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一般地,对于方程$x^2 = p$,
(1)当$p＞0$时,根据平方根的意义,方程有两个不相等的实数根
(2)当$p=0$时,方程有两个相等的实数根
(3)当$p＜0$时,因为对任意实数$x$,都有$x^2 ≥ 0$,所以方程
(1)当$p＞0$时,根据平方根的意义,方程有两个不相等的实数根
$x_1=\sqrt{p},x_2=-\sqrt{p}$
;(2)当$p=0$时,方程有两个相等的实数根
$x_1=x_2=0$
;(3)当$p＜0$时,因为对任意实数$x$,都有$x^2 ≥ 0$,所以方程
没有实数根
.答案
1. $x_1=\sqrt{p},x_2=-\sqrt{p}$
2. $x_1=x_2=0$
3. 没有实数根
2. $x_1=x_2=0$
3. 没有实数根
解析
【分析】
本题考查利用直接开平方法解一元二次方程，解题需结合平方根的性质分情况讨论：首先回忆平方根的核心性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；再对应p的三种取值情况，分别判断方程$x^2=p$的根的情况，即可推导得出结果。
【解析】
(1) 当$p＞0$时，根据平方根的意义，正数的平方根有两个且互为相反数，对$x^2=p$开平方可得，方程有两个不相等的实数根$x_1=\sqrt{p},x_2=-\sqrt{p}$；
(2) 当$p=0$时，方程变为$x^2=0$，0的平方根为0，因此方程有两个相等的实数根$x_1=x_2=0$；
(3) 当$p＜0$时，由于任意实数的平方都具有非负性，即$x^2≥0$恒成立，不存在实数$x$使得$x^2$为负数，因此方程没有实数根。
【答案】
(1) $x_1=\sqrt{p},x_2=-\sqrt{p}$
(2) $x_1=x_2=0$
(3) 没有实数根
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 直接开平方法解一元二次方程
3. 实数平方的非负性
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，重点考查分类讨论思想，熟练掌握平方根的相关性质是解题的关键，也是后续学习更复杂一元二次方程解法的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查利用直接开平方法解一元二次方程，解题需结合平方根的性质分情况讨论：首先回忆平方根的核心性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；再对应p的三种取值情况，分别判断方程$x^2=p$的根的情况，即可推导得出结果。
【解析】
(1) 当$p＞0$时，根据平方根的意义，正数的平方根有两个且互为相反数，对$x^2=p$开平方可得，方程有两个不相等的实数根$x_1=\sqrt{p},x_2=-\sqrt{p}$；
(2) 当$p=0$时，方程变为$x^2=0$，0的平方根为0，因此方程有两个相等的实数根$x_1=x_2=0$；
(3) 当$p＜0$时，由于任意实数的平方都具有非负性，即$x^2≥0$恒成立，不存在实数$x$使得$x^2$为负数，因此方程没有实数根。
【答案】
(1) $x_1=\sqrt{p},x_2=-\sqrt{p}$
(2) $x_1=x_2=0$
(3) 没有实数根
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 直接开平方法解一元二次方程
3. 实数平方的非负性
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，重点考查分类讨论思想，熟练掌握平方根的相关性质是解题的关键，也是后续学习更复杂一元二次方程解法的基础。
【难度系数】
0.9
1. 方程$x^2=4$的根是(
A.$x=2$
B.$x_1=2,\ x_2=-2$
C.$x=-2$
D.$x_1=2,\ x_2=0$
B
).A.$x=2$
B.$x_1=2,\ x_2=-2$
C.$x=-2$
D.$x_1=2,\ x_2=0$
答案
1. B
解析
【分析】
本题要求解一元二次方程$x^2=4$的根，可采用直接开平方法求解。首先回忆平方根的定义：若一个数的平方等于$a$（$a≥0$），则这个数是$a$的平方根，有正负两个，因此我们可以对等式两边同时开平方，求出两个根后再对应选项即可。
【解析】
对于方程$x^2=4$，等式两边同时开平方得：
$x=\pm\sqrt{4}$
计算得$x=\pm2$，即方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=-2$。
对比选项，B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程的基本解法，解题时要注意正数的平方根有两个，不要漏记负根。
【难度系数】
0.9
本题要求解一元二次方程$x^2=4$的根，可采用直接开平方法求解。首先回忆平方根的定义：若一个数的平方等于$a$（$a≥0$），则这个数是$a$的平方根，有正负两个，因此我们可以对等式两边同时开平方，求出两个根后再对应选项即可。
【解析】
对于方程$x^2=4$，等式两边同时开平方得：
$x=\pm\sqrt{4}$
计算得$x=\pm2$，即方程的两个根为$x_1=2$，$x_2=-2$。
对比选项，B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程的基本解法，解题时要注意正数的平方根有两个，不要漏记负根。
【难度系数】
0.9
2. 下列方程中，有两个相等实数根的是（
A.$(x-2)^2=-1$
B.$(x-2)^2=0$
C.$(x-2)^2=1$
D.$(x-2)^2=2$
B
）.A.$(x-2)^2=-1$
B.$(x-2)^2=0$
C.$(x-2)^2=1$
D.$(x-2)^2=2$
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的情况判断，可结合直接开平方法的原理和平方的非负性分析：首先对于形如$(x-a)^2 = b$的方程，根据平方的性质，$(x-a)^2≥0$恒成立：当$b＜0$时，方程无实数根；当$b=0$时，方程有两个相等的实数根；当$b＞0$时，方程有两个不相等的实数根。我们只需逐个判断每个选项等号右侧的常数取值，对应根的情况即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$(x-2)^2=-1$，等号右侧$-1＜0$，方程无实数根，不符合要求；
选项B：$(x-2)^2=0$，等号右侧为0，可得$x-2=0$，即$x_1=x_2=2$，方程有两个相等的实数根，符合要求；
选项C：$(x-2)^2=1$，等号右侧$1＞0$，开方得$x-2=\pm1$，解得$x_1=3$，$x_2=1$，有两个不相等的实数根，不符合要求；
选项D：$(x-2)^2=2$，等号右侧$2＞0$，开方得$x-2=\pm\sqrt{2}$，解得$x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$，有两个不相等的实数根，不符合要求。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的判定；平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对直接开平方法解一元二次方程的掌握，只需明确平方的非负性以及不同取值下对应根的类型，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根的情况判断，可结合直接开平方法的原理和平方的非负性分析：首先对于形如$(x-a)^2 = b$的方程，根据平方的性质，$(x-a)^2≥0$恒成立：当$b＜0$时，方程无实数根；当$b=0$时，方程有两个相等的实数根；当$b＞0$时，方程有两个不相等的实数根。我们只需逐个判断每个选项等号右侧的常数取值，对应根的情况即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$(x-2)^2=-1$，等号右侧$-1＜0$，方程无实数根，不符合要求；
选项B：$(x-2)^2=0$，等号右侧为0，可得$x-2=0$，即$x_1=x_2=2$，方程有两个相等的实数根，符合要求；
选项C：$(x-2)^2=1$，等号右侧$1＞0$，开方得$x-2=\pm1$，解得$x_1=3$，$x_2=1$，有两个不相等的实数根，不符合要求；
选项D：$(x-2)^2=2$，等号右侧$2＞0$，开方得$x-2=\pm\sqrt{2}$，解得$x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$，有两个不相等的实数根，不符合要求。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的判定；平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对直接开平方法解一元二次方程的掌握，只需明确平方的非负性以及不同取值下对应根的类型，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 若关于$x$的方程$(x+3)^2 = m -1$有实数根，则$m$的取值范围是(
A.$m≥0$
B.$m≥-1$
C.$m＞1$
D.$m≥1$
D
).A.$m≥0$
B.$m≥-1$
C.$m＞1$
D.$m≥1$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先回忆平方的性质：任意实数的平方都是非负数，即结果大于等于0。本题中方程左边是$(x+3)^2$，属于完全平方式，无论x取何实数值，左边的取值都≥0。要使方程有实数根，右边的$m-1$的取值必须和左边的取值范围匹配，即$m-1$也要≥0，接下来解这个不等式就能得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ 对于任意实数x，完全平方式$(x+3)^2 ≥ 0$恒成立，
又
∵ 方程$(x+3)^2 = m-1$有实数根，
∴ 右边的代数式需满足$m-1 ≥ 0$，
移项解得$m ≥ 1$，
因此m的取值范围是$m≥1$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方的非负性；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，解题核心是利用完全平方的非负性建立不等式，牢记平方数的非负性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平方的性质：任意实数的平方都是非负数，即结果大于等于0。本题中方程左边是$(x+3)^2$，属于完全平方式，无论x取何实数值，左边的取值都≥0。要使方程有实数根，右边的$m-1$的取值必须和左边的取值范围匹配，即$m-1$也要≥0，接下来解这个不等式就能得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ 对于任意实数x，完全平方式$(x+3)^2 ≥ 0$恒成立，
又
∵ 方程$(x+3)^2 = m-1$有实数根，
∴ 右边的代数式需满足$m-1 ≥ 0$，
移项解得$m ≥ 1$，
因此m的取值范围是$m≥1$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
平方的非负性；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，解题核心是利用完全平方的非负性建立不等式，牢记平方数的非负性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4. 一元二次方程$(x+1)^2=2$可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为$x+1=\sqrt{2}$，则另一个一元一次方程为（
A.$x-1=\sqrt{2}$
B.$x+1=2$
C.$x+1=-\sqrt{2}$
D.$x+1=-2$
C
）。A.$x-1=\sqrt{2}$
B.$x+1=2$
C.$x+1=-\sqrt{2}$
D.$x+1=-2$
答案
4. C
解析
【分析】
遇到形如$(a)^2=b(b≥0)$的一元二次方程，可使用直接开平方法求解。根据平方根的性质，正数的平方根有2个，且互为相反数，因此对等式两边开平方时，右边需同时带正负号，即可拆分得到两个一元一次方程，已知其中一个为带正号的$x+1=\sqrt{2}$，另一个自然为带负号的形式。
【解析】
解：对于方程$(x+1)^2=2$，等式右边2为正数，根据平方根的定义对两边同时开平方，可得：
$x+1=\pm\sqrt{2}$
因此方程可拆分为两个一元一次方程：$x+1=\sqrt{2}$和$x+1=-\sqrt{2}$，即另一个一元一次方程为$x+1=-\sqrt{2}$。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程降次的思路，只要掌握正数有两个互为相反数的平方根这一性质，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
遇到形如$(a)^2=b(b≥0)$的一元二次方程，可使用直接开平方法求解。根据平方根的性质，正数的平方根有2个，且互为相反数，因此对等式两边开平方时，右边需同时带正负号，即可拆分得到两个一元一次方程，已知其中一个为带正号的$x+1=\sqrt{2}$，另一个自然为带负号的形式。
【解析】
解：对于方程$(x+1)^2=2$，等式右边2为正数，根据平方根的定义对两边同时开平方，可得：
$x+1=\pm\sqrt{2}$
因此方程可拆分为两个一元一次方程：$x+1=\sqrt{2}$和$x+1=-\sqrt{2}$，即另一个一元一次方程为$x+1=-\sqrt{2}$。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程降次的思路，只要掌握正数有两个互为相反数的平方根这一性质，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
5. 下列方程中，一定有实数根的是（
A.$(2x+1)^2=3$
B.$x^2+1=0$
C.$(\frac{1}{2}x -1)^2 =a$
D.$\frac{x}{x-1}=\frac{1}{x-1}$
A
）.A.$(2x+1)^2=3$
B.$x^2+1=0$
C.$(\frac{1}{2}x -1)^2 =a$
D.$\frac{x}{x-1}=\frac{1}{x-1}$
答案
5. A
解析
【分析】
要判断方程是否一定有实数根，需结合不同方程的特点逐一分析：对于含平方的整式方程，利用“任意实数的平方是非负数”的性质判断等号两边是否匹配；对于分式方程，需先去分母求解，再检验解是否使分母为0（增根），注意题目要求“一定有实数根”，即不存在无实根的情况才符合要求。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：方程$(2x+1)^2=3$，等号右边$3＞0$，根据平方根的意义可得$2x+1=\pm\sqrt{3}$，解得$x=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$，有2个不相等的实数根，符合要求。
B选项：方程$x^2+1=0$，移项得$x^2=-1$，由于任意实数的平方$≥0$，不可能等于负数，因此该方程无实数根，不符合。
C选项：方程$(\frac{1}{2}x -1)^2 =a$，左边平方的结果$≥0$，但参数$a$的取值不确定：当$a＜0$时，方程无实数根，因此不一定总有实根，不符合。
D选项：这是分式方程，首先分母$x-1≠0$即$x≠1$，两边同乘$x-1$去分母得$x=1$，但$x=1$使原方程分母为0，是增根，因此该方程无实数根，不符合。
综上只有A选项的方程一定有实数根。
【答案】
A
【知识点】
平方的非负性；一元二次方程根的判断；分式方程增根检验
【点评】
本题是方程实数根判断的基础题型，解题时要注意题干“一定有实根”的要求，易错点是忽略C选项中参数的取值范围，以及忘记对分式方程的解进行增根检验。
【难度系数】
0.8
要判断方程是否一定有实数根，需结合不同方程的特点逐一分析：对于含平方的整式方程，利用“任意实数的平方是非负数”的性质判断等号两边是否匹配；对于分式方程，需先去分母求解，再检验解是否使分母为0（增根），注意题目要求“一定有实数根”，即不存在无实根的情况才符合要求。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：方程$(2x+1)^2=3$，等号右边$3＞0$，根据平方根的意义可得$2x+1=\pm\sqrt{3}$，解得$x=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$，有2个不相等的实数根，符合要求。
B选项：方程$x^2+1=0$，移项得$x^2=-1$，由于任意实数的平方$≥0$，不可能等于负数，因此该方程无实数根，不符合。
C选项：方程$(\frac{1}{2}x -1)^2 =a$，左边平方的结果$≥0$，但参数$a$的取值不确定：当$a＜0$时，方程无实数根，因此不一定总有实根，不符合。
D选项：这是分式方程，首先分母$x-1≠0$即$x≠1$，两边同乘$x-1$去分母得$x=1$，但$x=1$使原方程分母为0，是增根，因此该方程无实数根，不符合。
综上只有A选项的方程一定有实数根。
【答案】
A
【知识点】
平方的非负性；一元二次方程根的判断；分式方程增根检验
【点评】
本题是方程实数根判断的基础题型，解题时要注意题干“一定有实根”的要求，易错点是忽略C选项中参数的取值范围，以及忘记对分式方程的解进行增根检验。
【难度系数】
0.8
