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5. 某中学准备建造一个面积为$375\ \mathrm{m}^2$的矩形游泳池，游泳池的宽比长短10 m.设游泳池的长为$x$ m，则可列方程为(
A.$x(x-10)=375$
B.$x(x+10)=375$
C.$2x(2x-10)=375$
D.$2x(2x+10)=375$
A
).A.$x(x-10)=375$
B.$x(x+10)=375$
C.$2x(2x-10)=375$
D.$2x(2x+10)=375$
答案
5. A
解析
【分析】
解题时首先回忆矩形面积的计算公式：矩形面积=长×宽。题目已经设游泳池的长为x m，已知宽比长短10 m，因此可以用含x的式子表示出宽的长度，再将长、宽和已知的面积值代入面积公式，即可得到对应的方程，再匹配选项就能选出正确答案。
【解析】
解：已知设游泳池的长为$x$ m，因为宽比长短10 m，所以游泳池的宽为$(x-10)$ m。
矩形的面积计算公式为：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知游泳池面积为$375\ \mathrm{m}^2$，代入得：
$x(x-10)=375$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程，矩形面积计算
【点评】
本题是基础的方程应用题，核心是找准题目中的等量关系，用含未知数的式子表示出对应的未知量，再代入公式列方程即可，难度较低。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆矩形面积的计算公式：矩形面积=长×宽。题目已经设游泳池的长为x m，已知宽比长短10 m，因此可以用含x的式子表示出宽的长度，再将长、宽和已知的面积值代入面积公式，即可得到对应的方程，再匹配选项就能选出正确答案。
【解析】
解：已知设游泳池的长为$x$ m，因为宽比长短10 m，所以游泳池的宽为$(x-10)$ m。
矩形的面积计算公式为：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知游泳池面积为$375\ \mathrm{m}^2$，代入得：
$x(x-10)=375$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程，矩形面积计算
【点评】
本题是基础的方程应用题，核心是找准题目中的等量关系，用含未知数的式子表示出对应的未知量，再代入公式列方程即可，难度较低。
【难度系数】
0.85
6. 一元二次方程$x^2 - x + 2 = -3x + 4$的一般形式是
$x^2+2x-2=0$
，其中二次项系数是$1$
，一次项系数是$2$
，常数项是$-2$
。答案
6. $x^2+2x-2=0$ 1 2 -2
解析
【分析】
解题首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项。解题时先将原方程移项（移项需变号），把所有项移到等号左侧，再合并同类项整理成一般形式，最后对应匹配各项系数即可。
【解析】
1. 写出原方程：$x^2 - x + 2 = -3x + 4$
2. 移项，将等号右侧的项全部移到左侧：
$x^2 - x + 2 + 3x - 4 = 0$
3. 合并同类项：
$x^2 + (-1+3)x + (2-4) = 0$，化简得$x^2+2x-2=0$
4. 识别各项系数：
二次项为$x^2$，系数是1；一次项为$2x$，系数是2；常数项为$-2$。
【答案】
$x^2+2x-2=0$；1；2；-2
【知识点】
一元二次方程的一般形式；整式的移项合并；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是基础概念类题型，主要考查一元二次方程一般形式的整理方法，做题时需注意移项不要弄错符号，确定系数时要带上对应项的正负号。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项。解题时先将原方程移项（移项需变号），把所有项移到等号左侧，再合并同类项整理成一般形式，最后对应匹配各项系数即可。
【解析】
1. 写出原方程：$x^2 - x + 2 = -3x + 4$
2. 移项，将等号右侧的项全部移到左侧：
$x^2 - x + 2 + 3x - 4 = 0$
3. 合并同类项：
$x^2 + (-1+3)x + (2-4) = 0$，化简得$x^2+2x-2=0$
4. 识别各项系数：
二次项为$x^2$，系数是1；一次项为$2x$，系数是2；常数项为$-2$。
【答案】
$x^2+2x-2=0$；1；2；-2
【知识点】
一元二次方程的一般形式；整式的移项合并；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是基础概念类题型，主要考查一元二次方程一般形式的整理方法，做题时需注意移项不要弄错符号，确定系数时要带上对应项的正负号。
【难度系数】
0.9
7. 写出一个关于x的一元二次方程，使方程有一个根为0，且二次项系数为1：
$x^2 - x = 0$(不唯一)
。答案
7. $x^2 - x = 0$(不唯一)
解析
【分析】
解题时先回忆一元二次方程的相关概念：首先一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），题目要求二次项系数为1，因此$a=1$，可先设方程为$x^2+bx+c=0$；再根据方程根的定义，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将$x=0$代入所设方程，即可求出常数项$c$的取值，最后任意选取一个合理的一次项系数$b$，就能写出符合要求的方程。
【解析】
设满足条件的一元二次方程为$x^2+bx+c=0$（$b$、$c$为常数），
∵$x=0$是方程的根，将$x=0$代入方程得：
$0^2 + b×0 + c = 0$，解得$c=0$，
因此只要满足常数项为0，二次项系数为1的一元二次方程均符合要求，
例如取$b=-1$，可得方程$x^2 - x = 0$（答案不唯一）。
【答案】
$x^2 - x = 0$（不唯一）
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的根的概念
【点评】
本题是开放性基础题，核心考查对一元二次方程基本概念和根的含义的理解，只要掌握相关定义即可写出符合要求的方程，答案不唯一，合理即可。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆一元二次方程的相关概念：首先一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），题目要求二次项系数为1，因此$a=1$，可先设方程为$x^2+bx+c=0$；再根据方程根的定义，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将$x=0$代入所设方程，即可求出常数项$c$的取值，最后任意选取一个合理的一次项系数$b$，就能写出符合要求的方程。
【解析】
设满足条件的一元二次方程为$x^2+bx+c=0$（$b$、$c$为常数），
∵$x=0$是方程的根，将$x=0$代入方程得：
$0^2 + b×0 + c = 0$，解得$c=0$，
因此只要满足常数项为0，二次项系数为1的一元二次方程均符合要求，
例如取$b=-1$，可得方程$x^2 - x = 0$（答案不唯一）。
【答案】
$x^2 - x = 0$（不唯一）
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的根的概念
【点评】
本题是开放性基础题，核心考查对一元二次方程基本概念和根的含义的理解，只要掌握相关定义即可写出符合要求的方程，答案不唯一，合理即可。
【难度系数】
0.9
8. 已知方程$ax^2 + bx + c = 0$的一个根是-1，则$a - b + c =$
$0$
。答案
8. 0
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解。首先明确：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知-1是方程的根，因此只需将x=-1代入原方程，化简后即可得到a-b+c的值。
【解析】
∵ x=-1是方程$ax^2 + bx + c = 0$的一个根，
∴ 将$x=-1$代入方程，左边等于右边，即：
$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = 0$
化简得：$a - b + c = 0$
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程根的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的概念的应用，只要掌握根的定义，直接代入未知数的值即可快速得出结果，是对基础概念掌握程度的常规考查。
【难度系数】
0.9
本题可根据一元二次方程根的定义求解。首先明确：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知-1是方程的根，因此只需将x=-1代入原方程，化简后即可得到a-b+c的值。
【解析】
∵ x=-1是方程$ax^2 + bx + c = 0$的一个根，
∴ 将$x=-1$代入方程，左边等于右边，即：
$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = 0$
化简得：$a - b + c = 0$
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程根的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的概念的应用，只要掌握根的定义，直接代入未知数的值即可快速得出结果，是对基础概念掌握程度的常规考查。
【难度系数】
0.9
9. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)$3x^2 + 2x = 36$；
(2)$x(x+2)=2x-5$.
(1)$3x^2 + 2x = 36$；
(2)$x(x+2)=2x-5$.
答案
9. (1)$3x^2+2x-36=0$;二次项系数是3;一次项系数是2;常数项是-36 (2)$x^2+5=0$;二次项系数是1;一次项系数是0;常数项是5
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数、$b$为一次项系数、$c$为常数项，所有系数均包含本身的符号。解题思路如下：①对给定方程依次进行去括号、移项、合并同类项操作，将所有项移到等号左侧，使等号右侧为0，且左侧按$x$的降幂排列，得到一般形式；②对照一般形式找出对应系数，若方程缺少某一幂次的项，对应项的系数为0。其中第(1)问无括号，直接移项即可；第(2)问需先去括号再合并同类项。
【解析】
(1) 处理方程$3x^2 + 2x = 36$：
将等号右侧的36移到左侧，符号变为负，整理得一般形式：$3x^2+2x-36=0$
对照一般形式可得：二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为-36。
(2) 处理方程$x(x+2)=2x-5$：
第一步：去括号，左侧展开得$x^2+2x$，方程变为$x^2+2x=2x-5$
第二步：移项，将右侧所有项移到左侧，符号反向，得$x^2+2x-2x+5=0$
第三步：合并同类项，$2x-2x=0$，整理得一般形式：$x^2+5=0$
对照一般形式可得：二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为5。
【答案】
(1)$3x^2+2x-36=0$;二次项系数是3;一次项系数是2;常数项是-36 (2)$x^2+5=0$;二次项系数是1;一次项系数是0;常数项是5
【知识点】
一元二次方程一般形式、整式化简运算、移项法则
【点评】
本题属于一元二次方程的基础考查题，重点检验对一元二次方程一般形式的认知，解题时需注意移项过程的符号变化，若方程整理后缺少某类项，对应的系数为0不可漏写。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数、$b$为一次项系数、$c$为常数项，所有系数均包含本身的符号。解题思路如下：①对给定方程依次进行去括号、移项、合并同类项操作，将所有项移到等号左侧，使等号右侧为0，且左侧按$x$的降幂排列，得到一般形式；②对照一般形式找出对应系数，若方程缺少某一幂次的项，对应项的系数为0。其中第(1)问无括号，直接移项即可；第(2)问需先去括号再合并同类项。
【解析】
(1) 处理方程$3x^2 + 2x = 36$：
将等号右侧的36移到左侧，符号变为负，整理得一般形式：$3x^2+2x-36=0$
对照一般形式可得：二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为-36。
(2) 处理方程$x(x+2)=2x-5$：
第一步：去括号，左侧展开得$x^2+2x$，方程变为$x^2+2x=2x-5$
第二步：移项，将右侧所有项移到左侧，符号反向，得$x^2+2x-2x+5=0$
第三步：合并同类项，$2x-2x=0$，整理得一般形式：$x^2+5=0$
对照一般形式可得：二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为5。
【答案】
(1)$3x^2+2x-36=0$;二次项系数是3;一次项系数是2;常数项是-36 (2)$x^2+5=0$;二次项系数是1;一次项系数是0;常数项是5
【知识点】
一元二次方程一般形式、整式化简运算、移项法则
【点评】
本题属于一元二次方程的基础考查题，重点检验对一元二次方程一般形式的认知，解题时需注意移项过程的符号变化，若方程整理后缺少某类项，对应的系数为0不可漏写。
【难度系数】
0.8
10. 新定义:如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(ac ≠ 0) $ 有一个根是 $ c $,那么我们称这个方程为“黄金方程”.
(1)判断一元二次方程 $ x^2 + 2x - 3 = 0 $ 是否为“黄金方程”,并说明理由；
(2)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2x^2 + bx + c = 0(c ≠ 0) $ 是“黄金方程”,求代数式 $ b + 2c + 1 $ 的值.
(1)判断一元二次方程 $ x^2 + 2x - 3 = 0 $ 是否为“黄金方程”,并说明理由；
(2)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2x^2 + bx + c = 0(c ≠ 0) $ 是“黄金方程”,求代数式 $ b + 2c + 1 $ 的值.
答案
(1) 是“黄金方程”.理由如下:由题意可知c=-3,把x=-3代入方程的左边,得9+2×(-3)-3=0,
∴左边=右边.
∴x=-3是此方程的一个根.
∴一元二次方程$x^2+2x-3=0$是“黄金方程”
(2)
∵关于x的一元二次方程$2x^2+bx+c=0(c≠0)$是“黄金方程”,
∴$2c^2+bc+c=0$.
∵c≠0,等式两边同时除以c得$2c + b + 1 = 0$,因此$b+2c+1=0$，即代数式$b+2c+1$的值为0。
∴左边=右边.
∴x=-3是此方程的一个根.
∴一元二次方程$x^2+2x-3=0$是“黄金方程”
(2)
∵关于x的一元二次方程$2x^2+bx+c=0(c≠0)$是“黄金方程”,
∴$2c^2+bc+c=0$.
∵c≠0,等式两边同时除以c得$2c + b + 1 = 0$,因此$b+2c+1=0$，即代数式$b+2c+1$的值为0。
解析
【分析】
(1) 判断方程是否为“黄金方程”，需先明确“黄金方程”的定义：首先是$ac≠0$的一元二次方程，且有一个根为常数项$c$。因此先提取方程$x^2+2x-3=0$的常数项$c$，再将$x=c$代入方程检验左右两边是否相等，若相等则符合定义。
(2) 已知方程是“黄金方程”，根据定义可知$x=c$是方程的根，将$x=c$代入原方程，结合$c≠0$的条件对等式变形，即可直接求出代数式$b+2c+1$的值。
【解析】
(1) 该一元二次方程是“黄金方程”，理由如下：
方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的常数项$c=-3$，把$x=-3$代入方程左边得：
$(-3)^2 + 2×(-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$
左边等于右边，因此$x=-3$是方程的一个根，符合“黄金方程”的定义，故该方程是“黄金方程”。
(2)
∵关于$x$的一元二次方程$2x^2 + bx + c = 0(c≠0)$是“黄金方程”，
∴$x=c$是方程的根，将$x=c$代入方程得：
$2c^2 + bc + c = 0$
∵$c≠0$，等式两边同时除以$c$得：
$2c + b + 1 = 0$
即$b + 2c + 1 = 0$。
【答案】
(1) 是“黄金方程”，理由见解析；
(2) $0$
【知识点】
一元二次方程根的定义，新定义应用，代数式求值
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的相关应用，解题关键是准确理解新定义的含义，将新定义问题转化为熟悉的方程代入运算，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
(1) 判断方程是否为“黄金方程”，需先明确“黄金方程”的定义：首先是$ac≠0$的一元二次方程，且有一个根为常数项$c$。因此先提取方程$x^2+2x-3=0$的常数项$c$，再将$x=c$代入方程检验左右两边是否相等，若相等则符合定义。
(2) 已知方程是“黄金方程”，根据定义可知$x=c$是方程的根，将$x=c$代入原方程，结合$c≠0$的条件对等式变形，即可直接求出代数式$b+2c+1$的值。
【解析】
(1) 该一元二次方程是“黄金方程”，理由如下：
方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的常数项$c=-3$，把$x=-3$代入方程左边得：
$(-3)^2 + 2×(-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$
左边等于右边，因此$x=-3$是方程的一个根，符合“黄金方程”的定义，故该方程是“黄金方程”。
(2)
∵关于$x$的一元二次方程$2x^2 + bx + c = 0(c≠0)$是“黄金方程”，
∴$x=c$是方程的根，将$x=c$代入方程得：
$2c^2 + bc + c = 0$
∵$c≠0$，等式两边同时除以$c$得：
$2c + b + 1 = 0$
即$b + 2c + 1 = 0$。
【答案】
(1) 是“黄金方程”，理由见解析；
(2) $0$
【知识点】
一元二次方程根的定义，新定义应用，代数式求值
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的相关应用，解题关键是准确理解新定义的含义，将新定义问题转化为熟悉的方程代入运算，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
11. 若关于x的一元二次方程$x^2 -6x +a=0$的一个根为1，则a的值为
5
。答案
11. 5
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解，方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，已知方程的一个根是1，只需将x=1代入原方程，即可得到一个关于a的一元一次方程，解这个方程就能求出a的值。
【解析】
∵ x=1是一元二次方程$x^2 -6x +a=0$的根，
∴ 将x=1代入方程得：$1^2 -6×1 +a=0$，
计算得：$1 -6 +a=0$，
整理得：$-5 +a=0$，
解得：$a=5$。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解方程的根的含义，直接代入根求解参数的方法是这类问题的常用解法，熟练掌握该方法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题可根据一元二次方程根的定义求解，方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，已知方程的一个根是1，只需将x=1代入原方程，即可得到一个关于a的一元一次方程，解这个方程就能求出a的值。
【解析】
∵ x=1是一元二次方程$x^2 -6x +a=0$的根，
∴ 将x=1代入方程得：$1^2 -6×1 +a=0$，
计算得：$1 -6 +a=0$，
整理得：$-5 +a=0$，
解得：$a=5$。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是理解方程的根的含义，直接代入根求解参数的方法是这类问题的常用解法，熟练掌握该方法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
12. 若$x=3$是关于$x$的方程$ax^2 - bx = 6$的解，则$2023 - 6a + 2b$的值为________.
答案
12. 2 019
解析
【分析】
解题时首先根据方程解的定义，将x=3代入原方程，得到关于a、b的关系式；再观察所求代数式的结构，通过变形将关于a、b的关系式整体代入，即可快速求出结果，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
∵x=3是方程$ax^2 - bx = 6$的解
∴将x=3代入方程得：$a× 3^2 - b× 3 = 6$
化简得：$9a - 3b = 6$，两边同时除以3可得$3a - b = 2$
对所求代数式变形：
$2023 - 6a + 2b = 2023 - 2(3a - b)$
将$3a - b = 2$代入上式：
原式$=2023 - 2× 2 = 2023 - 4 = 2019$
【答案】
2019
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 代数式求值
3. 整体代入法
【点评】
本题是代数求值类的常规题型，解题关键是熟练掌握方程解的含义，灵活运用整体代入思想简化计算，避免不必要的运算。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据方程解的定义，将x=3代入原方程，得到关于a、b的关系式；再观察所求代数式的结构，通过变形将关于a、b的关系式整体代入，即可快速求出结果，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
∵x=3是方程$ax^2 - bx = 6$的解
∴将x=3代入方程得：$a× 3^2 - b× 3 = 6$
化简得：$9a - 3b = 6$，两边同时除以3可得$3a - b = 2$
对所求代数式变形：
$2023 - 6a + 2b = 2023 - 2(3a - b)$
将$3a - b = 2$代入上式：
原式$=2023 - 2× 2 = 2023 - 4 = 2019$
【答案】
2019
【知识点】
1. 方程的解的定义
2. 代数式求值
3. 整体代入法
【点评】
本题是代数求值类的常规题型，解题关键是熟练掌握方程解的含义，灵活运用整体代入思想简化计算，避免不必要的运算。
【难度系数】
0.8
