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14. 对于任意的正数$x,y$定义运算$\otimes$为：$x\otimes y=\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y} & (x≥ y), \\ \sqrt{x}+\sqrt{y} & (x＜y).\end{cases}$ 计算$(2\otimes 3)-(18\otimes 12)$的结果为 （ ）
A.$-2\sqrt{2}-\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}-2\sqrt{2}$
C.$6\sqrt{6}$
D.$-5\sqrt{6}$
A.$-2\sqrt{2}-\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}-2\sqrt{2}$
C.$6\sqrt{6}$
D.$-5\sqrt{6}$
答案
14.B
解析
【分析】
这是一道新定义运算结合二次根式运算的题目，解题首先要明确⊗运算的规则：先比较参与运算的两个数的大小，若第一个数≥第二个数，运算结果为两数算术平方根的差；若第一个数＜第二个数，运算结果为两数算术平方根的和。解题分三步进行：第一步分别计算2⊗3和18⊗12的值，第二步对得到的二次根式进行化简，第三步合并同类二次根式得到最终结果，对应选项选择即可。
【解析】
解：分步计算如下：
1. 计算$2\otimes3$：
因为$2＜3$，符合$x＜y$的运算规则，所以$2\otimes3=\sqrt{2}+\sqrt{3}$。
2. 计算$18\otimes12$：
因为$18＞12$，符合$x≥ y$的运算规则，所以$18\otimes12=\sqrt{18}-\sqrt{12}$。
化简二次根式：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，因此$18\otimes12=3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$。
3. 计算原式：
$\begin{aligned}(2\otimes3)-(18\otimes12)&=(\sqrt{2}+\sqrt{3})-(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})\\&=\sqrt{2}+\sqrt{3}-3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\\&=(\sqrt{2}-3\sqrt{2})+(\sqrt{3}+2\sqrt{3})\\&=-2\sqrt{2}+3\sqrt{3}\\&=3\sqrt{3}-2\sqrt{2}\end{aligned}$
结果对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、二次根式化简、二次根式加减
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和二次根式的基本运算，解题核心是先准确判断参与运算的两个数的大小关系，选对对应的运算公式，再按照二次根式的运算法则正确计算即可。
【难度系数】
0.7
这是一道新定义运算结合二次根式运算的题目，解题首先要明确⊗运算的规则：先比较参与运算的两个数的大小，若第一个数≥第二个数，运算结果为两数算术平方根的差；若第一个数＜第二个数，运算结果为两数算术平方根的和。解题分三步进行：第一步分别计算2⊗3和18⊗12的值，第二步对得到的二次根式进行化简，第三步合并同类二次根式得到最终结果，对应选项选择即可。
【解析】
解：分步计算如下：
1. 计算$2\otimes3$：
因为$2＜3$，符合$x＜y$的运算规则，所以$2\otimes3=\sqrt{2}+\sqrt{3}$。
2. 计算$18\otimes12$：
因为$18＞12$，符合$x≥ y$的运算规则，所以$18\otimes12=\sqrt{18}-\sqrt{12}$。
化简二次根式：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，因此$18\otimes12=3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$。
3. 计算原式：
$\begin{aligned}(2\otimes3)-(18\otimes12)&=(\sqrt{2}+\sqrt{3})-(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})\\&=\sqrt{2}+\sqrt{3}-3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\\&=(\sqrt{2}-3\sqrt{2})+(\sqrt{3}+2\sqrt{3})\\&=-2\sqrt{2}+3\sqrt{3}\\&=3\sqrt{3}-2\sqrt{2}\end{aligned}$
结果对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、二次根式化简、二次根式加减
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和二次根式的基本运算，解题核心是先准确判断参与运算的两个数的大小关系，选对对应的运算公式，再按照二次根式的运算法则正确计算即可。
【难度系数】
0.7
15. 在1,2,3,…,100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数有
186
个.答案
15.186
解析
【分析】要计算1~100这100个自然数的算术平方根和立方根中无理数的个数，可采用“正难则反”的思路：先分别找出算术平方根中的有理数个数、立方根中的有理数个数，再用总个数减去有理数的总个数，就能得到无理数的总个数。其中，若一个自然数的算术平方根是有理数，则这个数是完全平方数；若一个自然数的立方根是有理数，则这个数是完全立方数，据此分别统计两类有理数的数量即可。
【解析】
1. 计算算术平方根中的无理数个数：
在1~100中，完全平方数有$1^2=1$、$2^2=4$、$3^2=9$、……、$10^2=100$，共10个，这10个数的算术平方根是有理数，因此算术平方根中无理数的个数为：$100-10=90$个。
2. 计算立方根中的无理数个数：
在1~100中，完全立方数有$1^3=1$、$2^3=8$、$3^3=27$、$4^3=64$，$5^3=125＞100$不符合要求，共4个，这4个数的立方根是有理数，因此立方根中无理数的个数为：$100-4=96$个。
3. 计算无理数总个数：
将两类无理数个数相加：$90+96=186$个。
【答案】
186
【知识点】
无理数的定义、完全平方数、完全立方数
【点评】
本题采用反向思维简化计算，避免了逐一判断无理数的繁琐，解题关键是明确算术平方根为有理数的数是完全平方数、立方根为有理数的数是完全立方数，能有效考查对无理数概念的理解和归纳计算能力。
【难度系数】
0.65
【解析】
1. 计算算术平方根中的无理数个数：
在1~100中，完全平方数有$1^2=1$、$2^2=4$、$3^2=9$、……、$10^2=100$，共10个，这10个数的算术平方根是有理数，因此算术平方根中无理数的个数为：$100-10=90$个。
2. 计算立方根中的无理数个数：
在1~100中，完全立方数有$1^3=1$、$2^3=8$、$3^3=27$、$4^3=64$，$5^3=125＞100$不符合要求，共4个，这4个数的立方根是有理数，因此立方根中无理数的个数为：$100-4=96$个。
3. 计算无理数总个数：
将两类无理数个数相加：$90+96=186$个。
【答案】
186
【知识点】
无理数的定义、完全平方数、完全立方数
【点评】
本题采用反向思维简化计算，避免了逐一判断无理数的繁琐，解题关键是明确算术平方根为有理数的数是完全平方数、立方根为有理数的数是完全立方数，能有效考查对无理数概念的理解和归纳计算能力。
【难度系数】
0.65
16.如图，半径为$\frac{1}{2}$的圆周上有一点A落在数轴上－2点处，现将圆在数轴上向右滚动一周后，点A所处的位置在连续整数a，b之间（a＜b），求a＋b的平方根。
答案
16.解:$\because$圆的半径为$r=\frac{1}{2}$,
$\therefore$圆的周长为$C=2π r=π$.
$\because 3＜π＜4,\therefore 3-2＜π-2＜4-2$,
即$1＜π-2＜2$,
$\therefore$向右滚动一周后,点A所处的位置在1与2之间,
即$a=1,b=2$.
$\therefore a+b=1+2=3$.
$\therefore a+b$的平方根是$\pm\sqrt{3}$.
$\therefore$圆的周长为$C=2π r=π$.
$\because 3＜π＜4,\therefore 3-2＜π-2＜4-2$,
即$1＜π-2＜2$,
$\therefore$向右滚动一周后,点A所处的位置在1与2之间,
即$a=1,b=2$.
$\therefore a+b=1+2=3$.
$\therefore a+b$的平方根是$\pm\sqrt{3}$.
解析
【分析】
解题思路如下：首先，圆在数轴上向右滚动一周，点A移动的距离恰好等于圆的周长，所以第一步需要用圆的周长公式计算出周长；其次，点A初始位置在数轴的-2处，向右移动对应数值加上移动距离，即可得到滚动后点A对应的数值；接下来根据π的取值范围估算该数值所在的连续整数区间，确定a、b的值；最后计算a+b的和，再求其平方根即可。
【解析】
解：$\because$圆的半径为$r=\frac{1}{2}$，
$\therefore$圆的周长为$C=2π r=π$。
$\because 3＜π＜4$，
$\therefore 3-2＜π-2＜4-2$，即$1＜π-2＜2$，
$\therefore$向右滚动一周后，点A所处的位置在1与2之间，即$a=1,b=2$。
$\therefore a+b=1+2=3$，
$\therefore a+b$的平方根是$\pm\sqrt{3}$。
【答案】
$\pm\sqrt{3}$
【知识点】
圆周长计算，数轴的应用，平方根运算
【点评】
本题结合了圆的周长计算、数轴上点的移动规律和平方根的计算，需要学生熟练掌握基础公式，同时能结合无理数的估算确定数值所在区间，考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，圆在数轴上向右滚动一周，点A移动的距离恰好等于圆的周长，所以第一步需要用圆的周长公式计算出周长；其次，点A初始位置在数轴的-2处，向右移动对应数值加上移动距离，即可得到滚动后点A对应的数值；接下来根据π的取值范围估算该数值所在的连续整数区间，确定a、b的值；最后计算a+b的和，再求其平方根即可。
【解析】
解：$\because$圆的半径为$r=\frac{1}{2}$，
$\therefore$圆的周长为$C=2π r=π$。
$\because 3＜π＜4$，
$\therefore 3-2＜π-2＜4-2$，即$1＜π-2＜2$，
$\therefore$向右滚动一周后，点A所处的位置在1与2之间，即$a=1,b=2$。
$\therefore a+b=1+2=3$，
$\therefore a+b$的平方根是$\pm\sqrt{3}$。
【答案】
$\pm\sqrt{3}$
【知识点】
圆周长计算，数轴的应用，平方根运算
【点评】
本题结合了圆的周长计算、数轴上点的移动规律和平方根的计算，需要学生熟练掌握基础公式，同时能结合无理数的估算确定数值所在区间，考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
