17. 现有一组有规律的数：1，-1，$\sqrt{2}$，$-\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$-\sqrt{3}$，1，-1，$\sqrt{2}$，$-\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$-\sqrt{3}$，…，其中1，-1，$\sqrt{2}$，$-\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$-\sqrt{3}$这六个数按此规律重复出现.
（1）第50个数是什么数？
（2）把从第1个数开始的前2026个数相加，结果是多少？
（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方相加，如果和为520，那么一共有多少个数的平方相加？

17.解:(1)$\because 50÷6=8······2$,$\therefore$第50个数是$-1$.
(2)$2026÷6=337······4$,
且$1+(-1)+\sqrt{2}+(-\sqrt{2})+\sqrt{3}+(-\sqrt{3})=0$,
$\therefore$从第1个数开始的前2026个数的和是
$337×0+1+(-1)+\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$.
(3)$\because 1^2+(-1)^2+(\sqrt{2})^2+(-\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2+(-\sqrt{3})^2=12$,$520÷12=43······4$,$1^2+(-1)^2+(\sqrt{2})^2=4$,
$\therefore 43×6+3=261$,即一共有261个数的平方相加.

【分析】
这组数列的核心规律是每6个数为一个循环周期，周期内的数依次为1，-1，$\sqrt{2}$，$-\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$-\sqrt{3}$，三个问题均围绕周期特性求解：
1. 求第n个数：用n除以周期6，根据余数匹配周期内的对应数，余数为1对应第1个数，余数为2对应第2个数，整除则对应第6个数；
2. 求前n个数的和：先计算1个周期内所有数的和，再统计n个数里的完整周期数、余下的数的个数，总和=完整周期数×单周期和+余下数的和；
3. 求平方和为定值时的数的个数：先计算1个周期内所有数的平方和，用总平方和除以单周期平方和，得到完整周期数和余下的平方和，再匹配余下平方和对应周期内前几个数的平方和，总个数=完整周期数×6+对应余下的数的个数。
【解析】
(1) 数列周期为6，计算50除以6的商和余数：
$50÷6=8······2$，余数为2，对应周期内的第2个数，即$-1$。
(2) 先计算单周期6个数的和：
$1+(-1)+\sqrt{2}+(-\sqrt{2})+\sqrt{3}+(-\sqrt{3})=0$
计算2026除以6的商和余数：$2026÷6=337······4$，即包含337个完整周期，余下4个数依次为1，-1，$\sqrt{2}$，$-\sqrt{2}$。
前2026个数的和为：
$337×0 + 1+(-1)+\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$
(3) 先计算单周期6个数的平方和：
$1^2+(-1)^2+(\sqrt{2})^2+(-\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2+(-\sqrt{3})^2=1+1+2+2+3+3=12$
用总平方和520除以单周期平方和12：$520÷12=43······4$，即包含43个完整周期，还余下平方和4。
匹配周期内前几个数的平方和为4：$1^2+(-1)^2+(\sqrt{2})^2=1+1+2=4$，对应3个数。
总个数为：$43×6 + 3=261$
【答案】
(1) $-1$；(2) $0$；(3) $261$
【知识点】
周期规律探究，有理数运算，平方运算
【点评】
本题是典型的数字周期类规律题，解题核心是先确定数列的循环周期，再结合周期的和、平方和的固定值逐步推导，解题时需注意余数和周期内数字的对应关系，避免匹配错误。
【难度系数】
0.7