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8. 数轴上A，B，C三点分别对应实数a，b，c，且$AB=AC$.若$a=\sqrt{15}$，$b=4$，则下列各数中，与c最接近的数是 （
A.4
B.4.5
C.5
D.5.5
A
）A.4
B.4.5
C.5
D.5.5
答案
8.A
解析
【分析】首先明确“AB=AC”的含义：数轴上点A到点B、点A到点C的距离相等，说明点A是线段BC的中点。结合数轴中点的计算规律，可推出c的表达式，再估算无理数√15的近似值，代入算出c的近似值后对比选项即可找到最接近的数。
【解析】
1. 先判断a和b的大小：因为$\sqrt{15} ＜ \sqrt{16}=4$，所以$a=\sqrt{15} ＜ b=4$，AB的长度为$b - a = 4 - \sqrt{15}$。
2. 由AB=AC可知，A是BC的中点，根据数轴中点的性质：中点对应的数等于两端点对应数的平均数，即 $a=\frac{b+c}{2}$。
3. 变形得 $c=2a - b$，将$a=\sqrt{15}$、$b=4$代入，得 $c=2\sqrt{15}-4$。
4. 估算$\sqrt{15}\approx3.87$，则$c\approx2×3.87 - 4=3.74$，对比选项，3.74最接近4。
【答案】A
【知识点】数轴两点距离，无理数估算，中点性质
【点评】本题属于基础综合题，将数轴的性质与无理数估算相结合，解题的关键是根据距离相等推导出点A为BC中点，进而得到c的表达式，侧重考查基础概念的灵活应用能力。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 先判断a和b的大小：因为$\sqrt{15} ＜ \sqrt{16}=4$，所以$a=\sqrt{15} ＜ b=4$，AB的长度为$b - a = 4 - \sqrt{15}$。
2. 由AB=AC可知，A是BC的中点，根据数轴中点的性质：中点对应的数等于两端点对应数的平均数，即 $a=\frac{b+c}{2}$。
3. 变形得 $c=2a - b$，将$a=\sqrt{15}$、$b=4$代入，得 $c=2\sqrt{15}-4$。
4. 估算$\sqrt{15}\approx3.87$，则$c\approx2×3.87 - 4=3.74$，对比选项，3.74最接近4。
【答案】A
【知识点】数轴两点距离，无理数估算，中点性质
【点评】本题属于基础综合题，将数轴的性质与无理数估算相结合，解题的关键是根据距离相等推导出点A为BC中点，进而得到c的表达式，侧重考查基础概念的灵活应用能力。
【难度系数】0.7
9. 计算$\sqrt[3]{(-1)^2} - |1 - \sqrt{2}| + \sqrt{16}$的结果为
$6-\sqrt{2}$
.答案
9.$6-\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题是实数的混合运算题，解题时遵循先开方、再化简绝对值、最后算加减的顺序逐步计算即可：第一步先处理立方根项，先计算被开方数的乘方，再开立方得到结果；第二步处理绝对值项，先判断绝对值内部式子的正负，再根据负数的绝对值是它的相反数去掉绝对值，注意绝对值前的负号要正确变号；第三步计算算术平方根，最后把三项的化简结果合并即可得到答案。
【解析】
解：分别化简每一项：
1. 计算立方根项：$\sqrt[3]{(-1)^2}=\sqrt[3]{1}=1$；
2. 化简绝对值项：$\because \sqrt{2}\approx1.414＞1$，$\therefore 1-\sqrt{2}＜0$，
$\therefore |1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，则$-|1-\sqrt{2}|=-(\sqrt{2}-1)=-\sqrt{2}+1$；
3. 计算算术平方根项：$\sqrt{16}=4$；
将三项结果相加：
$1 + (-\sqrt{2}+1) + 4 = 1+1+4-\sqrt{2}=6-\sqrt{2}$
【答案】
$6-\sqrt{2}$
【知识点】
立方根运算，绝对值的性质，算术平方根运算
【点评】
本题属于实数基础运算类题目，核心考查开方运算、绝对值化简的知识点，解题的关键是准确判断绝对值内式子的正负，避免符号运算出错，仔细计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
本题是实数的混合运算题，解题时遵循先开方、再化简绝对值、最后算加减的顺序逐步计算即可：第一步先处理立方根项，先计算被开方数的乘方，再开立方得到结果；第二步处理绝对值项，先判断绝对值内部式子的正负，再根据负数的绝对值是它的相反数去掉绝对值，注意绝对值前的负号要正确变号；第三步计算算术平方根，最后把三项的化简结果合并即可得到答案。
【解析】
解：分别化简每一项：
1. 计算立方根项：$\sqrt[3]{(-1)^2}=\sqrt[3]{1}=1$；
2. 化简绝对值项：$\because \sqrt{2}\approx1.414＞1$，$\therefore 1-\sqrt{2}＜0$，
$\therefore |1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，则$-|1-\sqrt{2}|=-(\sqrt{2}-1)=-\sqrt{2}+1$；
3. 计算算术平方根项：$\sqrt{16}=4$；
将三项结果相加：
$1 + (-\sqrt{2}+1) + 4 = 1+1+4-\sqrt{2}=6-\sqrt{2}$
【答案】
$6-\sqrt{2}$
【知识点】
立方根运算，绝对值的性质，算术平方根运算
【点评】
本题属于实数基础运算类题目，核心考查开方运算、绝对值化简的知识点，解题的关键是准确判断绝对值内式子的正负，避免符号运算出错，仔细计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
10.黄金分割被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域.黄金分割比的确切值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,其中$\sqrt{5}-1$介于整数$n$和$n+1$之间,则$n$的值是
1
.答案
10.1
解析
【分析】
要确定n的值，首先需要估算出$\sqrt{5}$的取值范围，再通过不等式的变形得到$\sqrt{5}-1$的取值范围，最后对照“介于整数$n$和$n+1$之间”的条件即可求出n的值。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{5}$的范围
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$。
第二步：推导$\sqrt{5}-1$的范围
对不等式$2＜\sqrt{5}＜3$的三边同时减去1，不等号方向不变，可得：
$2-1 ＜ \sqrt{5}-1 ＜ 3-1$
化简得$1＜\sqrt{5}-1＜2$。
第三步：确定n的值
已知$\sqrt{5}-1$介于整数$n$和$n+1$之间，结合上面的范围可知$n=1$。
【答案】
1
【知识点】
无理数的估算、不等式的基本性质
【点评】
本题结合黄金分割的实际背景，考查无理数的估算方法，解题的关键是先找到被开方数相邻的两个完全平方数，确定根号部分的范围后，再通过简单的不等式变形得到目标式的取值范围，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
要确定n的值，首先需要估算出$\sqrt{5}$的取值范围，再通过不等式的变形得到$\sqrt{5}-1$的取值范围，最后对照“介于整数$n$和$n+1$之间”的条件即可求出n的值。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{5}$的范围
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$。
第二步：推导$\sqrt{5}-1$的范围
对不等式$2＜\sqrt{5}＜3$的三边同时减去1，不等号方向不变，可得：
$2-1 ＜ \sqrt{5}-1 ＜ 3-1$
化简得$1＜\sqrt{5}-1＜2$。
第三步：确定n的值
已知$\sqrt{5}-1$介于整数$n$和$n+1$之间，结合上面的范围可知$n=1$。
【答案】
1
【知识点】
无理数的估算、不等式的基本性质
【点评】
本题结合黄金分割的实际背景，考查无理数的估算方法，解题的关键是先找到被开方数相邻的两个完全平方数，确定根号部分的范围后，再通过简单的不等式变形得到目标式的取值范围，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
11.用“*”表示一种新运算:对于任意正实数$a,b$,都有$a*b=\sqrt{b}+1$.例如$8*9=\sqrt{9}+1=4$,那么$15*196=\_\_\_\_\_\_$,$m*(m*16)=\_\_\_\_\_\_$.
答案
11.15 $\sqrt{5}+1$
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先明确新运算“*”的规则：对于任意正实数a、b，$a*b$的结果仅和第二个数b有关，等于b的算术平方根加1，和第一个数a无关。解题时先计算简单的单层运算，再计算带括号的多层运算，多层运算遵循先算括号内、再算括号外的顺序，每一步找准对应规则里的b值代入计算即可。
【解析】
1. 计算$15*196$：
根据新运算规则$a*b=\sqrt{b}+1$，本次运算中$b=196$，代入得：
$15*196=\sqrt{196}+1=14+1=15$
2. 计算$m*(m*16)$：
先算括号内的$m*16$，本次运算中$b=16$，代入得：
$m*16=\sqrt{16}+1=4+1=5$
再算括号外的$m*5$，本次运算中$b=5$，代入得：
$m*5=\sqrt{5}+1$
因此$m*(m*16)=\sqrt{5}+1$
【答案】
$15$；$\sqrt{5}+1$
【知识点】
新定义运算，算术平方根计算
【点评】
本题主要考查对新运算规则的理解能力和算术平方根的运算能力，解题时注意不要混淆新运算两个参数的作用，遇到多层运算遵循常规的运算顺序即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先明确新运算“*”的规则：对于任意正实数a、b，$a*b$的结果仅和第二个数b有关，等于b的算术平方根加1，和第一个数a无关。解题时先计算简单的单层运算，再计算带括号的多层运算，多层运算遵循先算括号内、再算括号外的顺序，每一步找准对应规则里的b值代入计算即可。
【解析】
1. 计算$15*196$：
根据新运算规则$a*b=\sqrt{b}+1$，本次运算中$b=196$，代入得：
$15*196=\sqrt{196}+1=14+1=15$
2. 计算$m*(m*16)$：
先算括号内的$m*16$，本次运算中$b=16$，代入得：
$m*16=\sqrt{16}+1=4+1=5$
再算括号外的$m*5$，本次运算中$b=5$，代入得：
$m*5=\sqrt{5}+1$
因此$m*(m*16)=\sqrt{5}+1$
【答案】
$15$；$\sqrt{5}+1$
【知识点】
新定义运算，算术平方根计算
【点评】
本题主要考查对新运算规则的理解能力和算术平方根的运算能力，解题时注意不要混淆新运算两个参数的作用，遇到多层运算遵循常规的运算顺序即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
12. 计算下列各式的值.
(1) $(\sqrt{3} - \sqrt{10}) - 2(2\sqrt{10} - \sqrt{3})$.
(2) $-\sqrt[3]{10} + |-\sqrt{5}| + \sqrt{81} + |-\sqrt[3]{10}|$.
(1) $(\sqrt{3} - \sqrt{10}) - 2(2\sqrt{10} - \sqrt{3})$.
(2) $-\sqrt[3]{10} + |-\sqrt{5}| + \sqrt{81} + |-\sqrt[3]{10}|$.
答案
12.解:(1)原式$=\sqrt{3}-\sqrt{10}-4\sqrt{10}+2\sqrt{3}$
$=3\sqrt{3}-5\sqrt{10}$.
(2) 原式$=-\sqrt[3]{10}+\sqrt{5}+9+\sqrt[3]{10}=$
$\sqrt{5}+9$.
$=3\sqrt{3}-5\sqrt{10}$.
(2) 原式$=-\sqrt[3]{10}+\sqrt{5}+9+\sqrt[3]{10}=$
$\sqrt{5}+9$.
解析
【分析】
(1) 解题时先根据去括号法则去掉括号，注意括号前的系数2要乘括号内的每一项，且括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号，再合并同类二次根式即可得到结果。
(2) 解题时先分别化简各项：根据绝对值的性质化简绝对值项，计算81的算术平方根，再抵消互为相反数的项，最后合并得到结果。
【解析】
(1) 去括号：
原式$=\sqrt{3}-\sqrt{10}-4\sqrt{10}+2\sqrt{3}$
合并同类二次根式：
$=(\sqrt{3}+2\sqrt{3})+(-\sqrt{10}-4\sqrt{10})$
$=3\sqrt{3}-5\sqrt{10}$
(2) 化简各项：$|-\sqrt{5}|=\sqrt{5}$，$\sqrt{81}=9$，$|-\sqrt[3]{10}|=\sqrt[3]{10}$，代入原式得：
原式$=-\sqrt[3]{10}+\sqrt{5}+9+\sqrt[3]{10}$
合并同类项：
$=(-\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{10})+\sqrt{5}+9$
$=\sqrt{5}+9$
【答案】
(1) $3\sqrt{3}-5\sqrt{10}$；(2) $\sqrt{5}+9$
【知识点】
二次根式加减，绝对值的性质，开方运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，解题核心是熟练掌握去括号规则、绝对值化简方法和同类根式合并技巧，运算时注意符号变化即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
(1) 解题时先根据去括号法则去掉括号，注意括号前的系数2要乘括号内的每一项，且括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号，再合并同类二次根式即可得到结果。
(2) 解题时先分别化简各项：根据绝对值的性质化简绝对值项，计算81的算术平方根，再抵消互为相反数的项，最后合并得到结果。
【解析】
(1) 去括号：
原式$=\sqrt{3}-\sqrt{10}-4\sqrt{10}+2\sqrt{3}$
合并同类二次根式：
$=(\sqrt{3}+2\sqrt{3})+(-\sqrt{10}-4\sqrt{10})$
$=3\sqrt{3}-5\sqrt{10}$
(2) 化简各项：$|-\sqrt{5}|=\sqrt{5}$，$\sqrt{81}=9$，$|-\sqrt[3]{10}|=\sqrt[3]{10}$，代入原式得：
原式$=-\sqrt[3]{10}+\sqrt{5}+9+\sqrt[3]{10}$
合并同类项：
$=(-\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{10})+\sqrt{5}+9$
$=\sqrt{5}+9$
【答案】
(1) $3\sqrt{3}-5\sqrt{10}$；(2) $\sqrt{5}+9$
【知识点】
二次根式加减，绝对值的性质，开方运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，解题核心是熟练掌握去括号规则、绝对值化简方法和同类根式合并技巧，运算时注意符号变化即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
13.如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行3个单位长度到达点B，点A表示$-\sqrt{2}$，设点B所表示的数为m.
(1)求m的值.
(2)求$|m - 2| + \sqrt{2} + 3$的值.
(1)求m的值.
(2)求$|m - 2| + \sqrt{2} + 3$的值.
答案
13.解:(1)由题意,得$m=-\sqrt{2}+3$.
(2)$|m-2|+\sqrt{2}+3=|-\sqrt{2}+3-2|+$
$\sqrt{2}+3=\sqrt{2}-1+\sqrt{2}+3=2\sqrt{2}+2$.
(2)$|m-2|+\sqrt{2}+3=|-\sqrt{2}+3-2|+$
$\sqrt{2}+3=\sqrt{2}-1+\sqrt{2}+3=2\sqrt{2}+2$.
解析
【分析】
(1) 解题思路：数轴上的点向右平移时，对应的数等于原数加上平移的单位长度。已知点A表示的数为$-\sqrt{2}$，蚂蚁向右爬行3个单位到点B，因此只需将点A对应的数加上3，即可得到m的值。
(2) 解题思路：先将第(1)问求出的m代入待求式，先计算绝对值内的表达式，根据$\sqrt{2}\approx1.414$判断绝对值内式子的正负，再依据“负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 由题意，数轴上点向右移动对应数值加移动的单位长度，因此：
$m = -\sqrt{2} + 3$
(2) 将$m = -\sqrt{2} + 3$代入$|m - 2| + \sqrt{2} + 3$得：
$\begin{aligned}原式 &= |-\sqrt{2} + 3 - 2| + \sqrt{2} + 3 \\&= |1 - \sqrt{2}| + \sqrt{2} + 3\end{aligned}$
因为$\sqrt{2}＞1$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，根据绝对值的性质，$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，代入得：
$\begin{aligned}原式 &= \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} + 3 \\&= 2\sqrt{2} + 2\end{aligned}$
【答案】
(1) $m=-\sqrt{2}+3$
(2) $2\sqrt{2}+2$
【知识点】
数轴上点的平移、绝对值的化简、二次根式加减
【点评】
本题结合数轴考察实数的基础运算，解题的核心是掌握数轴平移的数值变化规律和绝对值的化简规则，计算时注意二次根式的合并方法，整体难度较低，侧重基础概念的应用。
【难度系数】
0.8
(1) 解题思路：数轴上的点向右平移时，对应的数等于原数加上平移的单位长度。已知点A表示的数为$-\sqrt{2}$，蚂蚁向右爬行3个单位到点B，因此只需将点A对应的数加上3，即可得到m的值。
(2) 解题思路：先将第(1)问求出的m代入待求式，先计算绝对值内的表达式，根据$\sqrt{2}\approx1.414$判断绝对值内式子的正负，再依据“负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 由题意，数轴上点向右移动对应数值加移动的单位长度，因此：
$m = -\sqrt{2} + 3$
(2) 将$m = -\sqrt{2} + 3$代入$|m - 2| + \sqrt{2} + 3$得：
$\begin{aligned}原式 &= |-\sqrt{2} + 3 - 2| + \sqrt{2} + 3 \\&= |1 - \sqrt{2}| + \sqrt{2} + 3\end{aligned}$
因为$\sqrt{2}＞1$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，根据绝对值的性质，$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，代入得：
$\begin{aligned}原式 &= \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} + 3 \\&= 2\sqrt{2} + 2\end{aligned}$
【答案】
(1) $m=-\sqrt{2}+3$
(2) $2\sqrt{2}+2$
【知识点】
数轴上点的平移、绝对值的化简、二次根式加减
【点评】
本题结合数轴考察实数的基础运算，解题的核心是掌握数轴平移的数值变化规律和绝对值的化简规则，计算时注意二次根式的合并方法，整体难度较低，侧重基础概念的应用。
【难度系数】
0.8
