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7. 已知反比例函数 $y=\frac{2k+1}{x}$。
(1)若图象在第二、四象限,求k的取值范围.
(2)当k取什么值时,在每个象限内y随x的增大而减小?
(1)若图象在第二、四象限,求k的取值范围.
(2)当k取什么值时,在每个象限内y随x的增大而减小?
答案
解：
(1) ∵反比例函数$y=\frac{2k+1}{x}$的图象在第二、四象限，
∴$2k+1＜0$，
解得$k＜-\frac{1}{2}$。
(2) ∵在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，
∴$2k+1＞0$，
解得$k＞-\frac{1}{2}$。
(1) ∵反比例函数$y=\frac{2k+1}{x}$的图象在第二、四象限，
∴$2k+1＜0$，
解得$k＜-\frac{1}{2}$。
(2) ∵在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，
∴$2k+1＞0$，
解得$k＞-\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
解决本题需要结合反比例函数的性质分析：反比例函数的一般形式为$y=\frac{a}{x}$（$a$为常数且$a\ne0$），当$a＜0$时，图象位于第二、四象限；当$a＞0$时，图象位于第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。
对于(1)，已知图象在第二、四象限，可得到比例系数$2k+1＜0$，解不等式即可得到$k$的取值范围；对于(2)，要求在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，可得到比例系数$2k+1＞0$，解不等式即可得到对应$k$的取值范围。
【解析】
(1)
∵反比例函数$y=\frac{2k+1}{x}$的图象在第二、四象限，
∴$2k+1＜0$，
解得$k＜-\frac{1}{2}$。
(2)
∵在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，
∴$2k+1＞0$，
解得$k＞-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $k＜-\frac{1}{2}$；(2) $k＞-\frac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查反比例函数核心性质的应用，解题的关键是牢记反比例函数比例系数的符号与图象位置、增减性的对应关系，避免记混两种情况的符号要求即可得分。
【难度系数】
0.8
解决本题需要结合反比例函数的性质分析：反比例函数的一般形式为$y=\frac{a}{x}$（$a$为常数且$a\ne0$），当$a＜0$时，图象位于第二、四象限；当$a＞0$时，图象位于第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。
对于(1)，已知图象在第二、四象限，可得到比例系数$2k+1＜0$，解不等式即可得到$k$的取值范围；对于(2)，要求在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，可得到比例系数$2k+1＞0$，解不等式即可得到对应$k$的取值范围。
【解析】
(1)
∵反比例函数$y=\frac{2k+1}{x}$的图象在第二、四象限，
∴$2k+1＜0$，
解得$k＜-\frac{1}{2}$。
(2)
∵在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，
∴$2k+1＞0$，
解得$k＞-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $k＜-\frac{1}{2}$；(2) $k＞-\frac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查反比例函数核心性质的应用，解题的关键是牢记反比例函数比例系数的符号与图象位置、增减性的对应关系，避免记混两种情况的符号要求即可得分。
【难度系数】
0.8
8. 某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现当做功一定时，功率P(单位:W)与做功的时间t(单位:s)存在反比例函数关系.如下表是他们实验的几组数据：
(1)写出功率P与做功的时间t之间的函数关系式；
(2)如图3，在平面直角坐标系中，描出上表中以各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；
(3)结合图象，求当功率小于100 W时，做功时间t的取值范围.
(1)写出功率P与做功的时间t之间的函数关系式；
(2)如图3，在平面直角坐标系中，描出上表中以各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；
(3)结合图象，求当功率小于100 W时，做功时间t的取值范围.
答案
解：
(1) 由题意设功率$P$与做功时间$t$的反比例函数关系式为$P=\frac{k}{t}(k≠0, t＞0)$，
将$t=10$，$P=120$代入得：$120=\frac{k}{10}$，解得$k=1200$。
验证其余各组数据：$20×60=1200$，$30×40=1200$，$40×30=1200$，$50×24=1200$，均满足$Pt=1200$。
因此所求函数关系式为$\boldsymbol{P=\frac{1200}{t}(t＞0)}$。
(2) 在平面直角坐标系中描出点$(10,120)$、$(20,60)$、$(30,40)$、$(40,30)$、$(50,24)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到第一象限内对应反比例函数的图象。
(3) 令$P=100$，代入$P=\frac{1200}{t}$得：$100=\frac{1200}{t}$，解得$t=12$。
由反比例函数性质，当$k=1200＞0$且$t＞0$时，$P$随$t$的增大而减小，因此当功率小于100 W时，做功时间$t$的取值范围是$\boldsymbol{t＞12\ \mathrm{s}}$。
(1) 由题意设功率$P$与做功时间$t$的反比例函数关系式为$P=\frac{k}{t}(k≠0, t＞0)$，
将$t=10$，$P=120$代入得：$120=\frac{k}{10}$，解得$k=1200$。
验证其余各组数据：$20×60=1200$，$30×40=1200$，$40×30=1200$，$50×24=1200$，均满足$Pt=1200$。
因此所求函数关系式为$\boldsymbol{P=\frac{1200}{t}(t＞0)}$。
(2) 在平面直角坐标系中描出点$(10,120)$、$(20,60)$、$(30,40)$、$(40,30)$、$(50,24)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到第一象限内对应反比例函数的图象。
(3) 令$P=100$，代入$P=\frac{1200}{t}$得：$100=\frac{1200}{t}$，解得$t=12$。
由反比例函数性质，当$k=1200＞0$且$t＞0$时，$P$随$t$的增大而减小，因此当功率小于100 W时，做功时间$t$的取值范围是$\boldsymbol{t＞12\ \mathrm{s}}$。
解析
【分析】
解题可按照三个小问逐层推进思考：
(1) 求函数关系式：已知P与t是反比例函数关系，先设出反比例函数的通用形式$P=\frac{k}{t}(k≠0,t＞0)$，选取表格中一组对应值代入计算出k，再验证其余所有数据都满足乘积为定值，同时结合实际意义明确t的取值范围；
(2) 画函数图象：将表格中每组t、P的值作为横、纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应点，再用平滑曲线顺次连接各点，因t、P均为正数，图象仅在第一象限；
(3) 求t的取值范围：先计算P=100时对应的t值，再结合k＞0时反比例函数在第一象限的增减性，即可判断出P＜100时t的取值范围。
【解析】
(1) 由题意设功率$P$与做功时间$t$的反比例函数关系式为$P=\frac{k}{t}(k≠0, t＞0)$，
将$t=10$，$P=120$代入得：$120=\frac{k}{10}$，解得$k=1200$。
验证其余各组数据：$20×60=1200$，$30×40=1200$，$40×30=1200$，$50×24=1200$，均满足$Pt=1200$。
因此所求函数关系式为$P=\frac{1200}{t}(t＞0)$。
(2) 在平面直角坐标系中描出点$(10,120)$、$(20,60)$、$(30,40)$、$(40,30)$、$(50,24)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到第一象限内对应反比例函数的图象。
(3) 令$P=100$，代入$P=\frac{1200}{t}$得：$100=\frac{1200}{t}$，解得$t=12$。
由反比例函数性质，当$k=1200＞0$且$t＞0$时，$P$随$t$的增大而减小，因此当功率小于100 W时，做功时间$t$的取值范围是$t＞12\ \mathrm{s}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{P=\frac{1200}{t}(t＞0)}$
(2) 描出点$(10,120)$、$(20,60)$、$(30,40)$、$(40,30)$、$(50,24)$，用平滑曲线顺次连接得到第一象限内的函数图象
(3) $\boldsymbol{t＞12\ \mathrm{s}}$
【知识点】
反比例函数解析式确定；反比例函数图象绘制；反比例函数性质应用
【点评】
本题结合物理实际背景考查反比例函数相关知识，题目设置由浅入深，既考查了待定系数法求解析式、描点法画图象的基础能力，也考查了利用函数性质解决实际问题的应用能力，解题时需注意实际问题中自变量的取值限制，避免出现不符合现实意义的结果。
【难度系数】
0.8
解题可按照三个小问逐层推进思考：
(1) 求函数关系式：已知P与t是反比例函数关系，先设出反比例函数的通用形式$P=\frac{k}{t}(k≠0,t＞0)$，选取表格中一组对应值代入计算出k，再验证其余所有数据都满足乘积为定值，同时结合实际意义明确t的取值范围；
(2) 画函数图象：将表格中每组t、P的值作为横、纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应点，再用平滑曲线顺次连接各点，因t、P均为正数，图象仅在第一象限；
(3) 求t的取值范围：先计算P=100时对应的t值，再结合k＞0时反比例函数在第一象限的增减性，即可判断出P＜100时t的取值范围。
【解析】
(1) 由题意设功率$P$与做功时间$t$的反比例函数关系式为$P=\frac{k}{t}(k≠0, t＞0)$，
将$t=10$，$P=120$代入得：$120=\frac{k}{10}$，解得$k=1200$。
验证其余各组数据：$20×60=1200$，$30×40=1200$，$40×30=1200$，$50×24=1200$，均满足$Pt=1200$。
因此所求函数关系式为$P=\frac{1200}{t}(t＞0)$。
(2) 在平面直角坐标系中描出点$(10,120)$、$(20,60)$、$(30,40)$、$(40,30)$、$(50,24)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到第一象限内对应反比例函数的图象。
(3) 令$P=100$，代入$P=\frac{1200}{t}$得：$100=\frac{1200}{t}$，解得$t=12$。
由反比例函数性质，当$k=1200＞0$且$t＞0$时，$P$随$t$的增大而减小，因此当功率小于100 W时，做功时间$t$的取值范围是$t＞12\ \mathrm{s}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{P=\frac{1200}{t}(t＞0)}$
(2) 描出点$(10,120)$、$(20,60)$、$(30,40)$、$(40,30)$、$(50,24)$，用平滑曲线顺次连接得到第一象限内的函数图象
(3) $\boldsymbol{t＞12\ \mathrm{s}}$
【知识点】
反比例函数解析式确定；反比例函数图象绘制；反比例函数性质应用
【点评】
本题结合物理实际背景考查反比例函数相关知识，题目设置由浅入深，既考查了待定系数法求解析式、描点法画图象的基础能力，也考查了利用函数性质解决实际问题的应用能力，解题时需注意实际问题中自变量的取值限制，避免出现不符合现实意义的结果。
【难度系数】
0.8
