登录
1.若抛物线$y=-2(x+5)^2 -6$的对称轴是$x=m$，则$m$的值为 （
A.6
B.$-6$
C.5
D.$-5$
D
）A.6
B.$-6$
C.5
D.$-5$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的对称轴相关知识，解题思路为先回忆二次函数顶点式的标准形式及对应对称轴的表达式，再将题干给出的抛物线解析式匹配标准顶点式的形式，对应找到参数h的值，即可得到对称轴x=m中m的取值。解题时要注意顶点式中括号内是x减h的形式，若出现加号要转化为减负数，避免符号判断错误。
【解析】
二次函数的顶点式为$ y=a(x-h)^2+k $（$ a≠0 $），其对称轴为直线$ x=h $。
将题干中的抛物线解析式$ y=-2(x+5)^2 -6 $变形为标准顶点式：$ y=-2[x-(-5)]^2 + (-6) $，对比顶点式可得$ h=-5 $，即该抛物线的对称轴为直线$ x=-5 $，故$ m=-5 $。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数顶点式 2.二次函数的对称轴
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二次函数顶点式中对称轴对应关系的掌握，解题的关键是注意顶点式中h的符号，不要误将括号内的+5对应的h判断为5，只要牢记公式、细心判断符号即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的对称轴相关知识，解题思路为先回忆二次函数顶点式的标准形式及对应对称轴的表达式，再将题干给出的抛物线解析式匹配标准顶点式的形式，对应找到参数h的值，即可得到对称轴x=m中m的取值。解题时要注意顶点式中括号内是x减h的形式，若出现加号要转化为减负数，避免符号判断错误。
【解析】
二次函数的顶点式为$ y=a(x-h)^2+k $（$ a≠0 $），其对称轴为直线$ x=h $。
将题干中的抛物线解析式$ y=-2(x+5)^2 -6 $变形为标准顶点式：$ y=-2[x-(-5)]^2 + (-6) $，对比顶点式可得$ h=-5 $，即该抛物线的对称轴为直线$ x=-5 $，故$ m=-5 $。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数顶点式 2.二次函数的对称轴
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二次函数顶点式中对称轴对应关系的掌握，解题的关键是注意顶点式中h的符号，不要误将括号内的+5对应的h判断为5，只要牢记公式、细心判断符号即可得分。
【难度系数】
0.9
2. 下图是嘉嘉求抛物线 $ y=3x^2 -6x +1 $ 的顶点坐标的过程，则（
A.该过程完全正确
B.该过程从①开始出错
C.该过程从②开始出错
D.该过程从③开始出错
B
）A.该过程完全正确
B.该过程从①开始出错
C.该过程从②开始出错
D.该过程从③开始出错
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查用配方法将二次函数一般式转化为顶点式、进而求顶点坐标的正误判断。解题时首先回忆配方法的正确步骤：先提取二次项系数，将含x的项放在括号内，再在括号内配完全平方，注意括号内新增的常数项要在括号外扣除对应的数值（扣除的数值需乘提取的二次项系数），依次对比嘉嘉的每一步骤即可找到错误起始位置。
【解析】
用配方法将$y=3x^2-6x+1$化为顶点式的正确过程如下：
$\begin{aligned}y&=3x^2-6x+1\\&=3(x^2-2x)+1\\&=3(x^2-2x+1^2 -1^2)+1\\&=3(x^2-2x+1) - 3×1^2 +1\\&=3(x-1)^2 -2\end{aligned}$
对比嘉嘉的步骤：
嘉嘉的第①步中，括号内加了$1^2$，但括号外仅减去$1^2$，未乘提取的二次项系数3，操作错误，后续步骤也因此全部错误，即该过程从①开始出错。
【答案】
B
【知识点】
配方法化二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题核心易错点是配方法时，括号外有二次项系数的情况下，扣除新增常数项时忘记乘该系数，日常练习时要注意配方法的规范步骤，避免此类错误。
【难度系数】
0.7
本题考查用配方法将二次函数一般式转化为顶点式、进而求顶点坐标的正误判断。解题时首先回忆配方法的正确步骤：先提取二次项系数，将含x的项放在括号内，再在括号内配完全平方，注意括号内新增的常数项要在括号外扣除对应的数值（扣除的数值需乘提取的二次项系数），依次对比嘉嘉的每一步骤即可找到错误起始位置。
【解析】
用配方法将$y=3x^2-6x+1$化为顶点式的正确过程如下：
$\begin{aligned}y&=3x^2-6x+1\\&=3(x^2-2x)+1\\&=3(x^2-2x+1^2 -1^2)+1\\&=3(x^2-2x+1) - 3×1^2 +1\\&=3(x-1)^2 -2\end{aligned}$
对比嘉嘉的步骤：
嘉嘉的第①步中，括号内加了$1^2$，但括号外仅减去$1^2$，未乘提取的二次项系数3，操作错误，后续步骤也因此全部错误，即该过程从①开始出错。
【答案】
B
【知识点】
配方法化二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题核心易错点是配方法时，括号外有二次项系数的情况下，扣除新增常数项时忘记乘该系数，日常练习时要注意配方法的规范步骤，避免此类错误。
【难度系数】
0.7
3. 若二次函数$y=(m-1)x^2 - mx + m^2 + 2m - 3$的图象经过原点，则$m$的值为（
A.1或－3
B.1
C.－3
D.－1或3
C
）A.1或－3
B.1
C.－3
D.－1或3
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心条件：①该函数是二次函数，因此二次项系数不能为0；②函数图象经过原点，意味着原点(0,0)满足函数解析式。第一步先将原点坐标代入解析式得到关于m的方程，求解出m的可能值，第二步再根据二次函数的定义排除不符合要求的m值，即可得到最终结果。
【解析】
∵ 二次函数$y=(m-1)x^2 - mx + m^2 + 2m - 3$的图象经过原点(0,0)
∴ 将x=0，y=0代入解析式得：
$0 = m^2 + 2m - 3$
解该一元二次方程，因式分解得：
$(m+3)(m-1)=0$
解得$m_1=1$，$m_2=-3$
又
∵ 该函数是二次函数，二次项系数不能为0
∴ $m-1≠0$，即$m≠1$
综上，$m=-3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；函数图象上点的坐标特征；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略“二次函数二次项系数不为0”的隐含限制条件，直接代入原点求解后误选A，因此做题时要先审清函数类型，明确隐含限制条件再求解，避免漏判出错。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确两个核心条件：①该函数是二次函数，因此二次项系数不能为0；②函数图象经过原点，意味着原点(0,0)满足函数解析式。第一步先将原点坐标代入解析式得到关于m的方程，求解出m的可能值，第二步再根据二次函数的定义排除不符合要求的m值，即可得到最终结果。
【解析】
∵ 二次函数$y=(m-1)x^2 - mx + m^2 + 2m - 3$的图象经过原点(0,0)
∴ 将x=0，y=0代入解析式得：
$0 = m^2 + 2m - 3$
解该一元二次方程，因式分解得：
$(m+3)(m-1)=0$
解得$m_1=1$，$m_2=-3$
又
∵ 该函数是二次函数，二次项系数不能为0
∴ $m-1≠0$，即$m≠1$
综上，$m=-3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；函数图象上点的坐标特征；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略“二次函数二次项系数不为0”的隐含限制条件，直接代入原点求解后误选A，因此做题时要先审清函数类型，明确隐含限制条件再求解，避免漏判出错。
【难度系数】
0.6
4. 关于二次函数$y=2x^2+4x-3$，下列说法正确的是（
A.y的最小值为5
B.图象与y轴的交点坐标为$(0,-3)$
C.当$x＜0$时，y随x的增大而减小
D.图象的对称轴在y轴的右侧
B
）A.y的最小值为5
B.图象与y轴的交点坐标为$(0,-3)$
C.当$x＜0$时，y随x的增大而减小
D.图象的对称轴在y轴的右侧
答案
4.B
解析
【分析】
本题考查二次函数的基础性质，解题时可先根据二次函数解析式确定开口方向、对称轴、最值，再逐一判断每个选项：1.先通过对称轴公式、最值计算方法判断A、D选项；2.代入x=0求与y轴交点判断B选项；3.结合开口方向和对称轴分析增减性判断C选项。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2+4x-3$，其中$a=2＞0$，函数图象开口向上：
1. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×2}=-1$，可知对称轴为直线$x=-1$，位于y轴左侧，故D选项错误；
2. 计算函数最值：将$x=-1$代入解析式，得$y=2×(-1)^2+4×(-1)-3=2-4-3=-5$，即y的最小值为-5，故A选项错误；
3. 求与y轴的交点：令$x=0$，代入得$y=-3$，即图象与y轴的交点坐标为$(0,-3)$，故B选项正确；
4. 分析增减性：函数开口向上，对称轴为$x=-1$，因此当$x＜-1$时，y随x的增大而减小，当$x＞-1$时，y随x的增大而增大。$x＜0$包含$-1＜x＜0$的区间，此区间内y随x的增大而增大，故C选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数的图象性质
2.二次函数的最值
3.二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，覆盖了二次函数的核心基础考点，熟练掌握二次函数对称轴、最值、增减性、与坐标轴交点的计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的基础性质，解题时可先根据二次函数解析式确定开口方向、对称轴、最值，再逐一判断每个选项：1.先通过对称轴公式、最值计算方法判断A、D选项；2.代入x=0求与y轴交点判断B选项；3.结合开口方向和对称轴分析增减性判断C选项。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2+4x-3$，其中$a=2＞0$，函数图象开口向上：
1. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×2}=-1$，可知对称轴为直线$x=-1$，位于y轴左侧，故D选项错误；
2. 计算函数最值：将$x=-1$代入解析式，得$y=2×(-1)^2+4×(-1)-3=2-4-3=-5$，即y的最小值为-5，故A选项错误；
3. 求与y轴的交点：令$x=0$，代入得$y=-3$，即图象与y轴的交点坐标为$(0,-3)$，故B选项正确；
4. 分析增减性：函数开口向上，对称轴为$x=-1$，因此当$x＜-1$时，y随x的增大而减小，当$x＞-1$时，y随x的增大而增大。$x＜0$包含$-1＜x＜0$的区间，此区间内y随x的增大而增大，故C选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数的图象性质
2.二次函数的最值
3.二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，覆盖了二次函数的核心基础考点，熟练掌握二次函数对称轴、最值、增减性、与坐标轴交点的计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5.(威海中考)已知点$(-2,y_1),(3,y_2),(7,y_3)$都在二次函数$y=-(x-2)^2+c$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
C
）A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
答案
5.C
解析
【分析】
要比较三个函数值的大小，首先结合二次函数顶点式的特征，确定抛物线的开口方向和对称轴：该二次函数二次项系数为-1小于0，开口向下，此时抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大。因此我们只需要计算三个点的横坐标到对称轴的距离，再根据距离大小判断y值的大小即可。
【解析】
对于二次函数$y=-(x-2)^2+c$：
1. 确定基本性质：二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$；
2. 计算各点到对称轴的水平距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离：$|-2-2|=4$
点$(3,y_2)$到对称轴的距离：$|3-2|=1$
点$(7,y_3)$到对称轴的距离：$|7-2|=5$
3. 比较y值大小：因为开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越小，函数值越大，距离大小为$1＜4＜5$，因此$y_2＞y_1＞y_3$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数性质的常考题型，解题核心是先通过解析式确定抛物线的开口方向与对称轴，利用“开口向下时，点到对称轴距离越近函数值越大”的规律快速比较大小，无需代入计算即可得出结果，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要比较三个函数值的大小，首先结合二次函数顶点式的特征，确定抛物线的开口方向和对称轴：该二次函数二次项系数为-1小于0，开口向下，此时抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大。因此我们只需要计算三个点的横坐标到对称轴的距离，再根据距离大小判断y值的大小即可。
【解析】
对于二次函数$y=-(x-2)^2+c$：
1. 确定基本性质：二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$；
2. 计算各点到对称轴的水平距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离：$|-2-2|=4$
点$(3,y_2)$到对称轴的距离：$|3-2|=1$
点$(7,y_3)$到对称轴的距离：$|7-2|=5$
3. 比较y值大小：因为开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越小，函数值越大，距离大小为$1＜4＜5$，因此$y_2＞y_1＞y_3$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数性质的常考题型，解题核心是先通过解析式确定抛物线的开口方向与对称轴，利用“开口向下时，点到对称轴距离越近函数值越大”的规律快速比较大小，无需代入计算即可得出结果，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
6.若抛物线$y=(x+m)^2 + m +1$向右平移2个单位长度，所得的抛物线的顶点在第一象限，则$m$的取值范围是（
A.$m＞0$
B.$-1＜m＜2$
C.$m＜-1$
D.$m＞2$
B
）A.$m＞0$
B.$-1＜m＜2$
C.$m＜-1$
D.$m＞2$
答案
6.B
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先根据二次函数顶点式的特征，求出原抛物线的顶点坐标；2. 依据“左加右减”的图象平移规则，计算出向右平移2个单位后新抛物线的顶点坐标；3. 结合第一象限内点的横、纵坐标均大于0的特征，列出关于m的不等式组；4. 解不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
解：对于抛物线的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。
已知原抛物线解析式为$y=(x+m)^2 + m +1$，变形为$y=[x-(-m)]^2 + (m+1)$，因此原抛物线的顶点坐标为$(-m, m+1)$。
将抛物线向右平移2个单位长度，根据平移“左加右减”的规则，顶点的横坐标增加2，纵坐标不变，因此平移后新抛物线的顶点坐标为$(-m + 2, m+1)$，即$(2-m, m+1)$。
因为平移后的顶点在第一象限，第一象限内的点横坐标＞0、纵坐标＞0，因此可列不等式组：
$\begin{cases}2 - m ＞ 0 \\m + 1 ＞ 0\end{cases}$
解不等式①：$2 - m ＞ 0$，移项得$m ＜ 2$；
解不等式②：$m + 1 ＞ 0$，移项得$m ＞ -1$。
综上，$m$的取值范围是$-1 ＜ m ＜ 2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象平移；象限点坐标特征
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题型，解题核心是准确掌握二次函数平移时顶点的变化规律，结合象限内点的坐标特征列不等式求解即可，易错点是容易混淆平移时横坐标的加减规则。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先根据二次函数顶点式的特征，求出原抛物线的顶点坐标；2. 依据“左加右减”的图象平移规则，计算出向右平移2个单位后新抛物线的顶点坐标；3. 结合第一象限内点的横、纵坐标均大于0的特征，列出关于m的不等式组；4. 解不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
解：对于抛物线的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。
已知原抛物线解析式为$y=(x+m)^2 + m +1$，变形为$y=[x-(-m)]^2 + (m+1)$，因此原抛物线的顶点坐标为$(-m, m+1)$。
将抛物线向右平移2个单位长度，根据平移“左加右减”的规则，顶点的横坐标增加2，纵坐标不变，因此平移后新抛物线的顶点坐标为$(-m + 2, m+1)$，即$(2-m, m+1)$。
因为平移后的顶点在第一象限，第一象限内的点横坐标＞0、纵坐标＞0，因此可列不等式组：
$\begin{cases}2 - m ＞ 0 \\m + 1 ＞ 0\end{cases}$
解不等式①：$2 - m ＞ 0$，移项得$m ＜ 2$；
解不等式②：$m + 1 ＞ 0$，移项得$m ＞ -1$。
综上，$m$的取值范围是$-1 ＜ m ＜ 2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数图象平移；象限点坐标特征
【点评】
本题属于二次函数的基础常考题型，解题核心是准确掌握二次函数平移时顶点的变化规律，结合象限内点的坐标特征列不等式求解即可，易错点是容易混淆平移时横坐标的加减规则。
【难度系数】
0.7
7. 二次函数$y=ax^2+bx+1$与一次函数$y=2ax+b$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
A
B
C
D
A
）A
B
C
D
答案
7.A
解析
【分析】
解题可从两个函数的关联特征入手：①首先明确二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，将该x值代入一次函数可发现一次函数恒过二次函数对称轴与x轴的交点，可先排除不符合该特征的选项；②再结合二次函数的开口方向、与y轴交点（由常数项得必过$(0,1)$），以及一次函数的斜率、与y轴截距的符号是否匹配，逐一筛选剩余选项即可得到答案。
【解析】
1. 找两个函数的关联点：
对于二次函数$y=ax^2+bx+1$，其对称轴为直线$\boldsymbol{x=-\frac{b}{2a}}$。
将$x=-\frac{b}{2a}$代入一次函数$y=2ax+b$，得$y=2a·(-\frac{b}{2a})+b=0$，说明一次函数一定经过二次函数对称轴与x轴的交点。
观察选项：B、C中一次函数与二次函数对称轴的交点不在x轴上，直接排除B、C。
2. 筛选剩余选项A、D：
二次函数$y=ax^2+bx+1$的常数项为1，因此其图象与y轴的交点为$(0,1)$：
D选项中二次函数与y轴交点纵坐标小于1，不符合特征，排除D；
验证A选项：二次函数开口向上，得$a＞0$；对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$得$b＜0$；对应的一次函数$y=2ax+b$斜率$2a＞0$（图象上升），与y轴截距$b＜0$（交点在y轴负半轴），完全符合特征。
综上选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 一次函数图象性质
3. 函数图象综合判断
【点评】
本题是二次函数与一次函数图象的综合判断题，解题的核心是找到两类函数图象的关联特征，结合图象的开口方向、截距、对称轴等性质逐一排除错误选项，能有效考查对函数图象性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题可从两个函数的关联特征入手：①首先明确二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，将该x值代入一次函数可发现一次函数恒过二次函数对称轴与x轴的交点，可先排除不符合该特征的选项；②再结合二次函数的开口方向、与y轴交点（由常数项得必过$(0,1)$），以及一次函数的斜率、与y轴截距的符号是否匹配，逐一筛选剩余选项即可得到答案。
【解析】
1. 找两个函数的关联点：
对于二次函数$y=ax^2+bx+1$，其对称轴为直线$\boldsymbol{x=-\frac{b}{2a}}$。
将$x=-\frac{b}{2a}$代入一次函数$y=2ax+b$，得$y=2a·(-\frac{b}{2a})+b=0$，说明一次函数一定经过二次函数对称轴与x轴的交点。
观察选项：B、C中一次函数与二次函数对称轴的交点不在x轴上，直接排除B、C。
2. 筛选剩余选项A、D：
二次函数$y=ax^2+bx+1$的常数项为1，因此其图象与y轴的交点为$(0,1)$：
D选项中二次函数与y轴交点纵坐标小于1，不符合特征，排除D；
验证A选项：二次函数开口向上，得$a＞0$；对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$得$b＜0$；对应的一次函数$y=2ax+b$斜率$2a＞0$（图象上升），与y轴截距$b＜0$（交点在y轴负半轴），完全符合特征。
综上选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 一次函数图象性质
3. 函数图象综合判断
【点评】
本题是二次函数与一次函数图象的综合判断题，解题的核心是找到两类函数图象的关联特征，结合图象的开口方向、截距、对称轴等性质逐一排除错误选项，能有效考查对函数图象性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
8.(益阳中考)已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值：
由此判断，表中a=
由此判断，表中a=
6
。答案
8.6
解析
【分析】
首先观察表格中y值相等的两组对应值：x=0时y=3，x=2时y=3，根据二次函数的性质，纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，可先求出二次函数的对称轴；再找到x=-1关于对称轴的对称点，两个对称点的y值相等，即可求出a的值。也可以通过设二次函数一般式，代入已知点求出解析式，再代入x=-1计算a的值，利用对称性解题更简便。
【解析】
方法一：利用二次函数的对称性求解
由表格数据可知，当x=0和x=2时，y的值均为3，因此这两个点关于二次函数的对称轴对称，
可得对称轴为直线：$x=\frac{0+2}{2}=1$。
点$x=-1$到对称轴$x=1$的距离为$1-(-1)=2$，点$x=3$到对称轴$x=1$的距离为$3-1=2$，
因此$x=-1$和$x=3$关于对称轴对称，二者对应的y值相等，
已知x=3时y=6，因此$a=6$。
方法二：求二次函数解析式求解
设二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将$(0,3)$、$(1,2)$、$(2,3)$代入解析式得：
$\begin{cases}c=3 \\ a+b+c=2 \\ 4a+2b+c=3\end{cases}$
将$c=3$代入后两个方程，得$\begin{cases}a+b=-1 \\ 2a+b=0\end{cases}$，
解得$a=1$，$b=-2$，因此二次函数解析式为$y=x^2-2x+3$，
当x=-1时，$a=(-1)^2-2×(-1)+3=1+2+3=6$。
【答案】
6
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数解析式的确定
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，既可以通过求解析式计算未知量，也可以利用二次函数的对称性快速求解，后者解题效率更高，需熟练掌握二次函数对称点的特征：纵坐标相同的两点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值。
【难度系数】
0.7
首先观察表格中y值相等的两组对应值：x=0时y=3，x=2时y=3，根据二次函数的性质，纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，可先求出二次函数的对称轴；再找到x=-1关于对称轴的对称点，两个对称点的y值相等，即可求出a的值。也可以通过设二次函数一般式，代入已知点求出解析式，再代入x=-1计算a的值，利用对称性解题更简便。
【解析】
方法一：利用二次函数的对称性求解
由表格数据可知，当x=0和x=2时，y的值均为3，因此这两个点关于二次函数的对称轴对称，
可得对称轴为直线：$x=\frac{0+2}{2}=1$。
点$x=-1$到对称轴$x=1$的距离为$1-(-1)=2$，点$x=3$到对称轴$x=1$的距离为$3-1=2$，
因此$x=-1$和$x=3$关于对称轴对称，二者对应的y值相等，
已知x=3时y=6，因此$a=6$。
方法二：求二次函数解析式求解
设二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
将$(0,3)$、$(1,2)$、$(2,3)$代入解析式得：
$\begin{cases}c=3 \\ a+b+c=2 \\ 4a+2b+c=3\end{cases}$
将$c=3$代入后两个方程，得$\begin{cases}a+b=-1 \\ 2a+b=0\end{cases}$，
解得$a=1$，$b=-2$，因此二次函数解析式为$y=x^2-2x+3$，
当x=-1时，$a=(-1)^2-2×(-1)+3=1+2+3=6$。
【答案】
6
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数解析式的确定
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，既可以通过求解析式计算未知量，也可以利用二次函数的对称性快速求解，后者解题效率更高，需熟练掌握二次函数对称点的特征：纵坐标相同的两点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值。
【难度系数】
0.7
9.已知二次函数$y=ax^2 -2x +c$的图象如图所示，则点$P(a,c)$在第
二
象限。答案
9.二
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据二次函数图象的开口方向判断系数a的符号，再根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，最后结合平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，即可确定点P所在的象限。
【解析】
1. 判断a的符号：
∵ 二次函数$y=ax^2 -2x +c$的图象开口向下，
∴ 二次项系数$a＜0$。
2. 判断c的符号：
当$x=0$时，代入函数解析式得$y=c$，即抛物线与y轴的交点坐标为$(0,c)$，
由图可知抛物线与y轴交于正半轴，
∴ $c＞0$。
3. 判断点P所在象限：
点$P(a,c)$的横坐标为负、纵坐标为正，符合第二象限内点的坐标特征，因此点P在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
二次函数图象与系数关系；象限坐标特征
【点评】
本题属于二次函数图象性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握二次函数开口方向、与坐标轴交点位置和对应系数符号的关系，是需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据二次函数图象的开口方向判断系数a的符号，再根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，最后结合平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征，即可确定点P所在的象限。
【解析】
1. 判断a的符号：
∵ 二次函数$y=ax^2 -2x +c$的图象开口向下，
∴ 二次项系数$a＜0$。
2. 判断c的符号：
当$x=0$时，代入函数解析式得$y=c$，即抛物线与y轴的交点坐标为$(0,c)$，
由图可知抛物线与y轴交于正半轴，
∴ $c＞0$。
3. 判断点P所在象限：
点$P(a,c)$的横坐标为负、纵坐标为正，符合第二象限内点的坐标特征，因此点P在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
二次函数图象与系数关系；象限坐标特征
【点评】
本题属于二次函数图象性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握二次函数开口方向、与坐标轴交点位置和对应系数符号的关系，是需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
10.(盐城中考)已知二次函数$y=x^2 -2x -3$，当自变量$x$满足$0≤ x≤4$时，$y$的取值范围是
$-4≤y≤5$
。答案
10.$-4≤y≤5$
解析
【分析】
要求二次函数在$0≤x≤4$范围内的$y$的取值范围，首先需要明确二次函数的开口方向、对称轴位置，因为二次函数的最值不一定在区间端点处取得，开口向上时顶点处取得最小值，再比较区间两个端点对应的函数值得到最大值，最终确定取值范围。具体步骤为：①先将二次函数解析式配方为顶点式，得到对称轴和顶点坐标；②判断对称轴是否在给定区间内，确定最小值；③计算区间两个端点的函数值，比较得到最大值；④结合最小、最大值写出$y$的取值范围。
【解析】
先将二次函数解析式配方为顶点式：
$y=x^2-2x-3=(x^2-2x+1)-1-3=(x-1)^2-4$
由此可知，该二次函数的二次项系数$a=1＞0$，所以抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。
因为对称轴$x=1$在$0≤x≤4$的区间内，所以当$x=1$时，$y$取得最小值，最小值为$-4$。
接下来计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=0^2-2×0-3=-3$；
当$x=4$时，$y=4^2-2×4-3=16-8-3=5$。
比较两个端点的函数值，$5＞-3$，所以当$x=4$时，$y$取得最大值，最大值为$5$。
因此，当$0≤x≤4$时，$y$的取值范围是$-4≤y≤5$。
【答案】
$-4≤y≤5$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的区间最值
【点评】
本题是二次函数取值范围的常规考查题，解题的核心是先明确二次函数的开口方向和对称轴，结合给定区间判断最值的位置，切忌直接代入区间端点计算最值，避免忽略顶点处的最值导致结果错误。
【难度系数】
0.7
要求二次函数在$0≤x≤4$范围内的$y$的取值范围，首先需要明确二次函数的开口方向、对称轴位置，因为二次函数的最值不一定在区间端点处取得，开口向上时顶点处取得最小值，再比较区间两个端点对应的函数值得到最大值，最终确定取值范围。具体步骤为：①先将二次函数解析式配方为顶点式，得到对称轴和顶点坐标；②判断对称轴是否在给定区间内，确定最小值；③计算区间两个端点的函数值，比较得到最大值；④结合最小、最大值写出$y$的取值范围。
【解析】
先将二次函数解析式配方为顶点式：
$y=x^2-2x-3=(x^2-2x+1)-1-3=(x-1)^2-4$
由此可知，该二次函数的二次项系数$a=1＞0$，所以抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。
因为对称轴$x=1$在$0≤x≤4$的区间内，所以当$x=1$时，$y$取得最小值，最小值为$-4$。
接下来计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=0^2-2×0-3=-3$；
当$x=4$时，$y=4^2-2×4-3=16-8-3=5$。
比较两个端点的函数值，$5＞-3$，所以当$x=4$时，$y$取得最大值，最大值为$5$。
因此，当$0≤x≤4$时，$y$的取值范围是$-4≤y≤5$。
【答案】
$-4≤y≤5$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的区间最值
【点评】
本题是二次函数取值范围的常规考查题，解题的核心是先明确二次函数的开口方向和对称轴，结合给定区间判断最值的位置，切忌直接代入区间端点计算最值，避免忽略顶点处的最值导致结果错误。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ y_1 = -x^2 + bx + c $ 经过平移后得到抛物线 $ y_2 $，则抛物线 $ y_2 $ 的解析式为 ______。
答案
11.$y_2=-x^2-2x+2$
解析
【分析】
解决本题首先要明确抛物线平移的性质：平移不改变抛物线的开口方向和大小，即二次项系数a不变。接下来从图象中读取抛物线$y_2$的顶点坐标，代入二次函数的顶点式，最后整理为一般式即可得到$y_2$的解析式。
【解析】
∵ 抛物线平移时二次项系数不变，已知$y_1=-x^2+bx+c$，
∴ 抛物线$y_2$的二次项系数为-1。
由图象可知，$y_2$的顶点坐标为$(-1, 3)$，
设$y_2$的解析式为顶点式：$y=a(x-h)^2+k$（其中$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），
将$a=-1$，$h=-1$，$k=3$代入得：
$\begin{aligned}y_2 &= -(x+1)^2 + 3 \\&= -(x^2+2x+1)+3 \\&= -x^2-2x-1+3 \\&= -x^2-2x+2\end{aligned}$
【答案】
$y_2=-x^2-2x+2$
【知识点】
二次函数平移规律，二次函数顶点式，二次函数图象性质
【点评】
本题侧重考查对二次函数性质的理解和图象信息提取能力，抓住平移后二次项系数不变、从图中准确获取顶点坐标是解题的核心，属于二次函数部分的基础常规题。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确抛物线平移的性质：平移不改变抛物线的开口方向和大小，即二次项系数a不变。接下来从图象中读取抛物线$y_2$的顶点坐标，代入二次函数的顶点式，最后整理为一般式即可得到$y_2$的解析式。
【解析】
∵ 抛物线平移时二次项系数不变，已知$y_1=-x^2+bx+c$，
∴ 抛物线$y_2$的二次项系数为-1。
由图象可知，$y_2$的顶点坐标为$(-1, 3)$，
设$y_2$的解析式为顶点式：$y=a(x-h)^2+k$（其中$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），
将$a=-1$，$h=-1$，$k=3$代入得：
$\begin{aligned}y_2 &= -(x+1)^2 + 3 \\&= -(x^2+2x+1)+3 \\&= -x^2-2x-1+3 \\&= -x^2-2x+2\end{aligned}$
【答案】
$y_2=-x^2-2x+2$
【知识点】
二次函数平移规律，二次函数顶点式，二次函数图象性质
【点评】
本题侧重考查对二次函数性质的理解和图象信息提取能力，抓住平移后二次项系数不变、从图中准确获取顶点坐标是解题的核心，属于二次函数部分的基础常规题。
【难度系数】
0.7
12.对于二次函数$y=mx^2 -2x +1$，当$x＜\frac{1}{3}$时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是
$0＜m≤3$
。答案
12.$0＜m≤3$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要结合二次函数的增减性规律分析：首先题目明确是二次函数，因此二次项系数$m≠0$；二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，若要满足$x＜\frac{1}{3}$时$y$随$x$增大而减小，首先需确定开口方向必须向上（若开口向下，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，不符合要求），即$m＞0$；再求出函数对称轴，根据“$x＜\frac{1}{3}$时$y$递减”说明该区间需在对称轴左侧（含对称轴），据此列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
∵ 函数$y=mx^2 -2x +1$是二次函数，
∴ $m≠ 0$。
二次函数的增减性由开口方向和对称轴决定：
① 若$m＜0$，函数开口向下，此时在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，无法满足“$x＜\frac{1}{3}$时$y$随$x$增大而减小”，故舍去；
② 若$m＞0$，函数开口向上，此时在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，符合要求。
二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=m$，$b=-2$，得对称轴为：
$x=\frac{2}{2m}=\frac{1}{m}$
∵ 当$x＜\frac{1}{3}$时$y$随$x$增大而减小，
∴ $\frac{1}{3}$需在对称轴左侧或与对称轴重合，即$\frac{1}{3}≤ \frac{1}{m}$。
∵ $m＞0$，不等式两边同时乘$m$不等号方向不变，解得$m≤ 3$。
结合$m＞0$，最终得$m$的取值范围是$0＜m≤ 3$。
【答案】
$0＜m≤3$
【知识点】
二次函数的图象与性质，解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用，解题关键是结合开口方向和对称轴判断函数增减区间的范围，容易出错的点是忽略开口方向的判断或者对称轴与区间的位置关系判断错误。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要结合二次函数的增减性规律分析：首先题目明确是二次函数，因此二次项系数$m≠0$；二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，若要满足$x＜\frac{1}{3}$时$y$随$x$增大而减小，首先需确定开口方向必须向上（若开口向下，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，不符合要求），即$m＞0$；再求出函数对称轴，根据“$x＜\frac{1}{3}$时$y$递减”说明该区间需在对称轴左侧（含对称轴），据此列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
∵ 函数$y=mx^2 -2x +1$是二次函数，
∴ $m≠ 0$。
二次函数的增减性由开口方向和对称轴决定：
① 若$m＜0$，函数开口向下，此时在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，无法满足“$x＜\frac{1}{3}$时$y$随$x$增大而减小”，故舍去；
② 若$m＞0$，函数开口向上，此时在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，符合要求。
二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=m$，$b=-2$，得对称轴为：
$x=\frac{2}{2m}=\frac{1}{m}$
∵ 当$x＜\frac{1}{3}$时$y$随$x$增大而减小，
∴ $\frac{1}{3}$需在对称轴左侧或与对称轴重合，即$\frac{1}{3}≤ \frac{1}{m}$。
∵ $m＞0$，不等式两边同时乘$m$不等号方向不变，解得$m≤ 3$。
结合$m＞0$，最终得$m$的取值范围是$0＜m≤ 3$。
【答案】
$0＜m≤3$
【知识点】
二次函数的图象与性质，解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用，解题关键是结合开口方向和对称轴判断函数增减区间的范围，容易出错的点是忽略开口方向的判断或者对称轴与区间的位置关系判断错误。
【难度系数】
0.6
13. 如图，抛物线 $y_1=a(x+2)^2+m$ 过原点，与抛物线 $y_2=\frac{1}{2}(x-3)^2+n$ 交于点 $A(1,3)$，过点 $A$ 作 $x$ 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 $B,C$.下列结论:①两条抛物线的对称轴之间的距离为 $5$;②当 $x=0$ 时,$y_2=5$;③当 $x＞3$ 时,$y_1 - y_2＞0$;④$y$ 轴是线段 $BC$ 的中垂线.以上正确的结论是________(填写正确结论的序号).
答案
13.①③④
解析
【分析】
解题时先利用已知点坐标求出两条抛物线的解析式，再结合二次函数的性质逐个验证四个结论：首先根据$y_1$过原点和点A求出$y_1$的参数，确定$y_1$的解析式和对称轴；再根据$y_2$过点A求出$y_2$的参数，确定$y_2$的解析式和对称轴；最后依次对4个结论计算、推导，判断正误。
【解析】
1. 求解两条抛物线的解析式：
（1）抛物线$y_1=a(x+2)^2+m$过原点$(0,0)$和$A(1,3)$，代入得方程组：
$\begin{cases}0=a(0+2)^2+m\\3=a(1+2)^2+m\end{cases}$，即$\begin{cases}4a+m=0\\9a+m=3\end{cases}$
两式相减得$5a=3$，解得$a=\frac{3}{5}$，代入$4a+m=0$得$m=-\frac{12}{5}$，因此$y_1=\frac{3}{5}(x+2)^2-\frac{12}{5}$，对称轴为直线$x=-2$。
（2）抛物线$y_2=\frac{1}{2}(x-3)^2+n$过$A(1,3)$，代入得：
$3=\frac{1}{2}(1-3)^2+n$，解得$n=1$，因此$y_2=\frac{1}{2}(x-3)^2+1$，对称轴为直线$x=3$。
2. 逐个判断结论：
① 两条对称轴的距离为$3-(-2)=5$，故①正确；
② 当$x=0$时，$y_2=\frac{1}{2}(0-3)^2+1=\frac{11}{2}=5.5≠5$，故②错误；
③ 整理$y_1-y_2$得：$y_1-y_2=\frac{1}{10}x^2+\frac{27}{5}x-\frac{11}{2}$，该函数开口向上，对称轴为$x=-27$，当$x＞-27$时函数随$x$增大而增大；$x=3$时$y_1-y_2=11.6＞0$，因此$x＞3$时$y_1-y_2＞0$，故③正确；
④ 直线BC的解析式为$y=3$，根据二次函数对称性：$y_1$上A点横坐标为1，到对称轴$x=-2$的距离为3，故B点坐标为$(-5,3)$；$y_2$上A点横坐标为1，到对称轴$x=3$的距离为2，故C点坐标为$(5,3)$。BC中点为$(0,3)$，且BC平行于x轴，y轴垂直于BC，因此y轴是线段BC的中垂线，故④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，中垂线的判定
【点评】
本题是二次函数的综合基础题，考查了二次函数的对称轴、增减性、对称性等核心性质，解题的关键是先准确求出两个抛物线的解析式，再结合性质逐一验证结论，是二次函数章节的典型考法。
【难度系数】
0.6
解题时先利用已知点坐标求出两条抛物线的解析式，再结合二次函数的性质逐个验证四个结论：首先根据$y_1$过原点和点A求出$y_1$的参数，确定$y_1$的解析式和对称轴；再根据$y_2$过点A求出$y_2$的参数，确定$y_2$的解析式和对称轴；最后依次对4个结论计算、推导，判断正误。
【解析】
1. 求解两条抛物线的解析式：
（1）抛物线$y_1=a(x+2)^2+m$过原点$(0,0)$和$A(1,3)$，代入得方程组：
$\begin{cases}0=a(0+2)^2+m\\3=a(1+2)^2+m\end{cases}$，即$\begin{cases}4a+m=0\\9a+m=3\end{cases}$
两式相减得$5a=3$，解得$a=\frac{3}{5}$，代入$4a+m=0$得$m=-\frac{12}{5}$，因此$y_1=\frac{3}{5}(x+2)^2-\frac{12}{5}$，对称轴为直线$x=-2$。
（2）抛物线$y_2=\frac{1}{2}(x-3)^2+n$过$A(1,3)$，代入得：
$3=\frac{1}{2}(1-3)^2+n$，解得$n=1$，因此$y_2=\frac{1}{2}(x-3)^2+1$，对称轴为直线$x=3$。
2. 逐个判断结论：
① 两条对称轴的距离为$3-(-2)=5$，故①正确；
② 当$x=0$时，$y_2=\frac{1}{2}(0-3)^2+1=\frac{11}{2}=5.5≠5$，故②错误；
③ 整理$y_1-y_2$得：$y_1-y_2=\frac{1}{10}x^2+\frac{27}{5}x-\frac{11}{2}$，该函数开口向上，对称轴为$x=-27$，当$x＞-27$时函数随$x$增大而增大；$x=3$时$y_1-y_2=11.6＞0$，因此$x＞3$时$y_1-y_2＞0$，故③正确；
④ 直线BC的解析式为$y=3$，根据二次函数对称性：$y_1$上A点横坐标为1，到对称轴$x=-2$的距离为3，故B点坐标为$(-5,3)$；$y_2$上A点横坐标为1，到对称轴$x=3$的距离为2，故C点坐标为$(5,3)$。BC中点为$(0,3)$，且BC平行于x轴，y轴垂直于BC，因此y轴是线段BC的中垂线，故④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，中垂线的判定
【点评】
本题是二次函数的综合基础题，考查了二次函数的对称轴、增减性、对称性等核心性质，解题的关键是先准确求出两个抛物线的解析式，再结合性质逐一验证结论，是二次函数章节的典型考法。
【难度系数】
0.6
