时的反比例函数图象，位于第二象限，因此$k＜0$，故$k=-5$。
【答案】
$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象性质
【点评】
本题的核心是利用反比例函数k的几何意义转化三角形面积，解题时要注意观察图形中各三角形的面积关系，最后不要遗漏根据图象所在象限判断k的正负，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.65
