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1.已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=-2,x_2=3$,则抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴的交点坐标为
(-2,0),(3,0)
.答案
1. (-2,0),(3,0)
解析
【分析】
解题时首先要明确抛物线与x轴交点的特征：x轴上的点纵坐标为0，因此求抛物线与x轴的交点横坐标，等价于求当y=0时对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根。题目已经直接给出了方程的两个根，我们只需要将根作为交点的横坐标，纵坐标取0即可得到交点坐标。
【解析】
解：
∵抛物线与x轴交点的纵坐标为0
∴抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根
已知方程的两个根为$x_1=-2$，$x_2=3$
∴抛物线与x轴的交点坐标为$(-2, 0)$，$(3, 0)$
【答案】
$(-2,0),(3,0)$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. x轴上点的坐标特征
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是理解一元二次方程的根与对应抛物线和x轴交点横坐标的对应关系，牢记相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确抛物线与x轴交点的特征：x轴上的点纵坐标为0，因此求抛物线与x轴的交点横坐标，等价于求当y=0时对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根。题目已经直接给出了方程的两个根，我们只需要将根作为交点的横坐标，纵坐标取0即可得到交点坐标。
【解析】
解：
∵抛物线与x轴交点的纵坐标为0
∴抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根
已知方程的两个根为$x_1=-2$，$x_2=3$
∴抛物线与x轴的交点坐标为$(-2, 0)$，$(3, 0)$
【答案】
$(-2,0),(3,0)$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. x轴上点的坐标特征
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是理解一元二次方程的根与对应抛物线和x轴交点横坐标的对应关系，牢记相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 二次函数$y=x^2 -4x +2$的图象与x轴的公共点有
2
个.答案
2. 2
解析
【分析】要判断二次函数图象与x轴的公共点个数，可转化为判断该二次函数对应的一元二次方程的实数根个数，而一元二次方程根的个数可通过判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号判断：$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根，对应函数与x轴有2个公共点；$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根，对应函数与x轴有1个公共点；$\Delta＜0$时，方程无实数根，对应函数与x轴没有公共点。本题只需先确定二次函数各项系数，计算判别式的符号即可得出结论。
【解析】二次函数$y=x^2 -4x +2$对应的一元二次方程为$x^2 -4x +2=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=2$。
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×2 = 16 - 8 = 8 ＞ 0$
因此该一元二次方程有两个不相等的实数根，即二次函数$y=x^2 -4x +2$的图象与x轴的公共点有2个。
【答案】2
【知识点】二次函数与一元二次方程的联系；根的判别式的应用
【点评】本题属于基础题型，核心是掌握二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的个数的对应关系，熟练计算根的判别式即可快速求解。
【难度系数】0.8
【解析】二次函数$y=x^2 -4x +2$对应的一元二次方程为$x^2 -4x +2=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=2$。
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×2 = 16 - 8 = 8 ＞ 0$
因此该一元二次方程有两个不相等的实数根，即二次函数$y=x^2 -4x +2$的图象与x轴的公共点有2个。
【答案】2
【知识点】二次函数与一元二次方程的联系；根的判别式的应用
【点评】本题属于基础题型，核心是掌握二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的个数的对应关系，熟练计算根的判别式即可快速求解。
【难度系数】0.8
3.(长春中考)若抛物线$y=x^2 -x +c$（c是常数）与x轴没有公共点，则c的取值范围是
$c＞\frac{1}{4}$
。答案
3. $c＞\frac{1}{4}$
解析
【分析】
要确定抛物线与x轴无公共点时c的取值范围，首先明确二次函数与x轴的交点个数和对应一元二次方程的实数根个数是一一对应的：抛物线与x轴无公共点，等价于令y=0得到的一元二次方程没有实数根，此时方程的根的判别式Δ＜0，代入对应系数列出关于c的不等式，解不等式即可得到结果。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2 -x +c$与x轴没有公共点，
∴令$y=0$时，一元二次方程$x^2 -x +c=0$无实数根。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，
在方程$x^2 -x +c=0$中，$a=1$，$b=-1$，常数项为$c$，
∴$\Delta = (-1)^2 - 4×1× c ＜ 0$，
化简得$1 - 4c ＜ 0$，
移项得$-4c ＜ -1$，
不等式两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得$c ＞ \frac{1}{4}$。
【答案】
$c＞\frac{1}{4}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系，根的判别式的应用，解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，核心是掌握抛物线与x轴交点个数和对应方程根的个数的对应关系，熟练运用判别式列不等式求解即可。
【难度系数】
0.8
要确定抛物线与x轴无公共点时c的取值范围，首先明确二次函数与x轴的交点个数和对应一元二次方程的实数根个数是一一对应的：抛物线与x轴无公共点，等价于令y=0得到的一元二次方程没有实数根，此时方程的根的判别式Δ＜0，代入对应系数列出关于c的不等式，解不等式即可得到结果。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2 -x +c$与x轴没有公共点，
∴令$y=0$时，一元二次方程$x^2 -x +c=0$无实数根。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，
在方程$x^2 -x +c=0$中，$a=1$，$b=-1$，常数项为$c$，
∴$\Delta = (-1)^2 - 4×1× c ＜ 0$，
化简得$1 - 4c ＜ 0$，
移项得$-4c ＜ -1$，
不等式两边同时除以$-4$，不等号方向改变，得$c ＞ \frac{1}{4}$。
【答案】
$c＞\frac{1}{4}$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系，根的判别式的应用，解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题型，核心是掌握抛物线与x轴交点个数和对应方程根的个数的对应关系，熟练运用判别式列不等式求解即可。
【难度系数】
0.8
4. 如图是函数$y=x^2+ax+b$的图象，则关于$x$的方程$x^2+ax+b=0$的解是（
A.无解
B.$x=1$
C.$x=-4$
D.$x_1=-1,x_2=4$
D
）A.无解
B.$x=1$
C.$x=-4$
D.$x_1=-1,x_2=4$
答案
4. D
解析
【分析】
要解这道题，首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：关于x的一元二次方程$x^2+ax+b=0$的解，就是二次函数$y=x^2+ax+b$的图象与x轴交点的横坐标。接下来我们只需要从图中找出抛物线与x轴的两个交点，读取它们的横坐标，就能得到方程的解。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：一元二次方程$x^2+ax+b=0$的实数根，对应二次函数$y=x^2+ax+b$的图象与$x$轴交点的横坐标。
观察图象可知，抛物线$y=x^2+ax+b$与$x$轴交于两点，坐标分别为$(-1,0)$和$(4,0)$，因此方程$x^2+ax+b=0$的解为$x_1=-1,x_2=4$。
所以本题选D。
【答案】D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的图象；一元二次方程的解
【点评】
本题是基础应用类题型，核心是理解二次函数图象和对应一元二次方程的转化关系，解题时只需准确读取图象与x轴交点的横坐标即可得到答案，需要注意不要看错交点对应的数值。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关系：关于x的一元二次方程$x^2+ax+b=0$的解，就是二次函数$y=x^2+ax+b$的图象与x轴交点的横坐标。接下来我们只需要从图中找出抛物线与x轴的两个交点，读取它们的横坐标，就能得到方程的解。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的联系：一元二次方程$x^2+ax+b=0$的实数根，对应二次函数$y=x^2+ax+b$的图象与$x$轴交点的横坐标。
观察图象可知，抛物线$y=x^2+ax+b$与$x$轴交于两点，坐标分别为$(-1,0)$和$(4,0)$，因此方程$x^2+ax+b=0$的解为$x_1=-1,x_2=4$。
所以本题选D。
【答案】D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；二次函数的图象；一元二次方程的解
【点评】
本题是基础应用类题型，核心是理解二次函数图象和对应一元二次方程的转化关系，解题时只需准确读取图象与x轴交点的横坐标即可得到答案，需要注意不要看错交点对应的数值。
【难度系数】
0.8
5.若二次函数$y=2x^2+mx+8$的图象如图所示，则$m$的值是（
A.$-8$
B.$8$
C.$\pm8$
D.$6$
B
）A.$-8$
B.$8$
C.$\pm8$
D.$6$
答案
5. B
解析
【分析】
解题时可分两步推导：首先观察图像，二次函数图象与x轴仅有1个交点，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，可通过判别式Δ=0求出m的可能取值；再结合图象中对称轴在y轴左侧的特征，利用对称轴公式判断m的正负，即可确定m的最终值。
【解析】
解：
∵二次函数$y=2x^2+mx+8$的图象与x轴只有一个交点，
∴一元二次方程$2x^2+mx+8=0$有两个相等的实数根，判别式$\Delta=0$，
代入公式得：$\Delta = m^2 - 4×2×8 = 0$，
化简得$m^2=64$，解得$m=\pm8$。
又由图象可知，抛物线对称轴在y轴左侧，即对称轴$x＜0$，
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=2$、$b=m$得：
$-\frac{m}{2×2}＜0$，即$-\frac{m}{4}＜0$，解得$m＞0$，
因此$m=8$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数判别式应用，二次函数对称轴，二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数的典型综合题，将图象特征和代数计算结合考查，解题时注意不要仅通过判别式得到结果就直接选择，需结合图象隐含的对称轴位置信息对参数进行筛选，避免错选。
【难度系数】
0.7
解题时可分两步推导：首先观察图像，二次函数图象与x轴仅有1个交点，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，可通过判别式Δ=0求出m的可能取值；再结合图象中对称轴在y轴左侧的特征，利用对称轴公式判断m的正负，即可确定m的最终值。
【解析】
解：
∵二次函数$y=2x^2+mx+8$的图象与x轴只有一个交点，
∴一元二次方程$2x^2+mx+8=0$有两个相等的实数根，判别式$\Delta=0$，
代入公式得：$\Delta = m^2 - 4×2×8 = 0$，
化简得$m^2=64$，解得$m=\pm8$。
又由图象可知，抛物线对称轴在y轴左侧，即对称轴$x＜0$，
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=2$、$b=m$得：
$-\frac{m}{2×2}＜0$，即$-\frac{m}{4}＜0$，解得$m＞0$，
因此$m=8$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数判别式应用，二次函数对称轴，二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数的典型综合题，将图象特征和代数计算结合考查，解题时注意不要仅通过判别式得到结果就直接选择，需结合图象隐含的对称轴位置信息对参数进行筛选，避免错选。
【难度系数】
0.7
6.(教材P47例1变式)如图,李东在扔铅球时,铅球沿抛物线$y=-\frac{x^2}{10}+\frac{6}{10}x+\frac{8}{5}$运行,其中x是铅球离初始位置的水平距离,y是铅球离地面的高度.
(1)当铅球离地面的高度为2.1 m时,它离初始位置的水平距离是多少？
(2)铅球离地面的高度能否达到2.5 m,若能达到,求此时铅球离初始位置的水平距离；
(3)铅球离地面的高度能否达到3 m？为什么？
(1)当铅球离地面的高度为2.1 m时,它离初始位置的水平距离是多少？
(2)铅球离地面的高度能否达到2.5 m,若能达到,求此时铅球离初始位置的水平距离；
(3)铅球离地面的高度能否达到3 m？为什么？
答案
解:(1)由题意,得$2.1=-\frac{x^2}{10}+\frac{6}{10}x+\frac{8}{5}$,解得$x_1=1,x_2=5$.
∴当铅球离地面的高度为2.1 m时,它离初始位置的水平距离是1 m或5 m.
(2)能.由题意,得$2.5=-\frac{x^2}{10}+\frac{6}{10}x+\frac{8}{5}$,解得$x_1=x_2=3$.
∴当铅球离地面的高度为2.5 m时,它离初始位置的水平距离是3 m.
(3)不能,理由如下:由题意,得$3=-\frac{x^2}{10}+\frac{6}{10}x+\frac{8}{5}$,即$x^2-6x+14=0$,$\because\Delta=(-6)^2-4×1×14=-20＜0$,$\therefore$方程无实数根.$\therefore$铅球离地面的高度不能达到3 m.
∴当铅球离地面的高度为2.1 m时,它离初始位置的水平距离是1 m或5 m.
(2)能.由题意,得$2.5=-\frac{x^2}{10}+\frac{6}{10}x+\frac{8}{5}$,解得$x_1=x_2=3$.
∴当铅球离地面的高度为2.5 m时,它离初始位置的水平距离是3 m.
(3)不能,理由如下:由题意,得$3=-\frac{x^2}{10}+\frac{6}{10}x+\frac{8}{5}$,即$x^2-6x+14=0$,$\because\Delta=(-6)^2-4×1×14=-20＜0$,$\therefore$方程无实数根.$\therefore$铅球离地面的高度不能达到3 m.
解析
【分析】
本题考查二次函数的实际应用，三个小问均是已知铅球高度y求水平距离x，核心解题思路是将给定的y值代入二次函数解析式，把函数问题转化为一元二次方程的相关问题：若方程有正实数根，说明对应高度可以达到，方程的正根就是符合要求的水平距离；若方程无实数根，说明对应高度无法达到。解题时先代入y值列方程，再求解方程或用根的判别式判断根的情况即可。
【解析】
(1) 由题意，将$y=2.1$代入抛物线解析式$y=-\frac{x^2}{10}+\frac{6}{10}x+\frac{8}{5}$，得：
$2.1=-\frac{x^2}{10}+\frac{6}{10}x+\frac{8}{5}$
解方程得$x_1=1$，$x_2=5$，两个解均符合水平距离的实际意义。
(2) 判断能否达到2.5m，将$y=2.5$代入解析式，得：
$2.5=-\frac{x^2}{10}+\frac{6}{10}x+\frac{8}{5}$
解方程得$x_1=x_2=3$，方程有正实数根，因此该高度可以达到。
(3) 判断能否达到3m，将$y=3$代入解析式，得：
$3=-\frac{x^2}{10}+\frac{6}{10}x+\frac{8}{5}$
整理为标准一元二次方程形式：$x^2-6x+14=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-6)^2-4×1×14=-20＜0$
因此该方程无实数根，说明铅球高度无法达到3m。
【答案】
(1) 当铅球离地面的高度为2.1 m时，它离初始位置的水平距离是1 m或5 m；
(2) 能达到，此时铅球离初始位置的水平距离是3 m；
(3) 不能达到，因为代入y=3后得到的一元二次方程无实数根。
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程求解
3. 根的判别式应用
【点评】
本题侧重考查函数与方程的转化思想，将实际场景中的高度问题转化为一元二次方程的根的问题求解，解题时要注意结合实际意义判断解的合理性，掌握二次函数和一元二次方程的对应关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数的实际应用，三个小问均是已知铅球高度y求水平距离x，核心解题思路是将给定的y值代入二次函数解析式，把函数问题转化为一元二次方程的相关问题：若方程有正实数根，说明对应高度可以达到，方程的正根就是符合要求的水平距离；若方程无实数根，说明对应高度无法达到。解题时先代入y值列方程，再求解方程或用根的判别式判断根的情况即可。
【解析】
(1) 由题意，将$y=2.1$代入抛物线解析式$y=-\frac{x^2}{10}+\frac{6}{10}x+\frac{8}{5}$，得：
$2.1=-\frac{x^2}{10}+\frac{6}{10}x+\frac{8}{5}$
解方程得$x_1=1$，$x_2=5$，两个解均符合水平距离的实际意义。
(2) 判断能否达到2.5m，将$y=2.5$代入解析式，得：
$2.5=-\frac{x^2}{10}+\frac{6}{10}x+\frac{8}{5}$
解方程得$x_1=x_2=3$，方程有正实数根，因此该高度可以达到。
(3) 判断能否达到3m，将$y=3$代入解析式，得：
$3=-\frac{x^2}{10}+\frac{6}{10}x+\frac{8}{5}$
整理为标准一元二次方程形式：$x^2-6x+14=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-6)^2-4×1×14=-20＜0$
因此该方程无实数根，说明铅球高度无法达到3m。
【答案】
(1) 当铅球离地面的高度为2.1 m时，它离初始位置的水平距离是1 m或5 m；
(2) 能达到，此时铅球离初始位置的水平距离是3 m；
(3) 不能达到，因为代入y=3后得到的一元二次方程无实数根。
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程求解
3. 根的判别式应用
【点评】
本题侧重考查函数与方程的转化思想，将实际场景中的高度问题转化为一元二次方程的根的问题求解，解题时要注意结合实际意义判断解的合理性，掌握二次函数和一元二次方程的对应关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
7.已知二次函数$y=x^2+bx+c$的最小值为$-5$，则一元二次方程$x^2+bx+c+7=0$的根的情况是（
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
C
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
答案
7. C
解析
【分析】
解题思路可从二次函数与一元二次方程的联系入手：①先明确二次函数的开口方向和最值的意义，二次项系数a=1＞0，开口向上，函数最小值为-5意味着所有实数x对应的函数值都≥-5；②将待判断的一元二次方程变形，转化为“二次函数的函数值等于-7”的问题；③比较-7和函数最小值的大小，判断是否存在实数x满足该等式，即可得到方程根的情况。也可先通过二次函数最值公式求出b²-4c的值，再代入待求方程的判别式判断根的情况。
【解析】
方法一：
∵ 二次函数$y=x^2+bx+c$的二次项系数$a=1＞0$，
∴ 函数图象开口向上，
又
∵ 函数最小值为$-5$，
∴ 对任意实数$x$，都有$x^2+bx+c≥ -5$，即$x^2+bx+c$的取值不可能小于$-5$。
将一元二次方程$x^2+bx+c+7=0$变形得：$x^2+bx+c=-7$，
∵ $-7＜-5$，不存在实数$x$使得$x^2+bx+c=-7$成立，
∴ 一元二次方程$x^2+bx+c+7=0$无实数根。
方法二：
∵ 二次函数$y=x^2+bx+c$的最小值为$-5$，根据二次函数最值公式$\frac{4ac-b^2}{4a}=-5$，代入$a=1$得：
$\frac{4c-b^2}{4}=-5$，整理得$b^2-4c=20$。
一元二次方程$x^2+bx+c+7=0$的根的判别式：
$\Delta = b^2-4×1×(c+7)=b^2-4c-28$，
将$b^2-4c=20$代入得$\Delta=20-28=-8＜0$，
∴ 该一元二次方程无实数根。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的最值
2.二次函数与一元二次方程的联系
3.一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题，解题的核心是能灵活在方程根的问题和二次函数函数值问题之间转化，也可通过最值公式和判别式的关联求解，两种方法都能快速得出结论。
【难度系数】
0.7
解题思路可从二次函数与一元二次方程的联系入手：①先明确二次函数的开口方向和最值的意义，二次项系数a=1＞0，开口向上，函数最小值为-5意味着所有实数x对应的函数值都≥-5；②将待判断的一元二次方程变形，转化为“二次函数的函数值等于-7”的问题；③比较-7和函数最小值的大小，判断是否存在实数x满足该等式，即可得到方程根的情况。也可先通过二次函数最值公式求出b²-4c的值，再代入待求方程的判别式判断根的情况。
【解析】
方法一：
∵ 二次函数$y=x^2+bx+c$的二次项系数$a=1＞0$，
∴ 函数图象开口向上，
又
∵ 函数最小值为$-5$，
∴ 对任意实数$x$，都有$x^2+bx+c≥ -5$，即$x^2+bx+c$的取值不可能小于$-5$。
将一元二次方程$x^2+bx+c+7=0$变形得：$x^2+bx+c=-7$，
∵ $-7＜-5$，不存在实数$x$使得$x^2+bx+c=-7$成立，
∴ 一元二次方程$x^2+bx+c+7=0$无实数根。
方法二：
∵ 二次函数$y=x^2+bx+c$的最小值为$-5$，根据二次函数最值公式$\frac{4ac-b^2}{4a}=-5$，代入$a=1$得：
$\frac{4c-b^2}{4}=-5$，整理得$b^2-4c=20$。
一元二次方程$x^2+bx+c+7=0$的根的判别式：
$\Delta = b^2-4×1×(c+7)=b^2-4c-28$，
将$b^2-4c=20$代入得$\Delta=20-28=-8＜0$，
∴ 该一元二次方程无实数根。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的最值
2.二次函数与一元二次方程的联系
3.一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的基础题，解题的核心是能灵活在方程根的问题和二次函数函数值问题之间转化，也可通过最值公式和判别式的关联求解，两种方法都能快速得出结论。
【难度系数】
0.7
8. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程.如图，已知$y=\frac{1}{2}x^2 -2x$刻画了该公司年初以来累计利润$y$（万元）与销售时间$x$（月份）之间的关系.试根据图象提供的信息，回答下列问题：
(1)该公司亏损期是
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
(3)该公司第8月末所获利润是多少？
(1)该公司亏损期是
4
个月，4
月份末开始盈利；(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
(3)该公司第8月末所获利润是多少？
答案
解:(1)4 4
(2)把$y=30$代入$y=\frac{1}{2}x^2 -2x$,得$\frac{1}{2}(x-2)^2-2=30$,解得$x_1=10,x_2=-6$(舍去).答:截止到10月末公司累积利润可达30万元.
(3)把$x=7$代入解析式,得$y=\frac{1}{2}×7^2-2×7=10.5$.把$x=8$代入解析式,得$y=\frac{1}{2}×8^2-2×8=16$.$16-10.5=5.5$(万元).答:第8个月末公司所获利润是5.5万元.
(2)把$y=30$代入$y=\frac{1}{2}x^2 -2x$,得$\frac{1}{2}(x-2)^2-2=30$,解得$x_1=10,x_2=-6$(舍去).答:截止到10月末公司累积利润可达30万元.
(3)把$x=7$代入解析式,得$y=\frac{1}{2}×7^2-2×7=10.5$.把$x=8$代入解析式,得$y=\frac{1}{2}×8^2-2×8=16$.$16-10.5=5.5$(万元).答:第8个月末公司所获利润是5.5万元.
解析
【分析】
(1) 亏损时累计利润$y＜0$，结合函数图像与x轴交点为$(0,0)$和$(4,0)$，可知$0＜x＜4$时$y＜0$，$x=4$时$y=0$，$x＞4$时$y＞0$，据此可得出亏损时长和开始盈利的时间；
(2) 累计利润达到30万元即$y=30$，将$y=30$代入二次函数解析式解一元二次方程，结合$x$代表月份为正整数，舍去不符合实际的根即可得到结果；
(3) 第8月的利润是截止到8月末的累计利润减去截止到7月末的累计利润，分别将$x=7$、$x=8$代入解析式求出对应累计利润，再作差即可得到第8月的单月利润。
【解析】
(1) 令$y＜0$，即$\frac{1}{2}x^2 -2x＜0$，因式分解得$x(x-4)＜0$，结合$x$为月份$x≥0$，解得$0＜x＜4$，即前4个月均亏损；$x=4$时$y=0$，之后$y＞0$，因此4月末开始盈利。
(2) 将$y=30$代入$y=\frac{1}{2}x^2 -2x$，得：
$\frac{1}{2}(x-2)^2-2=30$
整理得$(x-2)^2=64$
解得$x_1=10$，$x_2=-6$
$x$代表月份不能为负，舍去$x_2=-6$。
答：截止到10月末公司累积利润可达30万元。
(3) 把$x=7$代入解析式，得$y=\frac{1}{2}×7^2-2×7=10.5$（万元）
把$x=8$代入解析式，得$y=\frac{1}{2}×8^2-2×8=16$（万元）
第8月利润为$16-10.5=5.5$（万元）
答：第8个月末公司所获利润是5.5万元。
【答案】
(1) 4，4
(2) 10月末
(3) 5.5万元
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数与一元二次方程；二次函数求值
【点评】
本题结合经营盈利的实际场景考查二次函数的相关应用，解题时要注意区分累计利润和单月利润的概念，求解方程后需结合实际意义舍去不合理的根，属于二次函数应用的常规题型，能很好地考查学生结合实际解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 亏损时累计利润$y＜0$，结合函数图像与x轴交点为$(0,0)$和$(4,0)$，可知$0＜x＜4$时$y＜0$，$x=4$时$y=0$，$x＞4$时$y＞0$，据此可得出亏损时长和开始盈利的时间；
(2) 累计利润达到30万元即$y=30$，将$y=30$代入二次函数解析式解一元二次方程，结合$x$代表月份为正整数，舍去不符合实际的根即可得到结果；
(3) 第8月的利润是截止到8月末的累计利润减去截止到7月末的累计利润，分别将$x=7$、$x=8$代入解析式求出对应累计利润，再作差即可得到第8月的单月利润。
【解析】
(1) 令$y＜0$，即$\frac{1}{2}x^2 -2x＜0$，因式分解得$x(x-4)＜0$，结合$x$为月份$x≥0$，解得$0＜x＜4$，即前4个月均亏损；$x=4$时$y=0$，之后$y＞0$，因此4月末开始盈利。
(2) 将$y=30$代入$y=\frac{1}{2}x^2 -2x$，得：
$\frac{1}{2}(x-2)^2-2=30$
整理得$(x-2)^2=64$
解得$x_1=10$，$x_2=-6$
$x$代表月份不能为负，舍去$x_2=-6$。
答：截止到10月末公司累积利润可达30万元。
(3) 把$x=7$代入解析式，得$y=\frac{1}{2}×7^2-2×7=10.5$（万元）
把$x=8$代入解析式，得$y=\frac{1}{2}×8^2-2×8=16$（万元）
第8月利润为$16-10.5=5.5$（万元）
答：第8个月末公司所获利润是5.5万元。
【答案】
(1) 4，4
(2) 10月末
(3) 5.5万元
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数与一元二次方程；二次函数求值
【点评】
本题结合经营盈利的实际场景考查二次函数的相关应用，解题时要注意区分累计利润和单月利润的概念，求解方程后需结合实际意义舍去不合理的根，属于二次函数应用的常规题型，能很好地考查学生结合实际解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
