14.(淮安中考)若$x^2 - 3x + 1 + y = 0$，则$2x + y$的最大值是。

14.$\frac{21}{4}$

【分析】
要求$2x+y$的最大值，首先观察已知等式包含$x、y$两个变量，可通过移项用含$x$的代数式表示$y$，再代入$2x+y$，将其转化为仅含$x$的二次函数，最后利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质计算即可，思路符合九年级二次函数相关知识要求。
【解析】
解：由$x^2 - 3x + 1 + y = 0$移项可得：
$y = -x^2 + 3x - 1$
将$y = -x^2 + 3x - 1$代入$2x + y$，整理得：
$\begin{aligned}2x + y &= 2x + (-x^2 + 3x - 1)\\&=-x^2 +5x -1\end{aligned}$
该式为关于$x$的二次函数，其中二次项系数$a=-1＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值。
根据二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的最值公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$a=-1、b=5、c=-1$：
$\begin{aligned}\mathrm{最大值}&=\frac{4×(-1)×(-1) - 5^2}{4×(-1)}\\&=\frac{4-25}{-4}\\&=\frac{21}{4}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{21}{4}$
【知识点】
代入消元法，二次函数的最值，二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数最值的典型应用题型，解题关键是通过消元将二元代数式转化为单个变量的二次函数，再结合二次函数开口方向和顶点最值公式求解，计算时需注意二次项系数的符号，避免符号错误导致最值计算失误。
【难度系数】
0.6

15.(河南中考)在二次函数$y=ax^2+bx-2$中，$x$与$y$的几组对应值如下表所示.

(1)求二次函数的解析式；
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)将二次函数的图象向右平移$n$个单位长度后，当$0≤x≤3$时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出$n$的值.

15.解:(1)将点$(-2,-2),(1,1)$代入 $y = ax^2 + bx - 2$, 得
$\begin{cases}4a-2b-2=-2,\\a+b-2=1,\end{cases}解得\begin{cases}a=1,\\b=2.\end{cases}$
$\therefore$二次函数的解析式为$y=x^2+2x-2$.
(2)$\because y=x^2+2x-2=(x+1)^2-3$,$\therefore$二次函数图象的顶点为$(-1,-3)$.二次函数的图象如图所示.
(3)$n=1+\sqrt{5}$或$n=4-\sqrt{5}$.

【分析】
(1) 求二次函数解析式时，已知一般式仅含a、b两个未知参数，从图象中选取两个坐标已知的点代入解析式，得到二元一次方程组，解方程组即可求出a、b，确定解析式。
(2) 求顶点坐标可采用配方法，将一般式转化为顶点式，即可直接得到顶点坐标；画图象时先确定顶点、与坐标轴交点等关键点，再用平滑曲线连接即可。
(3) 二次函数向右平移遵循“左加右减”的规律得到新解析式，再分类讨论对称轴与区间$0≤ x≤3$的位置关系，分别计算区间内的最大值和最小值，根据最值差为5列方程求解，舍去不符合条件的解即可得到n的值。
【解析】
(1) 观察图象可知二次函数过点$(-2,-2)$、$(1,1)$，将两点坐标代入$y=ax^2+bx-2$，得：
$\begin{cases}4a-2b-2=-2\\a+b-2=1\end{cases}$
化简得$\begin{cases}2a-b=0\\a+b=3\end{cases}$，两式相加解得$a=1$，代入$a+b=3$得$b=2$。
$\therefore$ 二次函数的解析式为$y=x^2+2x-2$。
(2) 对解析式配方：$y=x^2+2x-2=(x+1)^2-3$，
$\therefore$ 二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-3)$。
选取顶点、与坐标轴交点等关键点，用平滑曲线连接，二次函数图象如图所示。
(3) 向右平移$n$个单位后，新解析式为$y=(x+1-n)^2-3$，函数开口向上，对称轴为$x=n-1$，最小值为$-3$，分情况讨论：
① 对称轴$x=n-1≤0$即$n≤1$时，区间内函数单调递增，最值差为$15-6n=5$，解得$n=\frac{5}{3}$，与$n≤1$矛盾，舍去；
② 对称轴$x=n-1≥3$即$n≥4$时，区间内函数单调递减，最值差为$6n-15=5$，解得$n=\frac{10}{3}$，与$n≥4$矛盾，舍去；
③ 对称轴$0＜ n-1＜3$即$1＜n＜4$时，最小值为$-3$：
最大值在$x=0$处时，$(n-1)^2=5$，解得$n=1+\sqrt{5}$（$n=1-\sqrt{5}$舍去）；
最大值在$x=3$处时，$(4-n)^2=5$，解得$n=4-\sqrt{5}$（$n=4+\sqrt{5}$舍去）。
综上可得n的取值。
【答案】
(1) $y=x^2+2x-2$；
(2) 顶点坐标为$(-1,-3)$，图象如图所示；
(3) $n=1+\sqrt{5}$或$n=4-\sqrt{5}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数图象与性质，二次函数平移
【点评】
本题前两问属于基础题型，第三问需要结合分类讨论思想分析对称轴和给定区间的位置关系，是二次函数综合应用的典型题型，能有效考查对函数性质的掌握程度和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.4

16.(无锡中考)已知二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+mx+\frac{\sqrt{3}}{3}m(m≠0)$图象的顶点为A，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C.
(1)若该函数图象经过点$(0,\sqrt{3})$，求点A的横坐标；
(2)若$m＜3$，点$P(2,y_1)$和$Q(4,y_2)$在该函数图象上，求证：$y_1＞y_2$；
(3)若$△ ABC$是等腰三角形，求m的值.

16.解:(1)$\because$二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+mx+\frac{\sqrt{3}}{3}m$的图象经过点$(0,\sqrt{3})$,$\therefore \frac{\sqrt{3}}{3}m=\sqrt{3}$,解得$m=3$. $\therefore y=-\frac{1}{2}x^2+3x+\sqrt{3}$.
$\because -\frac{3}{2×(-\frac{1}{2})}=3$,$\therefore$点A的横坐标为3.
(2)证明:
$\because$点$P(2,y_1)$和$Q(4,y_2)$在二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+mx+\frac{\sqrt{3}}{3}m$的图象上,$\therefore y_1=-2+2m+\frac{\sqrt{3}}{3}m$,$y_2=-8+4m+\frac{\sqrt{3}}{3}m$. $\because m＜3$,$\therefore y_1-y_2=-2+2m+\frac{\sqrt{3}}{3}m-(-8+4m+\frac{\sqrt{3}}{3}m)=-2(m-3)＞0$. $\therefore y_1＞y_2$.
(3)在$y=-\frac{1}{2}x^2+mx+\frac{\sqrt{3}}{3}m$中,令$x=0$,得$y=\frac{\sqrt{3}}{3}m$. $\therefore B(0,\frac{\sqrt{3}}{3}m)$. $\because y=-\frac{1}{2}x^2+mx+\frac{\sqrt{3}}{3}m=-\frac{1}{2}(x-m)^2+\frac{m^2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}m$,$\therefore A(m,\frac{m^2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}m)$,$C(m,0)$.
当$AB=AC$时,$m^2+(\frac{m^2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}m-\frac{\sqrt{3}}{3}m)^2=(\frac{m^2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}m)^2$,解得$m=0$(舍去)或$m=\frac{2\sqrt{3}}{3}$;
当$AB=BC$时,$m^2+(\frac{m^2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}m-\frac{\sqrt{3}}{3}m)^2=m^2+(\frac{\sqrt{3}}{3}m)^2$,解得$m=0$(舍去)或$m=\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$m=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$(此时A,C重合,舍去);
当$AC=BC$时,$(\frac{m^2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}m)^2=m^2+(\frac{\sqrt{3}}{3}m)^2$,解得$m=0$(舍去)或$m=-2\sqrt{3}$或$m=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
综上所述,$m$的值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$-2\sqrt{3}$.

【分析】
(1) 已知函数图象过点$(0,\sqrt{3})$，将点坐标代入解析式可求出$m$的值，二次函数顶点的横坐标等于对称轴对应的$x$值，利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$即可求解。
(2) 要证明$y_1＞y_2$，先将$P$、$Q$两点坐标代入解析式求出$y_1$、$y_2$的表达式，作差计算$y_1-y_2$，结合$m＜3$的条件判断差的正负即可得证。
(3) 先求出$A$、$B$、$C$三点的坐标：令$x=0$可得$B$点坐标，将函数配方得顶点$A$坐标，对称轴与$x$轴交点$C$的横坐标与$A$相同、纵坐标为0；再分$AB=AC$、$AB=BC$、$AC=BC$三种情况，根据两点间距离公式列方程求解，最后舍去不符合题意的解即可得到$m$的值。
【解析】
(1) $\because$二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2+mx+\frac{\sqrt{3}}{3}m$的图象经过点$(0,\sqrt{3})$，
$\therefore \frac{\sqrt{3}}{3}m=\sqrt{3}$，解得$m=3$，
此时函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+3x+\sqrt{3}$，
由对称轴公式得$x=-\frac{3}{2×(-\frac{1}{2})}=3$，即点$A$的横坐标为3。
(2) 证明：
$\because$点$P(2,y_1)$和$Q(4,y_2)$在二次函数图象上，
$\therefore y_1=-\frac{1}{2}×2^2+2m+\frac{\sqrt{3}}{3}m=-2+2m+\frac{\sqrt{3}}{3}m$，
$y_2=-\frac{1}{2}×4^2+4m+\frac{\sqrt{3}}{3}m=-8+4m+\frac{\sqrt{3}}{3}m$，
$\therefore y_1-y_2=(-2+2m+\frac{\sqrt{3}}{3}m)-(-8+4m+\frac{\sqrt{3}}{3}m)=6-2m=-2(m-3)$，
$\because m＜3$，$\therefore m-3＜0$，则$-2(m-3)＞0$，即$y_1-y_2＞0$，
$\therefore y_1＞y_2$。
(3) 在$y=-\frac{1}{2}x^2+mx+\frac{\sqrt{3}}{3}m$中，令$x=0$得$y=\frac{\sqrt{3}}{3}m$，故$B(0,\frac{\sqrt{3}}{3}m)$，
将函数配方得$y=-\frac{1}{2}(x-m)^2+\frac{m^2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}m$，
$\therefore A(m,\frac{m^2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}m)$，对称轴为$x=m$，故$C(m,0)$，分三种情况讨论：
①当$AB=AC$时：$m^2+(\frac{m^2}{2})^2=(\frac{m^2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}m)^2$，解得$m=0$（舍去）或$m=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
②当$AB=BC$时：$m^2+(\frac{m^2}{2})^2=m^2+(\frac{\sqrt{3}}{3}m)^2$，解得$m=0$（舍去）、$m=\frac{2\sqrt{3}}{3}$、$m=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$（$A$、$C$重合，舍去）；
③当$AC=BC$时：$(\frac{m^2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}m)^2=m^2+(\frac{\sqrt{3}}{3}m)^2$，解得$m=0$（舍去）、$m=-2\sqrt{3}$、$m=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
综上，$m$的值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$-2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $3$；(2) $y_1＞y_2$，证明见解析；(3) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$-2\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数的性质，等腰三角形的判定，分类讨论思想
【点评】
本题是二次函数综合题，前两问考查二次函数的基础应用，难度较低；第三问结合等腰三角形的性质考查分类讨论思想，解题时需注意检验解的合理性，避免出现增根，是二次函数的典型常考题型。
【难度系数】
0.55