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1. 情境题 生活应用 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3 m处折断倒下，倒下的部分与地面成$30°$角，这棵树在折断前的高度为（
A.6 m
B.9 m
C.12 m
D.15 m
B
）A.6 m
B.9 m
C.12 m
D.15 m
答案
1.B
2. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ B=15°$,AB的垂直平分线交BC于点D,连接AD.若$BD=6$,则AC的长为（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
2.B
3. 母题 教材P84练习T1 在$△ ABC$中，若$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，且$BC=6$，则$AB$等于（
A.2
B.3
C.9
D.12
D
）A.2
B.3
C.9
D.12
答案
3.D
4. 将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，若AB=14 cm，则阴影部分的面积是
$\frac{49}{2}$
cm².答案
4. $\frac{49}{2}$ 【点拨】$\because ∠ACB=90°,∠B=30°,∴AC=\frac{1}{2}AB=7\ \mathrm{cm}.\because ∠AED=∠ACB=90°,∴BC// DE.\therefore ∠AFC=∠D=45°.∴∠CAF=45°=∠AFC.∴CF=AC=7\ \mathrm{cm}.\therefore S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}×7×7=\frac{49}{2}(\mathrm{cm}^2).$
5.如图，Rt△ABC的斜边AC//x轴，点B的坐标是(1,0)，∠A=30°，则AC=
4
。答案
5. 4
6. [2025 北师大附中期中] 某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的$△ ABC$空地上种植草皮以美化环境. 已知$∠ BAC = 150°$, $AB = 20$ m, $AC = 30$ m, 这种草皮每平方米售价$a$元, 则购买这种草皮至少需要
150a
元.(用含$a$的代数式表示)答案
6. 150a
7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=30°$，$∠ B=60°$，
(1)作BC的垂直平分线，分别交AB，BC于点E，F；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)
(2)求证：E是AB的中点。
(1)作BC的垂直平分线，分别交AB，BC于点E，F；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)
(2)求证：E是AB的中点。
答案
7. (1)【解】如图所示,EF 即为所求。
(2)【证明】$\because$ 在$△ ABC$中,$∠A=30°,∠B=60°$,
$\therefore ∠C=90°.∴AB=2BC.$
$\because EF$ 垂直平分 $BC,\therefore BF=\frac{1}{2}BC,∠BFE=90°.$
$\therefore EF// AC.\therefore ∠BEF=∠A=30°.∴BE=2BF.$
$\therefore BE=BC=\frac{1}{2}AB$,即 $E$ 是 $AB$ 的中点。
8. 如图,在$Rt△ ABC$中,CM平分$∠ ACB$交AB于点M,过点M作$MN// BC$交AC于点N,且MN平分$∠ AMC$.若$AN=1$,则BC的长为 (
A.4
B.6
C.3
D.8
B
)A.4
B.6
C.3
D.8
答案
8.B
9. [2025洛阳期中] 如图，在三角形ABC中，AB=AC，D，E是三角形ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°.若BE=6 cm，DE=2 cm，则BC的长度是（
A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.10 cm
C
）A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.10 cm
答案
9. C 【点拨】如图,延长 ED 交 BC 于点 M,延长 AD 交 BC 于点 N. $\because AB=AC$,AD 平分 $∠BAC,\therefore AN⊥ BC,BN=CN.\because ∠EBC=∠E=60°,\therefore △ BEM$ 为等边三角形. $\therefore EM = BM = BE$,$∠EMB=60°.∵BE=6\ \mathrm{cm},DE=2\ \mathrm{cm},∴DM=4\ \mathrm{cm}.∵AN⊥ BC,\therefore ∠DNM = 90°. \therefore ∠NDM= 90° - ∠EMB=30°. \therefore NM=\frac{1}{2}DM=2\ \mathrm{cm}. \therefore BN=BM-MN=4\ \mathrm{cm}. \therefore BC=2BN=8\ \mathrm{cm}.$
10.如图，BD是等边三角形ABC的中线，E是直线BD上一点，连接AE，以AE为边，向下方作等边三角形AEF，连接DF.若AB=8，则DF的最小值为（
A.1
B.1.5
C.2
D.3
C
）A.1
B.1.5
C.2
D.3
答案
10. C 【点拨】如图,连接 CF,
$\because △ ABC$是等边三角形,$△ AEF$ 是等边三角形,$\therefore AB=AC,AE=AF$,$∠ABC=∠BAC=∠FAE=60°$,
$\therefore ∠BAE+∠EAD = ∠FAD + ∠EAD = 60°, \therefore ∠BAE = ∠FAD$,又$\because AB=AC,AE=AF,\therefore △ BAE≌ △ CAF$(SAS),$\therefore BE=CF,∠ABE=∠ACF.∵BD$ 是等边三角形 $ABC$ 的中线, $\therefore ∠ABE=\frac{1}{2}∠ABC=30°=∠ACF,AD=DC=\frac{1}{2}AB=4$,
∵点 F 在 CA 以点 C 为旋转点逆时针旋转 $30°$ 的射线上运动,
∴当 $DF⊥ CF$时,DF 有最小值,$\because ∠ACF=30°,∴DF=\frac{1}{2}DC=2.$
