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9. [2025德州期中] 如图，已知$∠ MON=30°$，点$A_1$，$A_2$，$A_3$，…在射线$ON$上，点$B_1$，$B_2$，$B_3$，…在射线$OM$上，$△ A_1B_1A_2$，$△ A_2B_2A_3$，$△ A_3B_3A_4$，…均为等边三角形，若$OA_1=2$，则$△ A_7B_7A_8$的边长为（
A.16
B.32
C.64
D.128
D
）A.16
B.32
C.64
D.128
答案
9. D 【点拨】
∵△A₁B₁A₂是等边三角形，
∴∠B₁A₁A₂=60°,A₁B₁=A₁A₂. 又
∵∠MON=30°,
∴易得∠OB₁A₁=30°.
∴OA₁=A₁B₁=A₁A₂=2.
∵△A₂B₂A₃是等边三角形，
∴∠B₂A₂A₃=60°,B₂A₂=A₂A₃. 又
∵∠MON=30°,
∴易得∠OB₂A₂=30°.
∴OA₂=A₂B₂=A₂A₃=2+2=4. 同理可证A₃A₄=4+4=8. 以此类推，△AₙBₙAₙ₊₁的边长为2ⁿ,
∴△A₇B₇A₈的边长为2⁷=128.
∵△A₁B₁A₂是等边三角形，
∴∠B₁A₁A₂=60°,A₁B₁=A₁A₂. 又
∵∠MON=30°,
∴易得∠OB₁A₁=30°.
∴OA₁=A₁B₁=A₁A₂=2.
∵△A₂B₂A₃是等边三角形，
∴∠B₂A₂A₃=60°,B₂A₂=A₂A₃. 又
∵∠MON=30°,
∴易得∠OB₂A₂=30°.
∴OA₂=A₂B₂=A₂A₃=2+2=4. 同理可证A₃A₄=4+4=8. 以此类推，△AₙBₙAₙ₊₁的边长为2ⁿ,
∴△A₇B₇A₈的边长为2⁷=128.
10. 如图，$∠ AOB=120°$，$OP$平分$∠ AOB$，且$OP=1$.若点$M$，$N$分别在$OA$，$OB$上，且$△ PMN$为等边三角形，则满足上述条件的$△ PMN$有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
答案
10. D 【点拨】如图，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，连接MN.
∵OP平分∠AOB，
∴PM=PN，∠PMO=∠PNO=90°.
∴∠MPN=360°−∠AOB−∠PMO−∠PNO=60°.
∴此时△PMN是等边三角形. 若M向MO方向移动，N向NB方向移动，且∠MPM₁=∠NPN₁,则∠M₁PN₁=∠M₁PN+∠NPN₁=∠M₁PN+∠MPM₁=∠MPN=60°. 连接M₁N₁，在△PMM₁和△PNN₁中，$\begin{cases} ∠PMM₁=∠PNN₁, \\ PM=PN, \\ ∠MPM₁=∠NPN₁, \end{cases}$
∴△PMM₁ ≌ △PNN₁ （ASA）.
∴ PM₁ = PN₁.
∴△M₁PN₁是等边三角形.
∴存在无数个满足条件的等边三角形PMN. 同理，当M向MA方向移动，N向NO方向移动时，也存在无数个满足条件的等边三角形PMN. 综上，满足条件的△PMN有无数个.
11. 如图，$△ ABC$，$△ CDE$都是等边三角形，$AD$，$BE$相交于点$O$，$M$，$N$分别是线段$AD$，$BE$的中点。
(1)求证：$AD=BE$；
(2)求$∠ DOE$的度数；
(3)求证：$△ MNC$是等边三角形。
(1)求证：$AD=BE$；
(2)求$∠ DOE$的度数；
(3)求证：$△ MNC$是等边三角形。
答案
11. (1)【证明】
∵△ABC,△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中，$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴△ACD≌△BCE.
∴AD=BE.
(2)【解】
∵△ACD≌△BCE,
∴∠ADC=∠BEC.
∵△DCE是等边三角形，
∴∠CED=∠CDE=60°.
∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠BEC+60°+∠BED=∠CED+60°=60°+60°=120°.
∴∠DOE=180°−(∠ADE+∠BED)=60°.
(3)【证明】
∵△ACD≌△BCE,
∴∠CAD=∠CBE,AD=BE.
又
∵M,N分别是线段AD,BE的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD,BN=$\frac{1}{2}$BE.
∴AM=BN.
在△ACM和△BCN中，$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠CAM=∠CBN, \\ AM=BN, \end{cases}$
∴△ACM≌△BCN.
∴CM=CN,∠ACM=∠BCN.
∵∠ACB=60°,
∴∠ACM+∠MCB=60°.
∴∠BCN+∠MCB=60°,即∠MCN=60°.
∴△MNC是等边三角形.
∵△ABC,△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中，$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴△ACD≌△BCE.
∴AD=BE.
(2)【解】
∵△ACD≌△BCE,
∴∠ADC=∠BEC.
∵△DCE是等边三角形，
∴∠CED=∠CDE=60°.
∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠BEC+60°+∠BED=∠CED+60°=60°+60°=120°.
∴∠DOE=180°−(∠ADE+∠BED)=60°.
(3)【证明】
∵△ACD≌△BCE,
∴∠CAD=∠CBE,AD=BE.
又
∵M,N分别是线段AD,BE的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD,BN=$\frac{1}{2}$BE.
∴AM=BN.
在△ACM和△BCN中，$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠CAM=∠CBN, \\ AM=BN, \end{cases}$
∴△ACM≌△BCN.
∴CM=CN,∠ACM=∠BCN.
∵∠ACB=60°,
∴∠ACM+∠MCB=60°.
∴∠BCN+∠MCB=60°,即∠MCN=60°.
∴△MNC是等边三角形.
12.[2025济宁期中]下面是一道探索几何图形中线段AE与DB数量关系的例子：
已知在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，连接ED，EC，且$ED=EC$.
(1)【特殊情况，探索结论】如图①，当E为AB的中点时，确定线段AE与DB的数量关系，请你直接写出结论；
(2)【特例启发，解答题目】如图②，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论.
(3)【拓展结论，设计新题】如图③，在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，连接ED，EC，且$ED=EC$，若$△ ABC$的边长为1，$AE=3$，求$CD$的长.
已知在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，连接ED，EC，且$ED=EC$.
(1)【特殊情况，探索结论】如图①，当E为AB的中点时，确定线段AE与DB的数量关系，请你直接写出结论；
(2)【特例启发，解答题目】如图②，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论.
(3)【拓展结论，设计新题】如图③，在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，连接ED，EC，且$ED=EC$，若$△ ABC$的边长为1，$AE=3$，求$CD$的长.
答案
12. 【解】(1)AE=DB.
(2)AE=DB. 【点拨】过点E作EF//BC,交AC于点F.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠A=60°,AB=AC.
∵EF//BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°.
∴△AEF为等边三角形.
∴AE=EF=AF.
∴AB−AE=AC−AF,即BE=CF.
∵ED=EC,
∴∠D=∠ECD.
又
∵∠DEB=60°−∠D,∠ECF=60°−∠ECD,
∴∠DEB=∠ECF.
在△DBE和△EFC中，$\begin{cases} DE=CE, \\ ∠DEB=∠ECF, \\ BE=FC, \end{cases}$
∴△DBE≌△EFC(SAS).
∴DB=EF.
∴AE=DB.
(3)如图，作EF//BC,交AC的延长线于点F,则∠DCE=∠CEF，易知△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=3,BE=CF,∠ABC=∠DBE=∠F=60°.
∵ED=EC,
∴∠D=∠DCE.
∴∠D=∠CEF.
∵∠DEB=180°−60°−∠D,∠ECF=180°−60°−∠CEF,
∴∠DEB=∠ECF.
在△DBE和△EFC中，$\begin{cases} DE=CE, \\ ∠DEB=∠ECF, \\ BE=FC, \end{cases}$
∴△DBE≌△EFC.
∴DB=EF=3. 又
∵BC=1，
∴CD=BC+DB=4.
