3. ※※※【问题情境】如图是某果树拉枝后的横截面示意图，其中枝干OD垂直于地面，作为支撑枝条的主干，以垂直于地面的枝干OD为y轴，过点O的水平线为x轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在枝条形成的抛物线上，枝干OD的长度为2 m（即点D离地面的距离为2 m），已知枝条形成的抛物线的最低点到OD的水平距离为1 m，离地面的距离为$\frac{3}{2}$ m，请尝试解决以下问题：
(1)设枝条形成的抛物线上某处离地面的距离为y(m)，该处离枝干OD的水平距离为x(m)，求y与x之间的函数表达式.
(2)若牵引绳的端点B到y轴的水平距离为4 m，求点B离地面的距离.
(3)在(2)的条件下，在抛物线BD段上取点E，过点E作y轴的平行线交牵引绳AB于点F，若EF的长度超过$\frac{3}{2}$ m，大风之下枝条有折断的危险，已知点A到地面的距离定为$\frac{5}{2}$ m，请问在此次牵引下，大风之下的枝条是否有折断的危险？请说明理由.

(1)根据题意知,抛物线顶点坐标为 $(1,\frac{3}{2})$,点 D 的坐标为(0,2),
设 y 与 x 之间的函数表达式为 $y=a(x-1)^2+\frac{3}{2}$,
把(0,2)代入,得 $2=a(0-1)^2+\frac{3}{2}$,解得 $a=\frac{1}{2}$,
∴y 与 x 之间的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{3}{2}$.
(2)当 x=4 时,$y=\frac{1}{2}×(4-1)^2+\frac{3}{2}=6$,
∴点 B 离地面的距离为 6 m.
(3)枝条有折断的危险.理由如下：
由(2)可知 B(4,6).根据题意得 $A(0,\frac{5}{2})$.
设直线 AB 的表达式为 $y=kx+b(k≠0)$,
把 $A(0,\frac{5}{2}),B(4,6)$ 的坐标代入,得$\begin{cases}b=\frac{5}{2},\\4k+b=6,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{7}{8},\\b=\frac{5}{2}.\end{cases}$
∴直线 AB 的表达式为 $y=\frac{7}{8}x+\frac{5}{2}$,
设点 E 的横坐标为 t,EF 的长度为 s m,则 $s=(\frac{7}{8}t+\frac{5}{2})-[\frac{1}{2}(t-1)^2+\frac{3}{2}]=-\frac{1}{2}(t-\frac{15}{8})^2+\frac{289}{128}$.
∵点 F 在线段 AB 上,
∴t 的取值范围为 0≤t≤4.
∵$-\frac{1}{2}＜0$,
∴当 $t=\frac{15}{8}$ 时,s 取得最大值 $\frac{289}{128}$.
∴EF 的最大长度为 $\frac{289}{128}$ m.
∵$\frac{3}{2}=\frac{192}{128}$,且$\frac{289}{128}＞\frac{192}{128}$,
∴在此次牵引下,大风之下的枝条有折断的危险.

4. 某二级火箭的第一级运行路径形如抛物线的一部分，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行。学校科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程。如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地平线的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 $ y = ax^2 + x $ 和直线 $ y = -\frac{1}{2}x + b $。其中，当火箭运行的水平距离为9 km时，自动引发火箭的第二级。
(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km，
①求a,b的值；
②火箭在运行过程中，当某个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35 km时，求出这个位置与火箭第二级引发点之间的距离。
(2)当a的值满足什么条件时，火箭落地点与发射点之间的水平距离超过18 km？

(1)①
∵火箭第二级的引发点的高度为 3.6 km,
∴抛物线和直线均经过点(9,3.6),
∴$3.6=a×9^2+9$,$3.6=-\frac{1}{2}×9+b$,
解得 $a=-\frac{1}{15}$,$b=8.1$.
②由①知,抛物线的表达式为 $y=-\frac{1}{15}x^2+x$,直线的表达式为 $y=-\frac{1}{2}x+8.1$,
∴$y=-\frac{1}{15}x^2+x=-\frac{1}{15}(x-\frac{15}{2})^2+\frac{15}{4}$,
∴火箭运行的最高点高度为 $\frac{15}{4}$ km,
当 $y=\frac{15}{4}-1.35=2.4$ 时,有 $-\frac{1}{15}x^2+x=2.4$,
解得 $x_1=12$,$x_2=3$. 又
∵x=9 时,y=3.6＞2.4,
∴将 y=2.4 代入 $y=-\frac{1}{2}x+8.1$,
可得 $-\frac{1}{2}x+8.1=2.4$,解得 x=11.4,
∴火箭在运行过程中高度比火箭运行的最高点低 1.35 km 的两个位置分别为(3,2.4),(11.4,2.4).
∵$\sqrt{(3-9)^2+(2.4-3.6)^2}=\frac{6\sqrt{26}}{5}$,
$\sqrt{(11.4-9)^2+(2.4-3.6)^2}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$,
∴这个位置与火箭第二级引发点之间的距离为 $\frac{6\sqrt{26}}{5}$ km 或 $\frac{6\sqrt{5}}{5}$ km.
(2)当火箭落地点与发射点之间的水平距离为 18 km 时,火箭第二级的引发点为(9,81a+9),
将(9,81a+9),(18,0)代入 $y=-\frac{1}{2}x+b$,
得$\begin{cases}81a+9=-\frac{1}{2}×9+b,\\0=-\frac{1}{2}×18+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{18},\\b=9.\end{cases}$
∴$-\frac{1}{18}＜a＜0$.