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6. 若一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个不相等的实数根分别是$2m+1$与$m-7$，则$\frac{a}{b}$为________。
答案
$\frac{1}{25}$
解析
【分析】
首先，先处理方程$ax^2 = b(ab＞0)$，将其变形为$x^2=\frac{b}{a}$，根据平方根的性质可知，该方程的两个实数根互为相反数，即两根之和为0。我们可以先利用这个性质列出关于$m$的一元一次方程，求解得到$m$的值后，代入得到方程的根，再代入$x^2=\frac{b}{a}$求出$\frac{b}{a}$的值，取倒数即可得到$\frac{a}{b}$。
【解析】
解：$\because ax^2 = b(ab＞0)$
$\therefore$ 移项得 $x^2 = \frac{b}{a}$，可知该方程的两个实数根互为相反数，即两根之和为0
根据题意得：$(2m+1)+(m-7)=0$
合并同类项得：$3m - 6 = 0$
解得：$m=2$
将$m=2$代入两根，得：
$2m+1=2×2+1=5$，$m-7=2-7=-5$
$\therefore$ 方程的两个根为$5$和$-5$
代入$x^2=\frac{b}{a}$得：$\frac{b}{a}=5^2=25$
$\therefore \frac{a}{b}=\frac{1}{25}$
【答案】
$\frac{1}{25}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 相反数的性质
3. 一元二次方程根的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确直接开平方所得的两个根互为相反数，通过列方程求出参数$m$的值，再代入计算即可，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
首先，先处理方程$ax^2 = b(ab＞0)$，将其变形为$x^2=\frac{b}{a}$，根据平方根的性质可知，该方程的两个实数根互为相反数，即两根之和为0。我们可以先利用这个性质列出关于$m$的一元一次方程，求解得到$m$的值后，代入得到方程的根，再代入$x^2=\frac{b}{a}$求出$\frac{b}{a}$的值，取倒数即可得到$\frac{a}{b}$。
【解析】
解：$\because ax^2 = b(ab＞0)$
$\therefore$ 移项得 $x^2 = \frac{b}{a}$，可知该方程的两个实数根互为相反数，即两根之和为0
根据题意得：$(2m+1)+(m-7)=0$
合并同类项得：$3m - 6 = 0$
解得：$m=2$
将$m=2$代入两根，得：
$2m+1=2×2+1=5$，$m-7=2-7=-5$
$\therefore$ 方程的两个根为$5$和$-5$
代入$x^2=\frac{b}{a}$得：$\frac{b}{a}=5^2=25$
$\therefore \frac{a}{b}=\frac{1}{25}$
【答案】
$\frac{1}{25}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 相反数的性质
3. 一元二次方程根的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确直接开平方所得的两个根互为相反数，通过列方程求出参数$m$的值，再代入计算即可，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
7. 定义新运算：$a\otimes b=\begin{cases}a^2 - b, & a≤0, \\ -a + b, & a＞0.\end{cases}$
例如：$-2\otimes4=(-2)^2 -4=0,2\otimes3=-2+3=1.$ 若$x\otimes1=-\dfrac{3}{4}$，则$x$的值为
例如：$-2\otimes4=(-2)^2 -4=0,2\otimes3=-2+3=1.$ 若$x\otimes1=-\dfrac{3}{4}$，则$x$的值为
$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{7}{4}$
.答案
7. $-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{7}{4}$
解析
【分析】
本题是分段型定义新运算问题，解题需结合分段条件分类讨论：首先明确新运算的分段规则是以a的正负（即本题中x的正负）为分界，因此分x≤0和x＞0两种情况，分别将x⊗1代入对应运算公式得到方程，解方程后验证解是否符合对应取值范围，舍去不符合的解即可得到最终结果。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当x≤0时，根据新运算规则$a\otimes b=a^2 - b$，代入得：
$x^2 - 1 = -\dfrac{3}{4}$
移项得$x^2 = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$
解得$x = \pm\dfrac{1}{2}$
$\because x≤0$，$\therefore x=\dfrac{1}{2}$不符合条件，舍去，得$x=-\dfrac{1}{2}$。
② 当x＞0时，根据新运算规则$a\otimes b=-a + b$，代入得：
$-x + 1 = -\dfrac{3}{4}$
移项得$-x = -\dfrac{3}{4} - 1 = -\dfrac{7}{4}$
解得$x=\dfrac{7}{4}$，符合x＞0的条件。
综上，x的值为$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{7}{4}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{7}{4}$
【知识点】
定义新运算；分类讨论思想；解方程
【点评】
本题核心考查对新定义运算的理解和分类讨论思想的运用，解题时要注意严格按照分段条件代入对应运算规则，求出解后务必验证是否符合对应取值范围，避免出现增根或漏解的情况。
【难度系数】
0.7
本题是分段型定义新运算问题，解题需结合分段条件分类讨论：首先明确新运算的分段规则是以a的正负（即本题中x的正负）为分界，因此分x≤0和x＞0两种情况，分别将x⊗1代入对应运算公式得到方程，解方程后验证解是否符合对应取值范围，舍去不符合的解即可得到最终结果。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当x≤0时，根据新运算规则$a\otimes b=a^2 - b$，代入得：
$x^2 - 1 = -\dfrac{3}{4}$
移项得$x^2 = 1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$
解得$x = \pm\dfrac{1}{2}$
$\because x≤0$，$\therefore x=\dfrac{1}{2}$不符合条件，舍去，得$x=-\dfrac{1}{2}$。
② 当x＞0时，根据新运算规则$a\otimes b=-a + b$，代入得：
$-x + 1 = -\dfrac{3}{4}$
移项得$-x = -\dfrac{3}{4} - 1 = -\dfrac{7}{4}$
解得$x=\dfrac{7}{4}$，符合x＞0的条件。
综上，x的值为$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{7}{4}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{7}{4}$
【知识点】
定义新运算；分类讨论思想；解方程
【点评】
本题核心考查对新定义运算的理解和分类讨论思想的运用，解题时要注意严格按照分段条件代入对应运算规则，求出解后务必验证是否符合对应取值范围，避免出现增根或漏解的情况。
【难度系数】
0.7
8. 已知方程$(x^2 + y^2 -5)^2 =81$，则$x^2 + y^2 =$
14
。答案
8. 14
解析
【分析】
我们可以将$x^2+y^2$看作一个整体来求解。首先根据平方根的定义，一个数的平方等于81，则这个数为9或-9，因此先求出$x^2+y^2-5$的两个可能取值；再结合平方的非负性可知$x^2≥0$、$y^2≥0$，因此$x^2+y^2$的结果一定是非负数，舍去不符合要求的解即可得到最终答案。
【解析】
对等式$(x^2 + y^2 -5)^2 =81$两边开平方，可得：
$x^2+y^2-5=\pm9$
分两种情况计算：
1. 当$x^2+y^2-5=9$时，移项得：
$x^2+y^2=9+5=14$
2. 当$x^2+y^2-5=-9$时，移项得：
$x^2+y^2=-9+5=-4$
由于$x^2≥0$，$y^2≥0$，因此$x^2+y^2≥0$，$-4＜0$不符合取值要求，舍去。
综上，$x^2+y^2=14$。
【答案】
14
【知识点】
整体代换思想、平方根的性质、平方的非负性
【点评】
本题侧重考查整体思想在代数运算中的应用，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，避免因忽略$x^2+y^2$的非负性出现多解的错误，属于基础类运算题。
【难度系数】
0.8
我们可以将$x^2+y^2$看作一个整体来求解。首先根据平方根的定义，一个数的平方等于81，则这个数为9或-9，因此先求出$x^2+y^2-5$的两个可能取值；再结合平方的非负性可知$x^2≥0$、$y^2≥0$，因此$x^2+y^2$的结果一定是非负数，舍去不符合要求的解即可得到最终答案。
【解析】
对等式$(x^2 + y^2 -5)^2 =81$两边开平方，可得：
$x^2+y^2-5=\pm9$
分两种情况计算：
1. 当$x^2+y^2-5=9$时，移项得：
$x^2+y^2=9+5=14$
2. 当$x^2+y^2-5=-9$时，移项得：
$x^2+y^2=-9+5=-4$
由于$x^2≥0$，$y^2≥0$，因此$x^2+y^2≥0$，$-4＜0$不符合取值要求，舍去。
综上，$x^2+y^2=14$。
【答案】
14
【知识点】
整体代换思想、平方根的性质、平方的非负性
【点评】
本题侧重考查整体思想在代数运算中的应用，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，避免因忽略$x^2+y^2$的非负性出现多解的错误，属于基础类运算题。
【难度系数】
0.8
9. 解下列方程：
(1) $4x^2 - 16 = 0$；
(2) $16x^2 - 5 = 20$；
(3) $(x + 2)^2 - 144 = 0$；
(4) $3(x - 1)^2 - 9 = 0$。
(1) $4x^2 - 16 = 0$；
(2) $16x^2 - 5 = 20$；
(3) $(x + 2)^2 - 144 = 0$；
(4) $3(x - 1)^2 - 9 = 0$。
答案
(1) $x_1=2,x_2=-2$
(2) $x_1=\dfrac{5}{4},x_2=-\dfrac{5}{4}$
(3) $x_1=10,x_2=-14$
(4) $x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$
(2) $x_1=\dfrac{5}{4},x_2=-\dfrac{5}{4}$
(3) $x_1=10,x_2=-14$
(4) $x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$
解析
【分析】这4道一元二次方程均可以通过移项、系数化为1整理为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，适合采用直接开平方法求解。解题思路为：第一步，将常数项移到等号右侧；第二步，将含未知数项的系数化为1；第三步，根据平方根的定义对等式两边开平方，得到两个一元一次方程；第四步，分别解一元一次方程得到原方程的两个根。
【解析】
(1) 解方程$4x^2 - 16 = 0$
移项，得：$4x^2 = 16$
系数化为1，得：$x^2 = 4$
开平方，得：$x = \pm 2$
(2) 解方程$16x^2 - 5 = 20$
移项，得：$16x^2 = 25$
系数化为1，得：$x^2 = \frac{25}{16}$
开平方，得：$x = \pm \frac{5}{4}$
(3) 解方程$(x + 2)^2 - 144 = 0$
移项，得：$(x+2)^2 = 144$
开平方，得：$x + 2 = \pm 12$
分别解得$x=12-2=10$或$x=-12-2=-14$
(4) 解方程$3(x - 1)^2 - 9 = 0$
移项，得：$3(x-1)^2 = 9$
系数化为1，得：$(x-1)^2 = 3$
开平方，得：$x - 1 = \pm \sqrt{3}$
即$x = 1 \pm \sqrt{3}$
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=-2$
(2) $x_1=\dfrac{5}{4},x_2=-\dfrac{5}{4}$
(3) $x_1=10,x_2=-14$
(4) $x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质；等式的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查直接开平方法的应用，解题时要注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏写负根，计算时注意移项要变号、开平方运算准确即可。
【难度系数】
0.85
【解析】
(1) 解方程$4x^2 - 16 = 0$
移项，得：$4x^2 = 16$
系数化为1，得：$x^2 = 4$
开平方，得：$x = \pm 2$
(2) 解方程$16x^2 - 5 = 20$
移项，得：$16x^2 = 25$
系数化为1，得：$x^2 = \frac{25}{16}$
开平方，得：$x = \pm \frac{5}{4}$
(3) 解方程$(x + 2)^2 - 144 = 0$
移项，得：$(x+2)^2 = 144$
开平方，得：$x + 2 = \pm 12$
分别解得$x=12-2=10$或$x=-12-2=-14$
(4) 解方程$3(x - 1)^2 - 9 = 0$
移项，得：$3(x-1)^2 = 9$
系数化为1，得：$(x-1)^2 = 3$
开平方，得：$x - 1 = \pm \sqrt{3}$
即$x = 1 \pm \sqrt{3}$
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=-2$
(2) $x_1=\dfrac{5}{4},x_2=-\dfrac{5}{4}$
(3) $x_1=10,x_2=-14$
(4) $x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质；等式的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，核心考查直接开平方法的应用，解题时要注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏写负根，计算时注意移项要变号、开平方运算准确即可。
【难度系数】
0.85
10. 阅读与思考.
下面是小明同学数学笔记中的部分内容,请认真阅读并完成相应的任务.
任务:
(1)直接写出数学笔记中“▲”处空缺的内容:
(2)将小明解答过程中的横线处的内容补充完整.
(3)请用“平均数法”解方程:$(x+5)(x+9)=5.$
下面是小明同学数学笔记中的部分内容,请认真阅读并完成相应的任务.
任务:
(1)直接写出数学笔记中“▲”处空缺的内容:
平方差
.(2)将小明解答过程中的横线处的内容补充完整.
(3)请用“平均数法”解方程:$(x+5)(x+9)=5.$
答案
10.(1) 平方差
10.(2) $-2+\sqrt{10}$、$-2$、$-\sqrt{10}$
10.(3) 原方程变形为$[(x+7)-2][(x+7)+2]=5$，$\therefore (x+7)^2-2^2=5$，$\therefore (x+7)^2=9$，$\therefore x+7=\pm3$，解得$x_1=-4$，$x_2=-10$
10.(2) $-2+\sqrt{10}$、$-2$、$-\sqrt{10}$
10.(3) 原方程变形为$[(x+7)-2][(x+7)+2]=5$，$\therefore (x+7)^2-2^2=5$，$\therefore (x+7)^2=9$，$\therefore x+7=\pm3$，解得$x_1=-4$，$x_2=-10$
解析
【分析】
(1) 观察题中的变形步骤：$[(x+2)-2][(x+2)+2]=(x+2)^2 - 2^2$，符合平方差公式的结构特征，即可确定空缺内容；
(2) 对$(x+2)^2=10$直接开平方，得到$x+2=\pm\sqrt{10}$，移项即可求出两个根；
(3) 运用“平均数法”的思路：先求两个一次项$x+5$和$x+9$的平均数为$\frac{(x+5)+(x+9)}{2}=x+7$，将原方程改写为平方差的形式，再用平方差公式变形，最后用直接开平方法求解即可。
【解析】
(1) 由$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$可知，该变形依据的是平方差公式，故▲处填平方差；
(2) 由$(x+2)^2=10$，开平方得$x+2=\sqrt{10}$或$x+2=-\sqrt{10}$，移项得$x_1=-2+\sqrt{10}$，$x_2=-2-\sqrt{10}$；
(3) 原方程变形为$[(x+7)-2][(x+7)+2]=5$，
根据平方差公式得$(x+7)^2 - 2^2=5$，
整理得$(x+7)^2=9$，
开平方得$x+7=\pm3$，
即$x+7=3$或$x+7=-3$，
解得$x_1=-4$，$x_2=-10$。
【答案】
(1) 平方差
(2) $-2+\sqrt{10}$；$-2-\sqrt{10}$
(3) $x_1=-4$，$x_2=-10$
【知识点】
平方差公式；直接开平方法；一元二次方程求解
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是引导学生利用平方差公式对一元二次方程变形降次，再结合直接开平方法求解，既考查了学生对基础公式的掌握情况，也锻炼了学生的知识迁移能力和对新方法的运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 观察题中的变形步骤：$[(x+2)-2][(x+2)+2]=(x+2)^2 - 2^2$，符合平方差公式的结构特征，即可确定空缺内容；
(2) 对$(x+2)^2=10$直接开平方，得到$x+2=\pm\sqrt{10}$，移项即可求出两个根；
(3) 运用“平均数法”的思路：先求两个一次项$x+5$和$x+9$的平均数为$\frac{(x+5)+(x+9)}{2}=x+7$，将原方程改写为平方差的形式，再用平方差公式变形，最后用直接开平方法求解即可。
【解析】
(1) 由$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$可知，该变形依据的是平方差公式，故▲处填平方差；
(2) 由$(x+2)^2=10$，开平方得$x+2=\sqrt{10}$或$x+2=-\sqrt{10}$，移项得$x_1=-2+\sqrt{10}$，$x_2=-2-\sqrt{10}$；
(3) 原方程变形为$[(x+7)-2][(x+7)+2]=5$，
根据平方差公式得$(x+7)^2 - 2^2=5$，
整理得$(x+7)^2=9$，
开平方得$x+7=\pm3$，
即$x+7=3$或$x+7=-3$，
解得$x_1=-4$，$x_2=-10$。
【答案】
(1) 平方差
(2) $-2+\sqrt{10}$；$-2-\sqrt{10}$
(3) $x_1=-4$，$x_2=-10$
【知识点】
平方差公式；直接开平方法；一元二次方程求解
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是引导学生利用平方差公式对一元二次方程变形降次，再结合直接开平方法求解，既考查了学生对基础公式的掌握情况，也锻炼了学生的知识迁移能力和对新方法的运用能力。
【难度系数】
0.7
11. 一元二次方程$x^2 - 1 = 0$的根是________。
答案
$x_1=1,x_2=-1$
解析
【分析】
首先观察给定的一元二次方程的结构，方程没有一次项，可优先选择直接开平方法求解：先将常数项移到等号右侧，再对两侧同时开平方即可得到根；也可利用平方差公式将左侧因式分解，转化为两个一元一次方程求解，两种方法都简便易操作。
【解析】
解法1（直接开平方法）：
移项，得$x^2=1$，
对等式两边同时开平方，得$x=\pm\sqrt{1}$，
即$x=\pm1$，
因此方程的根为$x_1=1$，$x_2=-1$。
解法2（因式分解法）：
利用平方差公式将方程左侧因式分解，得$(x+1)(x-1)=0$，
因此$x+1=0$或$x-1=0$，
分别解这两个一元一次方程，得$x_1=-1$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查根据方程结构选择合适求解方法的能力，熟练掌握一元二次方程的基础解法即可快速解答。
【难度系数】
0.9
首先观察给定的一元二次方程的结构，方程没有一次项，可优先选择直接开平方法求解：先将常数项移到等号右侧，再对两侧同时开平方即可得到根；也可利用平方差公式将左侧因式分解，转化为两个一元一次方程求解，两种方法都简便易操作。
【解析】
解法1（直接开平方法）：
移项，得$x^2=1$，
对等式两边同时开平方，得$x=\pm\sqrt{1}$，
即$x=\pm1$，
因此方程的根为$x_1=1$，$x_2=-1$。
解法2（因式分解法）：
利用平方差公式将方程左侧因式分解，得$(x+1)(x-1)=0$，
因此$x+1=0$或$x-1=0$，
分别解这两个一元一次方程，得$x_1=-1$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查根据方程结构选择合适求解方法的能力，熟练掌握一元二次方程的基础解法即可快速解答。
【难度系数】
0.9
12. 解方程:$(x+1)^2 -4=0.$
答案
$x_1=1,x_2=-3$
解析
【分析】
本题是一元二次方程求解问题，观察方程结构发现左侧是完全平方式，右侧为常数，优先采用直接开平方法解题。思路如下：第一步先移项，把常数项移到等号右侧，将方程变形为“完全平方式=非负常数”的标准形式；第二步根据平方根的性质对等式两边开平方，得到两个一元一次方程；第三步分别求解两个一元一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
解：移项，得$(x+1)^2=4$
两边同时开平方，得$x+1=\pm2$
即$x+1=2$ 或 $x+1=-2$
解$x+1=2$，得$x=1$；
解$x+1=-2$，得$x=-3$。
【答案】
$x_1=1,x_2=-3$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题属于基础计算题，考查一元二次方程的基础解法，解题时注意开平方运算要同时考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
本题是一元二次方程求解问题，观察方程结构发现左侧是完全平方式，右侧为常数，优先采用直接开平方法解题。思路如下：第一步先移项，把常数项移到等号右侧，将方程变形为“完全平方式=非负常数”的标准形式；第二步根据平方根的性质对等式两边开平方，得到两个一元一次方程；第三步分别求解两个一元一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
解：移项，得$(x+1)^2=4$
两边同时开平方，得$x+1=\pm2$
即$x+1=2$ 或 $x+1=-2$
解$x+1=2$，得$x=1$；
解$x+1=-2$，得$x=-3$。
【答案】
$x_1=1,x_2=-3$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题属于基础计算题，考查一元二次方程的基础解法，解题时注意开平方运算要同时考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
