1. 小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状,她对此展开研究:测得喷水头P距地面0.7 m,水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高,最高点距地面3.2 m,建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的表达式为$y=a(x-h)^2+k$,其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离,y(m)是水柱距地面的高度.
(1) 抛物线的表达式为 ;
(2)爸爸站在水柱下方,且距喷水头P水平距离为3 m,身高1.6 m的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,则她与爸爸的水平距离为 m.

(1) $y=-\frac{1}{10}x^2 +x +\frac{7}{10}$
(2) 2或6
【点拨】(1)由题意知，抛物线的顶点坐标为(5,3.2)，则抛物线的表达式为$y=a(x-5)^2+3.2$，将点P(0,0.7)的坐标代入上式，得$0.7=25a+3.2$，解得$a=-\frac{1}{10}$。
$\therefore y=-\frac{1}{10}(x-5)^2+3.2=-\frac{1}{10}x^2 +x +\frac{7}{10}$。
(2)当$y=1.6$时，$-\frac{1}{10}x^2 +x +\frac{7}{10}=1.6$，解得$x=1$或$x=9$。
$3-1=2(\mathrm{m})$或$9-3=6(\mathrm{m})$。
综上，她与爸爸的水平距离是2 m或6 m。

2. ★★ [2025青岛] 小磊和小明练习打网球.在一次击球过程中,小磊从点O正上方1.8米的A点将球击出.
信息一:在如图所示的平面直角坐标系中,O为原点,OA在y轴上,球的运动路线可以看作是二次函数$y=ax^2+bx+1.8$($a,b$为常数)图象的一部分,其中$y$(米)是球的高度,$x$(米)是球和原点的水平距离,图象经过点$(2,3.2),(4,4.2)$.
信息二:球和原点的水平距离$x$(米)与时间$t$(秒)($0≤t≤1.6$)之间近似满足一次函数关系,部分数据如下:

(1)求$y$与$x$的函数关系式;
(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度?最大高度是多少?
(3)当$t$为1.6秒时,小明将球击回、球在第一象限的
运动路线可以看作是二次函数$y=-0.02x^2+px+m$($p,m$为常数)图象的一部分,其中$y$(米)是球的高度,$x$(米)是球和原点的水平距离.当网球所在点的横坐标$x$为2,纵坐标$y$大于等于1.8时,$p$的取值范围为(直接写出结果).

(1) $\because$ 图象经过点$(2,3.2),(4,4.2)$，
$\therefore \begin{cases}4a+2b+1.8=3.2,\\16a+4b+1.8=4.2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-0.05,\\b=0.8.\end{cases}$
$\therefore y$与$x$的函数关系式为$y=-0.05x^2+0.8x+1.8$。
(2)由表格可知$t=0,x=0$，$\therefore$ 设球和原点的水平距离$x$(米)与时间$t$(秒)的关系式为$x=kt(k≠0)$，
代入$(0.4,4)$，得$0.4k=4$，解得$k=10$，$\therefore x=10t$。
对于$y=-0.05x^2+0.8x+1.8$，$a=-0.05＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下。
又$\because$ 对称轴为直线$x=-\frac{0.8}{2×(-0.05)}=8$，
$\therefore$ 当$x=8$时，$y_{\mathrm{max}}=-0.05×8^2+0.8×8+1.8=5$，
此时$10t=8$，解得$t=0.8$。
$\therefore$ 网球被击出后经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米。
(3) $p≤0.36$
【点拨】由题意得，当$t=1.6$时，$x=1.6×10=16$，$\therefore y=-0.05×16^2+0.8×16+1.8=1.8$。$\therefore$ 击球点位置为$(16,1.8)$，将$(16,1.8)$代入$y=-0.02x^2+px+m$得$-0.02×16^2+16p+m=1.8$。$\therefore m=6.92-16p$。$\therefore y=-0.02x^2+px+6.92-16p$。$\because x=2$时，$y≥1.8$，$\therefore -0.02×2^2+2p+6.92-16p≥1.8$，解得$p≤0.36$。

3. 2025·攀枝花 跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究。先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用。
【设计实验方案】如图①所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放。从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t(s)、运动快慢v(cm/s)、运动路程y(cm)的数据。
【收集整理数据】
【数学建模探究】
【猜想】根据表格中的数据分别在图②、图③的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：v与t之间的关系可以近似地用函数表示，y与t之间的关系可以近似地用函数表示。（选填：一次、二次、反比例）
【检验】根据猜想求出v与t，y与t之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证。
【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以3 cm/s的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么AB的最大值是多少？

【猜想】
一次；二次
【检验】设 $v = kt + m$，把 $(0,12),(4,10)$ 代入，得
$\begin{cases}m=12,\\4k+m=10,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\frac{1}{2},\\m=12,\end{cases}$ $\therefore v=-\frac{1}{2}t+12$，
验证：当$t=20$时，$v=-\frac{1}{2}×20+12=2$，符合题意；
设 $y = at^2 + bt + c$，把点$(0,0),(4,44),(8,80)$代入，得
$\begin{cases}c=0,\\16a+4b+c=44,\\64a+8b+c=80,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}c=0,\\a=-\frac{1}{4},\\b=12,\end{cases}$ $\therefore y=-\frac{1}{4}t^2+12t$。
验证：当$t=20$时，$y=-\frac{1}{4}×20^2+12×20=140$，符合题意。
【应用】$\because y=-\frac{1}{4}t^2+12t$，设$AB=d$，
由题意，得$-\frac{1}{4}t^2+12t≥ d+3t$，$\therefore d≤ -\frac{1}{4}t^2+9t$。
$\therefore$ 当$t=-\frac{9}{2×(-\frac{1}{4})}=18$时，$d$最大为$-\frac{1}{4}×18^2+9×18=81$。
故$AB$最大为81 cm。