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1. 概念:一般地,如果方程中只含有
一
个未知数,且含有未知数的式子都是整式,未知数的最高次数是2
,这样的方程叫作一元二次方程.答案
1. 一 2
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的基本概念，解题时可结合概念名称拆分记忆：“一元”对应未知数的个数，“二次”对应未知数的最高次数，结合题目给出的“含有未知数的式子都是整式”的前提，直接对应填写空缺内容即可。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有1个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。因此第一个空对应“一元”的要求，填“一”，第二个空对应“二次”的要求，填“2”。
【答案】
一 2
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考察对一元二次方程定义要素的记忆，只要熟练掌握概念就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的基本概念，解题时可结合概念名称拆分记忆：“一元”对应未知数的个数，“二次”对应未知数的最高次数，结合题目给出的“含有未知数的式子都是整式”的前提，直接对应填写空缺内容即可。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有1个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。因此第一个空对应“一元”的要求，填“一”，第二个空对应“二次”的要求，填“2”。
【答案】
一 2
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考察对一元二次方程定义要素的记忆，只要熟练掌握概念就能快速准确作答。
【难度系数】
0.9
2. 一般形式:关于x的一元二次方程的一般形式为
$ax^2 + bx + c = 0$
(a≠0).其中$ax^2$
是二次项，$a$
是二次项系数；$bx$
是一次项，$b$
是一次项系数；$c$
是常数项。答案
2. $ax^2 + bx + c = 0$ $ax^2$ $a$ $bx$ $b$ $c$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程一般形式的基础概念，解题时结合一元二次方程的定义思考即可：一元二次方程是只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，整理为一般形式时需将所有项移到等号左侧，按未知数的降幂排列，等号右侧为0；注意二次项系数a不能为0，否则方程会失去二次项，不属于一元二次方程；再根据各项的次数对应识别二次项、一次项、常数项及对应系数即可。
【解析】
根据一元二次方程的定义，其一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）：
1. 未知数次数为2的项是二次项，即$ax^2$，它的数字因数$a$为二次项系数；
2. 未知数次数为1的项是一次项，即$bx$，它的数字因数$b$为一次项系数；
3. 不含未知数的项是常数项，即$c$。
【答案】
$ax^2 + bx + c = 0$；$ax^2$；$a$；$bx$；$b$；$c$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程各部分名称
【点评】
本题属于基础概念题，是学习一元二次方程的入门必备内容，熟练记忆相关概念即可快速作答，也是后续学习一元二次方程的解法、应用一元二次方程解决实际问题的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程一般形式的基础概念，解题时结合一元二次方程的定义思考即可：一元二次方程是只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，整理为一般形式时需将所有项移到等号左侧，按未知数的降幂排列，等号右侧为0；注意二次项系数a不能为0，否则方程会失去二次项，不属于一元二次方程；再根据各项的次数对应识别二次项、一次项、常数项及对应系数即可。
【解析】
根据一元二次方程的定义，其一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）：
1. 未知数次数为2的项是二次项，即$ax^2$，它的数字因数$a$为二次项系数；
2. 未知数次数为1的项是一次项，即$bx$，它的数字因数$b$为一次项系数；
3. 不含未知数的项是常数项，即$c$。
【答案】
$ax^2 + bx + c = 0$；$ax^2$；$a$；$bx$；$b$；$c$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程各部分名称
【点评】
本题属于基础概念题，是学习一元二次方程的入门必备内容，熟练记忆相关概念即可快速作答，也是后续学习一元二次方程的解法、应用一元二次方程解决实际问题的基础。
【难度系数】
0.9
3. 一元二次方程的根:使一元二次方程
左右两边相等
的未知数的值,就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.答案
3. 左右两边相等
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的基础定义，解题时可先回忆通用的方程解的定义：所有方程的解都是能使方程左右两边相等的未知数的值，一元二次方程的解专门命名为“根”，本质还是方程的解，因此直接对应填写符合解的定义的表述即可。
【解析】
根据方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根，因此空缺处应填“左右两边相等”。
【答案】
左右两边相等
【知识点】
一元二次方程根的定义；方程的解的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对教材基础定义的识记，只要熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根的基础定义，解题时可先回忆通用的方程解的定义：所有方程的解都是能使方程左右两边相等的未知数的值，一元二次方程的解专门命名为“根”，本质还是方程的解，因此直接对应填写符合解的定义的表述即可。
【解析】
根据方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根，因此空缺处应填“左右两边相等”。
【答案】
左右两边相等
【知识点】
一元二次方程根的定义；方程的解的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对教材基础定义的识记，只要熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
例 已知$x=1$是一元二次方程$x^2 - 2mx + 1 = 0$的一个根，求$m$的值。
解 因为$x=1$是一元二次方程$x^2 - 2mx + 1 = 0$的一个根，将其代入方程$x^2 - 2mx + 1 = 0$，得$1^2 - 2 × m × 1 + 1 = 0$，解之，得$m=1$。
方法感悟 1. 一元二次方程必须具备三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2。
2. 若一元二次方程的系数中含有字母，代入方程的根，可求出方程中所含其他字母的值，需要注意二次项系数不为0的隐含条件。
基础训练
解 因为$x=1$是一元二次方程$x^2 - 2mx + 1 = 0$的一个根，将其代入方程$x^2 - 2mx + 1 = 0$，得$1^2 - 2 × m × 1 + 1 = 0$，解之，得$m=1$。
方法感悟 1. 一元二次方程必须具备三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2。
2. 若一元二次方程的系数中含有字母，代入方程的根，可求出方程中所含其他字母的值，需要注意二次项系数不为0的隐含条件。
基础训练
答案
解析
【分析】
解题时先回忆方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根。已知x=1是给定一元二次方程的根，因此将x=1代入原方程，可得到只含有未知数m的一元一次方程，解该一元一次方程即可求出m的值，最后验证原方程二次项系数为1≠0，符合一元二次方程的要求，所求m值有效。
【解析】
解：
∵$x=1$是一元二次方程$x^2 - 2mx + 1 = 0$的一个根，
∴将$x=1$代入方程，等式成立，可得：
$1^2 - 2× m × 1 + 1 = 0$
化简得：$2 - 2m = 0$
移项得：$2m = 2$
系数化为1，得：$m = 1$
【答案】
$m=1$
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是一元二次方程模块的基础常考题，难度较低，核心考查同学们对“方程的根代入原方程等式成立”这一概念的应用，只要掌握代入法求参数的思路即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根。已知x=1是给定一元二次方程的根，因此将x=1代入原方程，可得到只含有未知数m的一元一次方程，解该一元一次方程即可求出m的值，最后验证原方程二次项系数为1≠0，符合一元二次方程的要求，所求m值有效。
【解析】
解：
∵$x=1$是一元二次方程$x^2 - 2mx + 1 = 0$的一个根，
∴将$x=1$代入方程，等式成立，可得：
$1^2 - 2× m × 1 + 1 = 0$
化简得：$2 - 2m = 0$
移项得：$2m = 2$
系数化为1，得：$m = 1$
【答案】
$m=1$
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是一元二次方程模块的基础常考题，难度较低，核心考查同学们对“方程的根代入原方程等式成立”这一概念的应用，只要掌握代入法求参数的思路即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（
A.$2x + 1 = 0$
B.$y^2 + x = 1$
C.$x^2 + 1 = 0$
D.$\frac{1}{x} + x^2 = 1$
C
）.A.$2x + 1 = 0$
B.$y^2 + x = 1$
C.$x^2 + 1 = 0$
D.$\frac{1}{x} + x^2 = 1$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断一个方程是不是一元二次方程，首先要明确一元二次方程的三个核心判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程（分母不含未知数）。接下来我们逐一对照这三个条件排查每个选项即可得出正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。对各选项逐一分析：
A. 方程$2x+1=0$中未知数$x$的最高次数是1，属于一元一次方程，不符合要求；
B. 方程$y^2+x=1$中含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合要求；
C. 方程$x^2+1=0$只含有未知数$x$，且$x$的最高次数为2，同时是整式方程，满足一元二次方程的全部条件，符合要求；
D. 方程$\frac{1}{x} + x^2 =1$的分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义；2. 整式方程与分式方程的区分
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记一元二次方程的三个判定要点，判断时不要忽略“整式方程”这个前提，避免误选分式方程的选项。
【难度系数】
0.85
要判断一个方程是不是一元二次方程，首先要明确一元二次方程的三个核心判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程（分母不含未知数）。接下来我们逐一对照这三个条件排查每个选项即可得出正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。对各选项逐一分析：
A. 方程$2x+1=0$中未知数$x$的最高次数是1，属于一元一次方程，不符合要求；
B. 方程$y^2+x=1$中含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合要求；
C. 方程$x^2+1=0$只含有未知数$x$，且$x$的最高次数为2，同时是整式方程，满足一元二次方程的全部条件，符合要求；
D. 方程$\frac{1}{x} + x^2 =1$的分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义；2. 整式方程与分式方程的区分
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记一元二次方程的三个判定要点，判断时不要忽略“整式方程”这个前提，避免误选分式方程的选项。
【难度系数】
0.85
2. 如果2是一元二次方程$x^2=1-c$的一个根，那么常数c的值为(
A.$-1$
B.$3$
C.$-3$
D.$5$
C
).A.$-1$
B.$3$
C.$-3$
D.$5$
答案
2. C
解析
【分析】
解题的核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知2是给定方程的根，只需将x=2代入原方程，即可得到关于c的一元一次方程，解该方程就能求出c的值。
【解析】
解：
∵2是一元二次方程$x^2=1-c$的一个根，
∴将$x=2$代入原方程，得：
$2^2=1-c$
即$4=1-c$
移项计算得：$c=1-4=-3$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查方程根的概念的直接应用，思路清晰，计算量小，只要掌握根的定义，代入计算时不粗心即可得分。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知2是给定方程的根，只需将x=2代入原方程，即可得到关于c的一元一次方程，解该方程就能求出c的值。
【解析】
解：
∵2是一元二次方程$x^2=1-c$的一个根，
∴将$x=2$代入原方程，得：
$2^2=1-c$
即$4=1-c$
移项计算得：$c=1-4=-3$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查方程根的概念的直接应用，思路清晰，计算量小，只要掌握根的定义，代入计算时不粗心即可得分。
【难度系数】
0.8
3. 将一元二次方程$-2(x-1)^2 = x + 3$化成一般形式$ax^2 + bx + c = 0$后，若$a = -2$，则$b,c$的值是(
A.$b=3,c=5$
B.$b=-3,c=5$
C.$b=-3,c=-5$
D.$b=3,c=-5$
D
).A.$b=3,c=5$
B.$b=-3,c=5$
C.$b=-3,c=-5$
D.$b=3,c=-5$
答案
3. D
解析
【分析】
要解决这道题，我们的核心目标是将给定方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，再对应找到$b$、$c$的值。解题思路如下：第一步先利用完全平方公式展开方程左侧的平方项，第二步去括号，第三步将右侧所有项移到左侧，第四步合并同类项得到一般形式，最后结合题目给出的$a=-2$的条件，直接匹配系数即可得到$b$和$c$的值，过程中要注意去括号、移项时的符号变化，避免计算错误。
【解析】
首先写出原方程：
$-2(x-1)^2 = x + 3$
第一步，利用完全平方公式展开$(x-1)^2=x^2-2x+1$，代入方程得：
$-2(x^2 - 2x + 1) = x + 3$
第二步，去括号：
$-2x^2 + 4x - 2 = x + 3$
第三步，移项，将右侧的$x$和$3$移到左侧，注意移项要变号：
$-2x^2 + 4x - 2 - x - 3 = 0$
第四步，合并同类项：
$-2x^2 + 3x - 5 = 0$
对比一般形式$ax^2+bx+c=0$，已知$a=-2$，对应可得$b=3$，$c=-5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 完全平方公式
3. 整式化简运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程一般形式的化简，解题的关键是正确展开完全平方项，同时注意去括号、移项过程中的符号变化，熟练掌握整式运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，我们的核心目标是将给定方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，再对应找到$b$、$c$的值。解题思路如下：第一步先利用完全平方公式展开方程左侧的平方项，第二步去括号，第三步将右侧所有项移到左侧，第四步合并同类项得到一般形式，最后结合题目给出的$a=-2$的条件，直接匹配系数即可得到$b$和$c$的值，过程中要注意去括号、移项时的符号变化，避免计算错误。
【解析】
首先写出原方程：
$-2(x-1)^2 = x + 3$
第一步，利用完全平方公式展开$(x-1)^2=x^2-2x+1$，代入方程得：
$-2(x^2 - 2x + 1) = x + 3$
第二步，去括号：
$-2x^2 + 4x - 2 = x + 3$
第三步，移项，将右侧的$x$和$3$移到左侧，注意移项要变号：
$-2x^2 + 4x - 2 - x - 3 = 0$
第四步，合并同类项：
$-2x^2 + 3x - 5 = 0$
对比一般形式$ax^2+bx+c=0$，已知$a=-2$，对应可得$b=3$，$c=-5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 完全平方公式
3. 整式化简运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程一般形式的化简，解题的关键是正确展开完全平方项，同时注意去括号、移项过程中的符号变化，熟练掌握整式运算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.75
4. 若关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^2 +3(m^2+15)x +m^2 -4=0$的常数项是0，则$m$的值为(
A.2
B.$\pm2$
C.$-2$
D.$-10$
C
).A.2
B.$\pm2$
C.$-2$
D.$-10$
答案
4. C
解析
【分析】
解决这道题需要结合两个核心条件推导：首先题目明确这是一元二次方程，因此必须满足一元二次方程的基本前提——二次项系数不为0，否则方程就退化为一元一次方程，不符合题干要求；其次题干给出常数项为0，也就是方程中不含未知数的常数项对应的代数式等于0。我们先分别根据这两个条件列出关于m的关系式，再联立排除不符合要求的解，就能得到正确的m值，注意不要遗漏二次项系数不为0的隐含限制条件。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-2)x^2 +3(m^2+15)x +m^2 -4=0$是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-2 ≠ 0$，解得$m ≠ 2$
又
∵ 方程的常数项为0
∴ $m^2 -4 = 0$
解该方程：$m^2=4$，得$m=2$或$m=-2$
结合$m ≠ 2$的限制，舍去$m=2$
最终得$m=-2$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的项的概念
3. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是典型的易错题，很多同学容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，仅根据常数项为0误选B，解题时要先明确方程类型，牢记隐含限制条件再作答。
【难度系数】
0.6
解决这道题需要结合两个核心条件推导：首先题目明确这是一元二次方程，因此必须满足一元二次方程的基本前提——二次项系数不为0，否则方程就退化为一元一次方程，不符合题干要求；其次题干给出常数项为0，也就是方程中不含未知数的常数项对应的代数式等于0。我们先分别根据这两个条件列出关于m的关系式，再联立排除不符合要求的解，就能得到正确的m值，注意不要遗漏二次项系数不为0的隐含限制条件。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-2)x^2 +3(m^2+15)x +m^2 -4=0$是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-2 ≠ 0$，解得$m ≠ 2$
又
∵ 方程的常数项为0
∴ $m^2 -4 = 0$
解该方程：$m^2=4$，得$m=2$或$m=-2$
结合$m ≠ 2$的限制，舍去$m=2$
最终得$m=-2$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的项的概念
3. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是典型的易错题，很多同学容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，仅根据常数项为0误选B，解题时要先明确方程类型，牢记隐含限制条件再作答。
【难度系数】
0.6
