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1. 市一小学数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为$200\ \mathrm{cm}^2$的矩形学具进行展示. 设矩形的宽为$x\ \mathrm{cm}$,长为$y\ \mathrm{cm}$,那么这些同学所制作的矩形长$y$(单位:$\mathrm{cm}$)与宽$x$(单位:$\mathrm{cm}$)之间的函数关系的图象大致是 () 
答案
解：
由矩形面积公式得 $ xy = 200 $，
整理得长$ y $与宽$ x $的函数关系式为 $ y = \frac{200}{x} $。
∵ 矩形的宽、长均为正数，即 $ x＞0 $，$ y＞0 $，
∴ 该函数的图象是反比例函数 $ y=\frac{200}{x} $ 位于第一象限的双曲线分支，符合条件的是选项A。
答：A。
由矩形面积公式得 $ xy = 200 $，
整理得长$ y $与宽$ x $的函数关系式为 $ y = \frac{200}{x} $。
∵ 矩形的宽、长均为正数，即 $ x＞0 $，$ y＞0 $，
∴ 该函数的图象是反比例函数 $ y=\frac{200}{x} $ 位于第一象限的双曲线分支，符合条件的是选项A。
答：A。
解析
【分析】
解题时首先结合矩形面积公式建立长和宽的等量关系，推导得到函数解析式，判断函数类型；再结合实际意义确定自变量和因变量的取值范围，两者结合就能确定函数图象的形状和所在象限，最后逐一比对选项即可得出答案。
【解析】
解：根据矩形面积公式“面积=长×宽”，可得：
$xy=200$，
整理得长$y$与宽$x$的函数关系式为：$y=\frac{200}{x}$。
∵矩形的宽$x$、长$y$均为正数，即$x＞0$，$y＞0$，
∴该函数的图象是反比例函数$y=\frac{200}{x}$位于第一象限的双曲线分支，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；自变量取值范围
【点评】
本题将几何面积问题与函数图象结合，解题的关键是先确定函数类型，同时需注意实际问题中自变量的取值不能脱离现实意义，要根据取值范围进一步缩小图象的范围。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合矩形面积公式建立长和宽的等量关系，推导得到函数解析式，判断函数类型；再结合实际意义确定自变量和因变量的取值范围，两者结合就能确定函数图象的形状和所在象限，最后逐一比对选项即可得出答案。
【解析】
解：根据矩形面积公式“面积=长×宽”，可得：
$xy=200$，
整理得长$y$与宽$x$的函数关系式为：$y=\frac{200}{x}$。
∵矩形的宽$x$、长$y$均为正数，即$x＞0$，$y＞0$，
∴该函数的图象是反比例函数$y=\frac{200}{x}$位于第一象限的双曲线分支，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的图象；自变量取值范围
【点评】
本题将几何面积问题与函数图象结合，解题的关键是先确定函数类型，同时需注意实际问题中自变量的取值不能脱离现实意义，要根据取值范围进一步缩小图象的范围。
【难度系数】
0.8
2. 两个反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 和 $y=\frac{1}{x}$ 在第一象限内的图象如图4所示,点P在$y=\frac{k}{x}$的图象上,PC⊥x轴于点C,交$y=\frac{1}{x}$的图象于点A,PD⊥y轴于点D,交$y=\frac{1}{x}$的图象于点B.当点P在$y=\frac{k}{x}$的图象上运动时,以下结论:①△ODB与△OCA的面积相等;②四边形PAOB的面积不会发生变化;③PA与PB始终相等;④当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点.其中一定正确的是 ()
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
答案
C
解析
【分析】
解题时先利用反比例函数k的几何意义，设出点P的坐标，进而表示出点A、B的坐标，再逐一判断4个结论是否正确。首先回忆反比例函数的核心性质：反比例函数$y=\frac{t}{x}$上任意一点向两坐标轴作垂线，所得直角三角形面积为$\frac{1}{2}|t|$，所得矩形面积为$|t|$，据此先计算相关图形面积判断①②；再通过坐标表示PA、PB的长度判断③；最后利用中点的坐标特征推导关系判断④即可。
【解析】
设点P的坐标为$(m,n)$，因为点P在$y=\frac{k}{x}$的图象上，因此$mn=k$。
由题意可知：点A在PC上，横坐标与P相同为$m$，且A在$y=\frac{1}{x}$上，故$A(m,\frac{1}{m})$；点B在PD上，纵坐标与P相同为$n$，且B在$y=\frac{1}{x}$上，故$B(\frac{1}{n},n)$。
1. 判断结论①：
$S_{△ ODB}=\frac{1}{2} × OD × BD = \frac{1}{2} × n × \frac{1}{n} = \frac{1}{2}$，$S_{△ OCA}=\frac{1}{2} × OC × AC = \frac{1}{2} × m × \frac{1}{m} = \frac{1}{2}$，因此$△ ODB$与$△ OCA$的面积相等，①正确。
2. 判断结论②：
矩形OCPD的面积为$OC × OD = mn = k$，则$S_{四边形PAOB}=S_{矩形OCPD} - S_{△ ODB} - S_{△ OCA} = k - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = k-1$，k为定值，因此四边形PAOB的面积不会发生变化，②正确。
3. 判断结论③：
$PA = n - \frac{1}{m}$，$PB = m - \frac{1}{n}$，仅当$m=n$时$PA=PB$，并非始终相等，③错误。
4. 判断结论④：
若A是PC中点，则$\frac{1}{m} = \frac{1}{2}n$，整理得$mn=2$。此时B点横坐标为$\frac{1}{n} = \frac{m}{2}$，即B为PD的中点，④正确。
综上，①②④正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用题，解题的核心是熟练运用k的几何意义，通过设点坐标将几何量转化为代数式计算，能很好地考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.65
解题时先利用反比例函数k的几何意义，设出点P的坐标，进而表示出点A、B的坐标，再逐一判断4个结论是否正确。首先回忆反比例函数的核心性质：反比例函数$y=\frac{t}{x}$上任意一点向两坐标轴作垂线，所得直角三角形面积为$\frac{1}{2}|t|$，所得矩形面积为$|t|$，据此先计算相关图形面积判断①②；再通过坐标表示PA、PB的长度判断③；最后利用中点的坐标特征推导关系判断④即可。
【解析】
设点P的坐标为$(m,n)$，因为点P在$y=\frac{k}{x}$的图象上，因此$mn=k$。
由题意可知：点A在PC上，横坐标与P相同为$m$，且A在$y=\frac{1}{x}$上，故$A(m,\frac{1}{m})$；点B在PD上，纵坐标与P相同为$n$，且B在$y=\frac{1}{x}$上，故$B(\frac{1}{n},n)$。
1. 判断结论①：
$S_{△ ODB}=\frac{1}{2} × OD × BD = \frac{1}{2} × n × \frac{1}{n} = \frac{1}{2}$，$S_{△ OCA}=\frac{1}{2} × OC × AC = \frac{1}{2} × m × \frac{1}{m} = \frac{1}{2}$，因此$△ ODB$与$△ OCA$的面积相等，①正确。
2. 判断结论②：
矩形OCPD的面积为$OC × OD = mn = k$，则$S_{四边形PAOB}=S_{矩形OCPD} - S_{△ ODB} - S_{△ OCA} = k - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = k-1$，k为定值，因此四边形PAOB的面积不会发生变化，②正确。
3. 判断结论③：
$PA = n - \frac{1}{m}$，$PB = m - \frac{1}{n}$，仅当$m=n$时$PA=PB$，并非始终相等，③错误。
4. 判断结论④：
若A是PC中点，则$\frac{1}{m} = \frac{1}{2}n$，整理得$mn=2$。此时B点横坐标为$\frac{1}{n} = \frac{m}{2}$，即B为PD的中点，④正确。
综上，①②④正确，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用题，解题的核心是熟练运用k的几何意义，通过设点坐标将几何量转化为代数式计算，能很好地考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.65
3.(2025·辽宁)在电压不变的情况下,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系.当R=4时,I=5.则电流I与电阻R之间的函数关系式为I=.
答案
解：
∵电流I与电阻R是反比例函数关系，
∴设$I=\frac{k}{R}$（$k≠0$）。
将$R=4$，$I=5$代入得：
$5=\frac{k}{4}$，
解得$k=20$。
∴电流I与电阻R之间的函数关系式为$I=\frac{20}{R}$。
$\frac{20}{R}$
∵电流I与电阻R是反比例函数关系，
∴设$I=\frac{k}{R}$（$k≠0$）。
将$R=4$，$I=5$代入得：
$5=\frac{k}{4}$，
解得$k=20$。
∴电流I与电阻R之间的函数关系式为$I=\frac{20}{R}$。
$\frac{20}{R}$
解析
【分析】
解题时首先根据题干给出的“电流I与电阻R是反比例函数关系”这一条件，先回忆反比例函数的一般形式，设出带待定系数k的函数解析式；再将题目给出的R=4、I=5的对应取值代入所设解析式，求出待定系数k的值；最后将k代回解析式，即可得到最终的函数关系式。
【解析】
∵电流I与电阻R是反比例函数关系，
∴设$I=\frac{k}{R}$（$k≠0$）。
将$R=4$，$I=5$代入解析式得：
$5=\frac{k}{4}$，
解得$k=5×4=20$。
∴电流I与电阻R之间的函数关系式为$I=\frac{20}{R}$。
【答案】
$\frac{20}{R}$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数在实际场景中的基础应用，核心考查对反比例函数基本形式的掌握和待定系数法的运用，解题逻辑清晰，掌握基础知识点即可轻松作答。
【难度系数】
0.85
解题时首先根据题干给出的“电流I与电阻R是反比例函数关系”这一条件，先回忆反比例函数的一般形式，设出带待定系数k的函数解析式；再将题目给出的R=4、I=5的对应取值代入所设解析式，求出待定系数k的值；最后将k代回解析式，即可得到最终的函数关系式。
【解析】
∵电流I与电阻R是反比例函数关系，
∴设$I=\frac{k}{R}$（$k≠0$）。
将$R=4$，$I=5$代入解析式得：
$5=\frac{k}{4}$，
解得$k=5×4=20$。
∴电流I与电阻R之间的函数关系式为$I=\frac{20}{R}$。
【答案】
$\frac{20}{R}$
【知识点】
反比例函数的定义；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数在实际场景中的基础应用，核心考查对反比例函数基本形式的掌握和待定系数法的运用，解题逻辑清晰，掌握基础知识点即可轻松作答。
【难度系数】
0.85
4. 某型号汽车行驶时功率一定,行驶速度v(单位:m/s)与所受阻力F(单位:N)是反比例函数关系,其图象如图5所示.若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30 m/s,则所受阻力F为N.
答案
解：设行驶速度$v$与阻力$F$的反比例函数解析式为$v=\frac{k}{F}(k≠0)$。
将图象上点的坐标$F=3750$，$v=20$代入解析式，得：
$20=\frac{k}{3750}$
解得$k=20×3750=75000$，
因此反比例函数解析式为$v=\frac{75000}{F}$。
当$v=30\ \mathrm{m/s}$时，代入解析式得：
$30=\frac{75000}{F}$
解得$F=2500$。
答：所受阻力$F$为2500N。
$\boxed{2500}$
将图象上点的坐标$F=3750$，$v=20$代入解析式，得：
$20=\frac{k}{3750}$
解得$k=20×3750=75000$，
因此反比例函数解析式为$v=\frac{75000}{F}$。
当$v=30\ \mathrm{m/s}$时，代入解析式得：
$30=\frac{75000}{F}$
解得$F=2500$。
答：所受阻力$F$为2500N。
$\boxed{2500}$
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际问题中的应用类题目，解题思路清晰：首先根据题干明确速度v和阻力F是反比例函数关系，先设出反比例函数的一般形式；再从函数图象中获取已知的F、v对应值，代入解析式求出比例系数k，确定完整的函数解析式；最后将v=30m/s代入已求的解析式中，计算得到对应的阻力F即可。
【解析】
设行驶速度$v$与阻力$F$的反比例函数解析式为$v=\frac{k}{F}(k≠0)$。
由图象可知，当$F=3750\ \mathrm{N}$时，$v=20\ \mathrm{m/s}$，将其代入解析式得：
$20=\frac{k}{3750}$
解得$k=20×3750=75000$，
因此反比例函数解析式为$v=\frac{75000}{F}$。
当$v=30\ \mathrm{m/s}$时，代入解析式得：
$30=\frac{75000}{F}$
解得$F=75000÷30=2500$。
【答案】
$\boxed{2500}$
【知识点】
反比例函数的实际应用、待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合汽车行驶的真实情境考查反比例函数的应用，解题核心是准确提取图象中的已知点坐标，熟练运用待定系数法求出函数解析式后再代入求值，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
本题是反比例函数在实际问题中的应用类题目，解题思路清晰：首先根据题干明确速度v和阻力F是反比例函数关系，先设出反比例函数的一般形式；再从函数图象中获取已知的F、v对应值，代入解析式求出比例系数k，确定完整的函数解析式；最后将v=30m/s代入已求的解析式中，计算得到对应的阻力F即可。
【解析】
设行驶速度$v$与阻力$F$的反比例函数解析式为$v=\frac{k}{F}(k≠0)$。
由图象可知，当$F=3750\ \mathrm{N}$时，$v=20\ \mathrm{m/s}$，将其代入解析式得：
$20=\frac{k}{3750}$
解得$k=20×3750=75000$，
因此反比例函数解析式为$v=\frac{75000}{F}$。
当$v=30\ \mathrm{m/s}$时，代入解析式得：
$30=\frac{75000}{F}$
解得$F=75000÷30=2500$。
【答案】
$\boxed{2500}$
【知识点】
反比例函数的实际应用、待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合汽车行驶的真实情境考查反比例函数的应用，解题核心是准确提取图象中的已知点坐标，熟练运用待定系数法求出函数解析式后再代入求值，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
5. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数y(单位:度)与镜片焦距x(单位:米)成反比例,y关于x的函数图象如图6所示.小雪的镜片焦距为0.2米时,眼镜度数为500度,经过一段时间的矫正治疗后,小雪的镜片焦距变为0.5米,此时眼镜的度数为度.
答案
解：设y与x的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0, x＞0)$。
将$x=0.2$，$y=500$代入解析式，得：
$500=\frac{k}{0.2}$
解得$k=100$，
所以y关于x的函数解析式为$y=\frac{100}{x}$。
当$x=0.5$时，$y=\frac{100}{0.5}=200$。
答：此时眼镜的度数为200度。
将$x=0.2$，$y=500$代入解析式，得：
$500=\frac{k}{0.2}$
解得$k=100$，
所以y关于x的函数解析式为$y=\frac{100}{x}$。
当$x=0.5$时，$y=\frac{100}{0.5}=200$。
答：此时眼镜的度数为200度。
解析
【分析】
首先根据题目给出的“y与x成反比例”的条件，确定二者满足反比例函数关系，因此第一步先设出反比例函数的一般形式；第二步利用已知的x=0.2时y=500的对应值，代入所设解析式求出未知系数k，得到y与x的确定函数关系式；第三步将矫正后的镜片焦距x=0.5代入已求出的函数解析式，计算得到对应的y值，即为所求的眼镜度数。
【解析】
解：设y与x的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0, x＞0)$。
将$x=0.2$，$y=500$代入解析式，得：
$500=\frac{k}{0.2}$
解得$k=100$，
所以y关于x的函数解析式为$y=\frac{100}{x}$。
当$x=0.5$时，代入解析式得：
$y=\frac{100}{0.5}=200$
【答案】
200
【知识点】
反比例函数的实际应用、待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数结合生活场景的基础应用题，解题核心是掌握反比例函数的基本形式和待定系数法的应用，代入数据计算时注意数值运算的准确性即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
首先根据题目给出的“y与x成反比例”的条件，确定二者满足反比例函数关系，因此第一步先设出反比例函数的一般形式；第二步利用已知的x=0.2时y=500的对应值，代入所设解析式求出未知系数k，得到y与x的确定函数关系式；第三步将矫正后的镜片焦距x=0.5代入已求出的函数解析式，计算得到对应的y值，即为所求的眼镜度数。
【解析】
解：设y与x的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0, x＞0)$。
将$x=0.2$，$y=500$代入解析式，得：
$500=\frac{k}{0.2}$
解得$k=100$，
所以y关于x的函数解析式为$y=\frac{100}{x}$。
当$x=0.5$时，代入解析式得：
$y=\frac{100}{0.5}=200$
【答案】
200
【知识点】
反比例函数的实际应用、待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数结合生活场景的基础应用题，解题核心是掌握反比例函数的基本形式和待定系数法的应用，代入数据计算时注意数值运算的准确性即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
