9.如图,在三角形纸片$ABC$中,$AC=10$,$AB=6$,$∠ ABC=90°$.在$BC$上取一点$E$,连接$AE$,以$AE$为折痕折叠,使$AC$的一部分与$AB$重合,点$C$与$AB$的延长线上的点$D$重合,则$DE$的长度为.

9. 5

10.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,分别以三角形的三条边为边向外作正方形,面积分别记为$S_1,S_2,S_3$.若$S_1=9,S_2=16$,则$S_3=$.

10. 25

11.如图，以$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若$AB=\sqrt{3}$,则图中阴影部分的面积为.

11. 3

12.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠CDA=90°,分别以它的四条边为斜边,向外作等腰直角三角形,其中三个三角形的面积分别为2,5,9,已在图中标出,求第四个三角形的面积.

12. 解:如图,连接AC,
$\because △ ABE$是等腰直角三角形,且它的面积为5,
$\therefore \frac{1}{2} AE · BE = \frac{1}{2} AE^2=5,即AE^2=10,$
$\therefore AB^2=AE^2+BE^2=2AE^2=20.$
同理可得$BC^2=36$,$AD^2=8.$
$\because ∠ ABC=∠ CDA=90°,$
$\therefore AB^2+BC^2=AC^2=AD^2+CD^2,$
即$20+36=8+CD^2$,解得$CD^2=48.$
在等腰$\mathrm{Rt}△ CDF$中,$CD^2=CF^2+DF^2=2CF^2$,
即$CF^2=\frac{1}{2}CD^2=24$,
则等腰$\mathrm{Rt}△ CDF$的面积为
$\frac{1}{2}CF · DF=\frac{1}{2}CF^2=\frac{1}{2} × 24=12.$

13.如图,在$△ BAC$中,$∠ BAC=90°$,分别以$BC$,$AB$,$AC$为直径在$△ ABC$外作半圆,设三个半圆形的面积分别为$S_1$,$S_2$,$S_3$.求证:$S_1=S_2+S_3$.

13. 证明:$\because$在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,
$\therefore BC^2=AB^2+AC^2.$
$\because S_3=\frac{1}{2}π(\frac{1}{2}AC)^2=\frac{π}{8}AC^2,$
$S_2=\frac{1}{2}π(\frac{1}{2}AB)^2=\frac{π}{8}AB^2,S_1=\frac{1}{2}π(\frac{1}{2}BC)^2=\frac{π}{8}BC^2,$
$\therefore S_3+S_2=\frac{π}{8}(AC^2+AB^2)=\frac{π}{8}BC^2=S_1,$
即$S_1=S_2+S_3.$