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11. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°,∠ B=30°$,以点 A 为圆心,AC 长为半径画弧,交 AB 边于点 D,再分别以点 C,D 为圆心,大于$\frac{1}{2}CD$的长度为半径画弧,两弧交于点 E,作射线 AE 交 BC 边于点 F,点 P 为边 AB 上的动点,连接 PF.若 $BC=6$,则 PF 的取值范围是 (
A.$2≤ PF≤ 3$
B.$1≤ PF≤ 2$
C.$2≤ PF≤ 4$
D.$3≤ PF≤ 5$
C
)A.$2≤ PF≤ 3$
B.$1≤ PF≤ 2$
C.$2≤ PF≤ 4$
D.$3≤ PF≤ 5$
答案
11. C 【点拨】由作图可知,AE 是 $∠CAB$ 的平分线,
$\because ∠CAB=180°-∠B-∠ACB=60°,∴∠CAF=∠BAE=\frac{1}{2}∠CAB=30°=∠B. ∴ AF = BF, CF =\frac{1}{2}AF. ∵ CF + BF =\frac{1}{2}AF + AF = 6$, 解得 $AF=4$,
$\therefore CF=2.\therefore F$ 到 AB 的距离等于 CF 的长, $\therefore PF_{\mathrm{min}}=CF=2$. 当 P 与 A 或 B 重合时, PF 的值最大, 即$PF_{\mathrm{max}}=AF=BF=4,∴2≤PF≤4.$
$\because ∠CAB=180°-∠B-∠ACB=60°,∴∠CAF=∠BAE=\frac{1}{2}∠CAB=30°=∠B. ∴ AF = BF, CF =\frac{1}{2}AF. ∵ CF + BF =\frac{1}{2}AF + AF = 6$, 解得 $AF=4$,
$\therefore CF=2.\therefore F$ 到 AB 的距离等于 CF 的长, $\therefore PF_{\mathrm{min}}=CF=2$. 当 P 与 A 或 B 重合时, PF 的值最大, 即$PF_{\mathrm{max}}=AF=BF=4,∴2≤PF≤4.$
12.[2025荆州期中]如图,在$△ ABC$中,$AB=12\ \mathrm{cm},AC=10\ \mathrm{cm},∠ A=60°$,点$P$从点$B$出发以每秒$2\ \mathrm{cm}$的速度向点$A$运动,点$Q$从点$A$同时出发以每秒$1\ \mathrm{cm}$的速度向点$C$运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$,当$△ APQ$为直角三角形时,$t$的值为
3或4.8
.答案
12. 3 或 4.8
13. 母题 教材 P85 习题 T9 如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15 n mile/h的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处观察灯塔C，测得$∠ NAC = 30°$，$∠ NBC=60°$。
(1)求海岛B到灯塔C的距离。
(2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，还要经过多长时间，该船与灯塔C的距离最短？
(1)求海岛B到灯塔C的距离。
(2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，还要经过多长时间，该船与灯塔C的距离最短？
答案
13. 【解】(1)由题意得 $AB=15×2=30(\mathrm{n\ mile}).$
$\because ∠NBC=60°,∠NAC=30°$,
$\therefore ∠ACB=∠NBC-∠NAC=30°.$
$\therefore ∠ACB=∠NAC. ∴ BC=AB=30\ \mathrm{n\ mile}.$
$\therefore$ 海岛 $B$ 到灯塔 $C$ 的距离为 $30\ \mathrm{n\ mile}.$
(2)如图,过点 $C$ 作 $CP⊥ AB$ 于点 $P$,
$\therefore ∠BPC=90°$. 根据垂线段最短,可知线段 $CP$ 的长为该船与灯塔 $C$ 的最短距离,
$\because ∠PBC=60°$,
$\therefore ∠PCB=180°-∠BPC-∠CBP=30°.$
$\because BC = 30\ \mathrm{n\ mile}, \therefore PB=\frac{1}{2}BC=15\ \mathrm{n\ mile}. ∵15÷15=1(\mathrm{h}).$
$\therefore$ 若继续向正北方向航行,还要经过 $1\ \mathrm{h}$,该船与灯塔 $C$ 的距离最短。
14. 在等边三角形ABC中，AB＝4，D是BC所在直线上的一个动点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
(1)如图①，当D只在线段BC上移动时(D不与B，C重合)，请说明BE＋CF的值是不是一个固定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请举出例子；
(2)如图②、图③，当D在BC的延长线和反向延长线上时，请分别说明BE和CF有什么数量关系.
(1)如图①，当D只在线段BC上移动时(D不与B，C重合)，请说明BE＋CF的值是不是一个固定值，如果是，请求出这个值，如果不是，请举出例子；
(2)如图②、图③，当D在BC的延长线和反向延长线上时，请分别说明BE和CF有什么数量关系.
答案
14. 【解】(1)$BE+CF$ 的值是一个固定值.
$\because △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore ∠B=∠C=60°,BC=AB=4.$
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,$
$\therefore ∠BDE=30°,∠FDC=30°.$
$\therefore BE=\frac{1}{2}BD,CF=\frac{1}{2}DC.$
$\therefore BE+CF=\frac{1}{2}(BD+CD)=\frac{1}{2}BC=2.$
$\therefore BE+CF$ 的值是一个固定值 2.
(2)当 $D$ 在 $BC$ 的延长线上时,$\because △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore ∠B=∠ACB=60°,BC=4.$
$\therefore ∠DCF=∠ACB=60°.$
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,$
$\therefore ∠EDB=30°,∠CDF=30°.$
$\therefore BE=\frac{1}{2}BD,CF=\frac{1}{2}CD.$
$\therefore BE-CF=\frac{1}{2}(BD-CD)=\frac{1}{2}BC=2.$
当 $D$ 在 $BC$ 的反向延长线上时,
$\because △ ABC$ 是等边三角形,$\therefore BC=4,∠ABC=∠C=60°.$
$\therefore ∠DBE=∠ABC=60°.$
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,$
$\therefore ∠FDC=30°,∠BDE=30°.$
$\therefore CF=\frac{1}{2}DC,BE=\frac{1}{2}BD.$
$\therefore CF-BE=\frac{1}{2}(DC-BD)=\frac{1}{2}BC=2.$
$\because △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore ∠B=∠C=60°,BC=AB=4.$
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,$
$\therefore ∠BDE=30°,∠FDC=30°.$
$\therefore BE=\frac{1}{2}BD,CF=\frac{1}{2}DC.$
$\therefore BE+CF=\frac{1}{2}(BD+CD)=\frac{1}{2}BC=2.$
$\therefore BE+CF$ 的值是一个固定值 2.
(2)当 $D$ 在 $BC$ 的延长线上时,$\because △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore ∠B=∠ACB=60°,BC=4.$
$\therefore ∠DCF=∠ACB=60°.$
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,$
$\therefore ∠EDB=30°,∠CDF=30°.$
$\therefore BE=\frac{1}{2}BD,CF=\frac{1}{2}CD.$
$\therefore BE-CF=\frac{1}{2}(BD-CD)=\frac{1}{2}BC=2.$
当 $D$ 在 $BC$ 的反向延长线上时,
$\because △ ABC$ 是等边三角形,$\therefore BC=4,∠ABC=∠C=60°.$
$\therefore ∠DBE=∠ABC=60°.$
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,$
$\therefore ∠FDC=30°,∠BDE=30°.$
$\therefore CF=\frac{1}{2}DC,BE=\frac{1}{2}BD.$
$\therefore CF-BE=\frac{1}{2}(DC-BD)=\frac{1}{2}BC=2.$
