9.【新情境·生活情境】(2024·葫芦岛兴城期末)美琪在做数学作业时,不小心将式子中除号后的代数式污染,即$\frac{4-x^2}{3x^2-2xy} ÷ \boldsymbol{.}$通过查看答案,发现答案为$\frac{x+2}{3x-2y}$,则被污染的代数式为 ()

A.$\frac{2}{x+1}$
B.$\frac{x-2}{x}$
C.$\frac{2-x}{x}$
D.$\frac{x+1}{2x-1}$

9.C

【分析】
要确定被除号污染的代数式，首先回忆除法运算的基本关系：除数=被除数÷商。我们可以先设被污染的代数式为A，根据题意列出除法等式，再通过变形得到求A的算式。接下来对算式中能因式分解的多项式先因式分解，再将分式除法转化为乘法运算，通过约分化简就能得到A的表达式，对应选项选出答案即可。
【解析】
设被污染的代数式为$A$，由题意得：
$\frac{4-x^2}{3x^2-2xy} ÷ A = \frac{x+2}{3x-2y}$
根据除数=被除数÷商，可得：
$A = \frac{4-x^2}{3x^2-2xy} ÷ \frac{x+2}{3x-2y}$
先对分子分母因式分解：
$4-x^2=(2-x)(2+x)$，$3x^2-2xy=x(3x-2y)$
将分式除法转化为乘法（乘以除式的倒数）：
$A=\frac{(2-x)(2+x)}{x(3x-2y)} × \frac{3x-2y}{x+2}$
约分，约去公因式$x+2$和$3x-2y$，得：
$A=\frac{2-x}{x}$
因此被污染的代数式为$\frac{2-x}{x}$。
【答案】
C
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题结合生活情境考查分式的相关运算，解题的关键是明确除法运算中各部分的关系，熟练掌握分式除法的运算法则和约分技巧，属于对基础知识的考查。
【难度系数】
0.7

10.计算:
(1)$\frac{x^2 - 4y^2}{x^2 + 4x + 4} · \frac{x + 2}{3x^2 + 6xy}$；
(2)；
(3)；
(4)$\frac{x^3 - 2x^2 + 4x}{x^2 - 4x + 4} ÷ \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 2}$。

10.(1)$\frac{x-2y}{3x(x+2)}$ (2)$m+n$ (3)$-\frac{(x+2y)^2}{(x+y)^2}$ (4)$\frac{x}{x-2}$

【分析】
分式乘除运算的核心思路是“先分解、再约分、后化简”：①先利用提公因式法、公式法（平方差、完全平方公式）对每个分式的分子、分母分别因式分解；②遇到除法运算时，先根据“除以一个分式等于乘以这个分式的倒数”转化为乘法运算；③约去分子分母的所有公因式，最终结果化为最简分式（或整式）即可。
【解析】
(1) 先对各部分因式分解：
$x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)$，$x^2+4x+4=(x+2)^2$，$3x^2+6xy=3x(x+2y)$
原式$=\frac{(x+2y)(x-2y)}{(x+2)^2} · \frac{x+2}{3x(x+2y)}$
约去公因式$(x+2y)$、$(x+2)$，得$\frac{x-2y}{3x(x+2)}$。
(2) 对分子因式分解后约分：
若原式为含平方差结构的分式，分子分解为$(m+n)(m-n)$后，约去公因式$(m-n)$，即可得结果$m+n$。
(3) 先将除法转化为乘法，再因式分解，注意处理负号，约去公因式后即可得结果$-\frac{(x+2y)^2}{(x+y)^2}$。
(4) 先将除法转为乘法，再因式分解：
$x^3-2x^2+4x=x(x^2-2x+4)$，$x^2-4x+4=(x-2)^2$
原式$=\frac{x(x^2-2x+4)}{(x-2)^2} · \frac{x-2}{x^2-2x+4}$
约去公因式$(x^2-2x+4)$、$(x-2)$，得$\frac{x}{x-2}$。
【答案】
(1)$\frac{x-2y}{3x(x+2)}$ (2)$m+n$ (3)$-\frac{(x+2y)^2}{(x+y)^2}$ (4)$\frac{x}{x-2}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、约分
【点评】
本题属于分式乘除的基础运算题，解题的关键是熟练掌握因式分解的常用方法，注意除法转乘法时要正确书写除数的倒数，约分时要确保公因式全部约尽，最终结果化为最简形式，运算过程中要留意符号问题，避免因符号出错失分。
【难度系数】
0.75

11.化简$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \frac{x^2 - x}{x + 1}$，再从$-1 ≤ x ≤ 2$的范围内选择一个合适的整数代入求值.

11.解:原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} ÷ \frac{x(x-1)}{x+1}$
$=\frac{x-1}{x+1} · \frac{x+1}{x(x-1)}$
$=\frac{1}{x}.$
$\because x≠0,x+1≠0,x-1≠0,$
$\therefore x≠0,x≠1,x≠-1,$
$\therefore 当x=2时,原式=\frac{1}{2}.$

【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：①先对原式中各个分式的分子、分母进行因式分解，方便后续约分；②将分式的除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），再通过交叉约分得到最简结果；③先根据分式有意义的条件（分母不能为0），排除给定范围内不符合要求的整数，再选合适的整数代入最简式计算即可。
【解析】
首先对原式的分子分母因式分解，将除法转为乘法：
原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} ÷ \frac{x(x-1)}{x+1}$
$=\frac{x-1}{x+1} · \frac{x+1}{x(x-1)}$
约去分子分母的公因式，得最简结果：
原式$=\frac{1}{x}$
接下来确定x的取值范围：要使所有分式有意义，则分母不为0，即$x≠0$，$x+1≠0$，$x-1≠0$，解得$x≠0$，$x≠-1$，$x≠1$。
已知x的取值范围是$-1 ≤ x ≤ 2$，范围内的整数有-1、0、1、2，排除不符合要求的-1、0、1，可选$x=2$代入最简式：
当$x=2$时，原式$=\frac{1}{2}$。
【答案】
化简结果为$\frac{1}{x}$，代入$x=2$得值为$\frac{1}{2}$
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，既考查分式乘除的运算规则，也需要注意隐含的分式有意义的条件，不可直接代入范围内的所有整数，避免出现分母为0的错误，整体难度较低。
【难度系数】
0.7

12.已知$A=\dfrac{2x+y}{x^2-2xy+y^2}·(x-y)$。
(1)化简$A$；
(2)若$x^2-6xy+9y^2=0$，求$A$的值。

12.解:(1)$A=\frac{2x+y}{x^2-2xy+y^2} · (x-y)=\frac{2x+y}{(x-y)^2} · (x-y)=\frac{2x+y}{x-y}.$
(2)$\because x^2-6xy+9y^2=0,\therefore (x-3y)^2=0,$
$\therefore x-3y=0,即x=3y,$
故$A=\frac{2x+y}{x-y}=\frac{6y+y}{3y-y}=\frac{7}{2}.$

【分析】
(1) 化简A时，首先观察分式的分母符合完全平方差公式的形式，先利用完全平方公式将分母因式分解，再根据分式乘法的运算法则，约去分子分母的公因式$(x-y)$即可完成化简，注意约分时需满足$x≠ y$，保证分式有意义。
(2) 求A的值时，先对给出的等式左边用完全平方差公式因式分解，结合平方的非负性得到x与y的数量关系，再将该关系代入化简后的A中，约去公因式y即可算出结果，注意$y≠0$保证分式有意义。
【解析】
(1) 先对原式分母因式分解：
$A=\dfrac{2x+y}{x^2-2xy+y^2}·(x-y)=\dfrac{2x+y}{(x-y)^2}·(x-y)$
约去公因式$(x-y)$（$x≠ y$），得：
$A=\dfrac{2x+y}{x-y}$
(2) 对等式$x^2-6xy+9y^2=0$左边因式分解：
$\because x^2-6xy+9y^2=(x-3y)^2=0$
根据平方的非负性，得$x-3y=0$，即$x=3y$（$y≠0$，否则分式无意义）
将$x=3y$代入化简后的A：
$A=\dfrac{2x+y}{x-y}=\dfrac{2×3y + y}{3y - y}=\dfrac{7y}{2y}=\dfrac{7}{2}$
【答案】
(1) $A=\dfrac{2x+y}{x-y}$；(2) $A$的值为$\dfrac{7}{2}$
【知识点】
分式的乘除运算；完全平方公式；分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是熟练运用完全平方公式进行因式分解，再结合分式的约分规则完成化简，第二问利用平方的非负性得到变量间的关系，代入计算时需注意保证分式有意义，整体侧重基础运算能力的考察。
【难度系数】
0.8

13.(教材P148练习T4变式)甲农科所有两块正方形土地,边长分别是$a$ m和$b$ m($a$,$b$的值不相等).乙农科所有一块长为$2a$ m、宽为$b$ m的长方形土地.今年两个农科所种植的试验品种都收获了300 kg小麦.问:哪个农科所的小麦单位面积产量高?高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?

13.乙农科所的小麦单位面积产量高,高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{a^2+b^2}{2ab}$倍

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，明确单位面积产量=总产量÷种植面积，先分别计算甲、乙两个农科所的种植面积，再推导各自的单位面积产量；第二步，比较两个单位面积产量的大小，因为总产量相同，只需通过完全平方公式比较两个种植面积的大小，面积越小单位面积产量越高；第三步，用高的单位面积产量除以低的单位面积产量，通过分式乘除约分得到倍数关系。
【解析】
1. 计算两个农科所的种植面积：
甲农科所有两块正方形土地，总面积$S_甲=a^2+b^2(\mathrm{m}^2)$；
乙农科所有一块长方形土地，总面积$S_乙=2a· b=2ab(\mathrm{m}^2)$。
2. 计算单位面积产量：
已知总产量均为300kg，因此：
甲的单位面积产量$w_甲=\frac{300}{a^2+b^2}\ \mathrm{kg/m}^2$，
乙的单位面积产量$w_乙=\frac{300}{2ab}\ \mathrm{kg/m}^2$。
3. 比较单位面积产量大小：
因为$a≠ b$，由完全平方公式可得$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2＞0$，因此$a^2+b^2＞2ab$，结合$a、b$均为正数，可得$\frac{300}{a^2+b^2}＜\frac{300}{2ab}$，即$w_乙＞w_甲$，乙农科所单位面积产量更高。
4. 计算倍数：
$\frac{w_乙}{w_甲}=\frac{\frac{300}{2ab}}{\frac{300}{a^2+b^2}}=\frac{300}{2ab}×\frac{a^2+b^2}{300}=\frac{a^2+b^2}{2ab}$
【答案】
乙农科所的小麦单位面积产量高,高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{a^2+b^2}{2ab}$倍
【知识点】
分式的乘除运算，完全平方公式，分式比较大小
【点评】
本题结合实际生产场景命题，解题核心是理清总产量、种植面积、单位面积产量三者的数量关系，同时需要熟练运用完全平方公式判断代数式的大小，是对分式运算和整式公式的综合考查。
【难度系数】
0.7