1.已知二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过点$A(1,3)$,$B(-1,1)$,那么这个二次函数的解析式为.

$y=x^2+x+1$

【分析】
本题要求二次函数的解析式，已知函数的一般形式和图象经过的两个点，可采用待定系数法求解：首先明确函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将两个点的坐标分别代入一般式，就能得到关于未知系数b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，再代回原一般式即可得到所求解析式。
【解析】
∵ 二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过点$A(1,3)$和$B(-1,1)$
∴ 将两点坐标分别代入解析式，可得：
$\begin{cases}1^2 + b×1 + c = 3 \\(-1)^2 + b×(-1) + c = 1\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}b + c = 2 \quad \mathrm{①} \\-b + c = 0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用①+②消去b，得：$2c=2$，解得$c=1$
将$c=1$代入②，得：$-b + 1 = 0$，解得$b=1$
把$b=1$，$c=1$代入$y=x^2+bx+c$，得二次函数解析式为$y=x^2+x+1$
【答案】
$y=x^2+x+1$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题的关键是理解函数图象上的点的坐标满足对应的函数关系式，熟练解二元一次方程组即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9

2. (周口郸城县期末)已知抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$A(-1,0),B(3,0),C(0,3)$。
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的对称轴及顶点坐标。

解:(1)由题意,得$\begin{cases} a-b+c=0,\\ 9a+3b+c=0,\\ c=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-1,\\ b=2,\\ c=3. \end{cases}$ $\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$. (2)对称轴为$x=-\dfrac{2}{2×(-1)}=1$,当$x=1$时,$y=-1+2+3=4$.故顶点为$(1,4)$.

【分析】
(1) 求抛物线解析式时，已知抛物线经过3个确定的点，可将三个点的坐标分别代入二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，得到含有$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组求出三个参数的值，即可确定抛物线解析式。
(2) 得到一般式后，可直接用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算对称轴；再将对称轴对应的$x$值代入解析式，求出对应的$y$值，即可得到顶点坐标。
【解析】
(1) 将点$A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)$分别代入$y=ax^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases} a-b+c=0\\ 9a+3b+c=0\\ c=3 \end{cases}$
将$c=3$代入前两个方程，化简求解得：$\begin{cases} a=-1\\ b=2\\ c=3 \end{cases}$
因此抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1、b=2$得：
$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，即对称轴为直线$x=1$。
将$x=1$代入解析式得：$y=-1^2+2×1+3=4$，因此顶点坐标为$(1,4)$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$；
(2) 对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,4)$。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数对称轴计算
3. 二次函数顶点坐标求解
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，核心考察待定系数法求解析式以及二次函数基本性质的应用，只要准确代入点坐标、正确解方程组、熟记相关公式即可得分，是二次函数章节必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8

3.若抛物线的顶点坐标是$(-2,1)$且经过点$(1,-8)$，则该抛物线的解析式是
.

$y=-(x+2)^2+1$

【分析】
已知抛物线的顶点坐标，求解析式时优先选用二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中$(h,k)$是顶点坐标，这样仅需要求解1个未知参数$a$即可。首先将顶点坐标代入顶点式确定$h$、$k$的值，再把抛物线经过的已知点代入含有参数$a$的解析式，解出$a$的值，最后回代即可得到抛物线的解析式。
【解析】
因为抛物线的顶点坐标为$(-2,1)$，所以设抛物线的顶点式为：
$y=a(x+2)^2+1(a≠0)$
将点$(1,-8)$代入上式，把$x=1$，$y=-8$代入得：
$-8=a×(1+2)^2+1$
计算得：$-8=9a+1$
移项求解$a$：$9a=-8-1=-9$，解得$a=-1$
将$a=-1$代入所设的顶点式，得抛物线解析式为：
$y=-(x+2)^2+1$
【答案】
$y=-(x+2)^2+1$
【知识点】
二次函数顶点式、待定系数法求解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的典型基础题，当已知顶点坐标时选用顶点式可大幅简化计算，核心是掌握待定系数法在函数解析式求解中的应用。
【难度系数】
0.8

4. 已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为.

$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+3$

【分析】
首先观察二次函数图象，可直接得到顶点坐标为$(2,3)$，因此优先选择顶点式设函数解析式，比用一般式计算更简便；设出顶点式后，选取图象上除顶点外的一个已知点（如图象与y轴的交点$(0,1)$），将点的坐标代入所设解析式，求解出未知系数$a$，最后将$a$回代到顶点式中，即可得到二次函数的解析式。
【解析】
由图象可知，二次函数的顶点坐标为$(2,3)$，因此设二次函数的解析式为顶点式：
$y=a(x-2)^2+3\ (a≠0)$
观察图象可得，函数图象经过点$(0,1)$，将$x=0$，$y=1$代入上式：
$1=a×(0-2)^2+3$
整理得：$1=4a+3$
解得：$a=-\dfrac{1}{2}$
将$a=-\dfrac{1}{2}$代入顶点式，得二次函数解析式为：
$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+3$
【答案】
$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+3$
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题核心是结合图象给出的条件选择合适的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可简化计算，需熟练掌握不同解析式形式的适用场景。
【难度系数】
0.8

5.已知一个二次函数的图象经过点(-4,-3)，且当x=3时，函数的最大值为4，则这个二次函数的解析式为.

$y=-\dfrac{1}{7}(x-3)^2+4$

【分析】
首先提取题目已知条件：①二次函数当x=3时取得最大值4，说明该函数的顶点坐标为(3,4)，且抛物线开口向下；②函数图像经过点(-4,-3)。求二次函数解析式时，若已知顶点坐标，优先选择顶点式$ y=a(x-h)^2+k $（$ a≠0 $，$(h,k)$为顶点坐标）设解析式，再将已知点代入求出未知系数$ a $，即可得到最终解析式。
【解析】
解：
∵二次函数当x=3时，函数的最大值为4
∴该二次函数的顶点坐标为(3,4)
设二次函数的解析式为$ y=a(x-3)^2+4 $（$ a≠0 $）
∵函数图像经过点$(-4,-3)$
将$ x=-4 $，$ y=-3 $代入解析式得：
$ -3 = a(-4-3)^2 + 4 $
整理得：$ 49a +4 = -3 $
解得：$ a=-\dfrac{1}{7} $
将$ a=-\dfrac{1}{7} $代入所设解析式，即可得到二次函数解析式。
【答案】
$ y=-\dfrac{1}{7}(x-3)^2+4 $
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法；二次函数最值性质
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题的关键是根据函数的最值条件确定顶点坐标，选择顶点式简化计算，掌握待定系数法的应用步骤是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.75

6.某二次函数图象的顶点坐标为$(4,-3)$，且它与$x$轴的一个交点的横坐标为$3$，求该二次函数的解析式.

解:设该二次函数的解析式为$y=a(x-4)^2-3(a≠0)$,把$(3,0)$代入,得$0=a(3-4)^2-3$,解得$a=3$.故该二次函数的解析式为$y=3(x-4)^2-3$.

【分析】
已知二次函数的顶点坐标，求解解析式时优先选用顶点式可简化计算。首先回忆二次函数顶点式的形式：$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$为顶点坐标，因此可直接代入顶点坐标$(4,-3)$写出仅含参数$a$的解析式；再根据“与x轴交点的横坐标为3”可知该点坐标为$(3,0)$，该点在函数图象上，将其代入所设解析式即可求出$a$的值，进而得到完整的二次函数解析式。
【解析】
解：设该二次函数的解析式为$y=a(x-4)^2-3(a≠0)$，
∵二次函数图象与$x$轴的一个交点横坐标为3，即点$(3,0)$在函数图象上，
将$(3,0)$代入解析式，得$0=a(3-4)^2-3$，
解得$a=3$。
故该二次函数的解析式为$y=3(x-4)^2-3$。
【答案】
$y=3(x-4)^2-3$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式；二次函数图象与坐标轴交点
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题关键是根据已知条件合理选择解析式的形式，已知顶点坐标时选用顶点式可有效简化计算过程，需熟练掌握不同形式二次函数解析式的适用场景。
【难度系数】
0.8

7.经过(1,0),(-3,0),(0,-3)三点的抛物线的解析式是.

$y=x^2+2x-3$

【分析】
已知抛物线与x轴的两个交点坐标和与y轴的交点坐标，可用待定系数法求解。优先选择交点式设解析式能减少计算量：先根据x轴的两个交点设出仅含未知参数a的交点式，再将y轴交点代入求出a，最后整理为一般式即可；也可设一般式，代入三个点坐标解三元一次方程组得到各项系数。
【解析】
方法一（交点式法）：
∵ 抛物线经过x轴上的点$(1,0)$和$(-3,0)$
∴ 设抛物线的解析式为$y=a(x-1)(x+3)$（$a≠0$）
将点$(0,-3)$代入解析式，得：
$-3=a(0-1)(0+3)$
即$-3=-3a$，解得$a=1$
将$a=1$代入所设解析式并展开：
$y=(x-1)(x+3)=x^2+3x - x - 3=x^2+2x-3$
方法二（一般式法）：
设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）
将三点$(1,0)$、$(-3,0)$、$(0,-3)$分别代入，得方程组：
$\begin{cases}a + b + c = 0 \\9a - 3b + c = 0 \\c = -3\end{cases}$
把$c=-3$代入前两个方程，得：
$\begin{cases}a + b = 3 \\3a - b = 1\end{cases}$
两式相加得$4a=4$，解得$a=1$，代入$a+b=3$得$b=2$
∴ 抛物线解析式为$y=x^2+2x-3$
【答案】
$y=x^2+2x-3$
【知识点】
待定系数法；二次函数交点式；二次函数解析式求解
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，根据已知点的特征选择合适的解析式形式可简化运算，熟练掌握待定系数法的应用步骤是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.8

8.如图,已知抛物线$y=ax^2+bx+c$过点$A(-1,0)$,且经过直线$y=x-3$与坐标轴的两个交点B,C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求抛物线的顶点M的坐标.

解:(1)易知直线$y=x-3$与坐标轴的两个交点坐标为$B(3,0),C(0,-3)$,设抛物线的解析式为$y=a(x+1)(x-3)$,将$C(0,-3)$代入,得$a(0+1)(0-3)=-3$,解得$a=1$. $\therefore y=x^2-2x-3$. (2)由(1)知:$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$,因此抛物线的顶点$M$的坐标为$(1,-4)$.

【分析】
(1)要确定抛物线的解析式，首先需获取抛物线上的已知点坐标：先求直线$y=x-3$与坐标轴的交点，令$y=0$可得x轴交点B的坐标，令$x=0$可得y轴交点C的坐标，再结合已知点$A(-1,0)$，由于抛物线与x轴交于A、B两点，设交点式$y=a(x+1)(x-3)$求解更简便，代入C点坐标求出$a$的值，即可得到抛物线解析式。
(2)求抛物线顶点坐标，可将第一问得到的一般式通过配方转化为顶点式，直接读出顶点坐标，也可使用顶点坐标公式计算。
【解析】
(1)先求直线$y=x-3$与坐标轴的交点：
当$y=0$时，$x-3=0$，解得$x=3$，即$B(3,0)$；
当$x=0$时，$y=0-3=-3$，即$C(0,-3)$。
已知抛物线过$A(-1,0)$、$B(3,0)$，设抛物线解析式为$y=a(x+1)(x-3)$，将$C(0,-3)$代入得：
$a×(0+1)×(0-3)=-3$，
解得$a=1$，
展开得$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$。
(2)将$y=x^2-2x-3$配方：
$y=x^2-2x-3=(x^2-2x+1)-1-3=(x-1)^2-4$，
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，可得顶点M的坐标为$(1,-4)$。
【答案】
(1)$y=x^2-2x-3$
(2)$(1,-4)$
【知识点】
一次函数交点求法、二次函数解析式求解、二次函数顶点坐标求法
【点评】
本题是二次函数基础应用题，利用抛物线与x轴的交点设交点式求解解析式，比设一般式计算更简便，解题需熟练掌握配方法求二次函数顶点坐标的方法。
【难度系数】
0.7