1.计算$a^3 · a$的结果是 （）

A.$a^2$
B.$a^3$
C.$a^4$
D.$a^5$

1.C

【分析】
解题时首先观察运算特征，本题是两个底数均为a的幂相乘，属于同底数幂的乘法运算，首先回忆同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。其次注意单个字母a的指数为1（常被误认成指数为0），将两个幂的指数相加即可得到最终结果，再对应选项选择即可。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n均为正整数），其中单独的字母$a$可写为$a^1$，因此：
$a^3 · a = a^3 · a^1 = a^{3+1} = a^4$
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的基本概念
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查对同底数幂乘法法则的掌握程度，易错点是忽略单个字母的指数为1导致计算错误，牢记运算法则即可快速正确作答。
【难度系数】
0.9

2.计算$x^3·(-x^2)$的结果是（）

A.$x^5$
B.$-x^5$
C.$x^6$
D.$-x^6$

2.B

【分析】
解题时首先观察式子的运算类型，属于单项式乘法，其中涉及同底数幂的乘法运算。第一步先处理负号，将负号单独提出，再根据同底数幂的乘法法则计算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算过程中注意不要混淆同底数幂乘法和幂的乘方的运算法则，避免出现指数相乘的错误。
【解析】
解：先处理原式中的负号，可得：
$x^3·(-x^2) = - (x^3 · x^2)$
根据同底数幂的乘法法则$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n为正整数），计算$x^3 · x^2$：
$x^3 · x^2 = x^{3+2} = x^5$
因此原式$= -x^5$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；单项式乘单项式
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，重点考查同底数幂乘法法则的应用，做题时需注意负号的处理，同时要区分同底数幂乘法（指数相加）和幂的乘方（指数相乘）的运算法则，避免计算错误。
【难度系数】
0.8

3.若$a^3 · a^□ = a^7$，则$□$表示的数是 （）

A.3
B.4
C.5
D.6

3.B

【分析】
本题考查同底数幂乘法法则的应用，解题思路如下：首先回忆同底数幂的乘法运算规则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。题目中等式左侧是两个同底数幂相乘，右侧是结果幂，因此可以根据法则得到左侧两个指数相加等于右侧幂的指数，列出简单的一元一次方程即可求解方框中的数。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^m · a^n = a^{m+n}$（m、n为正整数），设方框中的数为$x$。
则等式左侧可整理为：$a^3 · a^x = a^{3+x}$
已知$a^3 · a^x = a^7$，当底数$a ≠ 0$时，同底数幂相等则指数相等，因此可得：
$3 + x = 7$
解得：$x = 7 - 3 = 4$
所以方框表示的数是4，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法法则、同底数幂相等的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对同底数幂乘法法则的掌握和应用，熟练记忆法则是解题的关键，是同底数幂运算模块的常规练习题。
【难度系数】
0.9

4.计算:(1)$(-x)^3 · (-x)^2 =$ ；
(2)$(x+y)(x+y)^3 =$ 。

4.(1)$-x^5$ (2)$(x+y)^4$

【分析】
这两道题均考查同底数幂的乘法运算，解题思路如下：①先判断运算的两个因式是否为同底数幂：第(1)题底数均为$(-x)$，第(2)题可将$(x+y)$看作整体作为公共底数，都符合同底数幂的运算条件；②运用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算出初步结果；③第(1)题最后根据负数的奇次幂为负，化简得到最终结果。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则计算：
$(-x)^3 · (-x)^2 = (-x)^{3+2} = (-x)^5$
负数的奇次幂为负，因此$(-x)^5=-x^5$。
(2) 将$(x+y)$看作整体作为同底数幂的底数，单个$(x+y)$的指数为1，根据法则计算：
$(x+y)(x+y)^3 = (x+y)^{1+3} = (x+y)^4$
【答案】
(1)$-x^5$；(2)$(x+y)^4$
【知识点】
同底数幂的乘法，整体思想，乘方符号规律
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础题型，核心是准确识别同底数，注意将多项式作为整体运算的情况，熟练掌握运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5.计算：
(1)$2× 2^2× 2^3$；
(2)$(-\dfrac{1}{3})^5× (-\dfrac{1}{3})^2$；
(3)$-m^{2n}· m^{2n-1}$；
(4)$(\dfrac{1}{7})^3× \dfrac{1}{7}× (\dfrac{1}{7})^2$。

5.(1)$2^6$ (2)$-\dfrac{1}{3^7}$ (3)$-m^{4n-1}$ (4)$\dfrac{1}{7^6}$

【分析】
这四道题均考查同底数幂的乘法运算，解题核心是运用同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$（m、n为正整数）。解题时需注意：①单个数字或字母的指数默认为1；②要准确判断底数是否包含负号，再结合乘方的符号规则确定最终结果的符号；③含字母指数的运算直接按照指数加法规则合并即可。
【解析】
(1) 三个因式的底数均为2，属于同底数幂相乘，根据法则计算：
原式$=2^{1+2+3}=2^6$
(2) 两个因式的底数均为$-\dfrac{1}{3}$，属于同底数幂相乘，先计算指数和，再判断符号：
原式$=(-\dfrac{1}{3})^{5+2}=(-\dfrac{1}{3})^7=-\dfrac{1}{3^7}$
(3) 两个因式的底数均为m，式子前的负号为独立符号，不参与底数运算：
原式$=-m^{2n+(2n-1)}=-m^{4n-1}$
(4) 三个因式的底数均为$\dfrac{1}{7}$，属于同底数幂相乘，注意单个$\dfrac{1}{7}$的指数为1：
原式$=(\dfrac{1}{7})^{3+1+2}=(\dfrac{1}{7})^6=\dfrac{1}{7^6}$
【答案】
(1)$2^6$ (2)$-\dfrac{1}{3^7}$ (3)$-m^{4n-1}$ (4)$\dfrac{1}{7^6}$
【知识点】
同底数幂的乘法法则、乘方的符号运算
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础应用题型，旨在巩固同底数幂乘法的运算规则，解题时需格外注意不要遗漏单个幂的指数为1的情况，同时要准确区分负号是否属于底数，避免因符号判断失误或指数漏算出错。
【难度系数】
0.85

6.$m^6$可以写成（）

A.$m^3 · m^2$
B.$m^2 · m^4$
C.$m · m^6$
D.$m^3 + m^3$

6.B

【分析】
本题要求选出运算结果为$m^6$的选项，解题思路如下：首先回忆相关运算法则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。接下来逐个计算每个选项的运算结果，再与$m^6$比对，即可选出正确答案。
【解析】
根据运算法则逐一计算选项：
1. 计算A选项：根据同底数幂乘法法则，$m^3· m^2 = m^{3+2}=m^5≠ m^6$，故A错误；
2. 计算B选项：根据同底数幂乘法法则，$m^2· m^4 = m^{2+4}=m^6$，符合要求，故B正确；
3. 计算C选项：根据同底数幂乘法法则，$m· m^6 = m^{1+6}=m^7≠ m^6$，故C错误；
4. 计算D选项：$m^3+m^3$是合并同类项，运算得$m^3+m^3=2m^3≠ m^6$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；合并同类项
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考查对幂运算和整式加法法则的辨析，解题时要注意区分同底数幂乘法的指数运算规则和合并同类项的系数运算规则，避免混淆法则导致失分。
【难度系数】
0.9

7.(2025·大连金普新区期中)若$a^m=2,a^n=4$,则$a^{m+n}=$.

7.8

【分析】
本题要求计算$a^{m+n}$的值，首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^x · a^y = a^{x+y}$，该法则可以逆向使用，也就是$a^{x+y}=a^x · a^y$。题目已经给出$a^m$和$a^n$的具体数值，我们逆用同底数幂的乘法法则，将两个已知值代入计算即可得到结果。
【解析】
根据同底数幂乘法的逆运算可得：
$a^{m+n}=a^m · a^n$
将$a^m=2$，$a^n=4$代入上式计算：
$a^{m+n}=2 × 4 = 8$
【答案】
8
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂乘法的逆运算
【点评】
本题属于幂的运算类基础题，主要考查同底数幂乘法法则的灵活运用，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则的正向和逆向变形，熟记法则即可快速求解。
【难度系数】
0.9

8.计算：$-(x - y) · (y - x)^2 · (y - x)^3 =$

8.$(y-x)^6$

【分析】
解题时先观察式子中各幂的底数关系，发现$(x-y)$与$(y-x)$互为相反数，首先通过符号变形将所有幂的底数统一为$(y-x)$，再运用同底数幂的乘法法则计算即可，变形过程中要注意符号处理，避免出错。
【解析】
解：先统一底数：
$\because -(x-y)=y-x$
$\therefore$ 原式转化为：
$ (y-x)·(y-x)^2·(y-x)^3 $
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$=(y-x)^{1+2+3}$
$=(y-x)^6$
【答案】
$(y-x)^6$
【知识点】
同底数幂的乘法、整式的符号变形
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是先把不同底数转化为相同底数，再运用同底数幂乘法法则计算，需重点关注符号变形的正确性，避免因符号处理失误丢分。
【难度系数】
0.7

9.(教材P102习题T7变式)电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中$1\ \mathrm{GB}=2^{10}\ \mathrm{MB}$，$1\ \mathrm{MB}=2^{10}\ \mathrm{KB}$，$1\ \mathrm{KB}=2^{10}\ \mathrm{B}$.某视频文件的大小约为1 GB，$1\ \mathrm{GB}=$（）

A.$2^{30}\ \mathrm{B}$
B.$8^{30}\ \mathrm{B}$
C.$8×10^{10}\ \mathrm{B}$
D.$2×10^{30}\ \mathrm{B}$

9.A

【分析】
解题时首先要明确题目给出的B、KB、MB、GB之间的换算关系，要将GB换算为B，需要逐级进行单位转换，每次转换都乘进率$2^{10}$，再运用同底数幂的乘法法则计算最终结果，最后匹配正确选项即可。
【解析】
解：根据题意给出的单位换算关系：
∵ $1\ \mathrm{GB}=2^{10}\ \mathrm{MB}$，$1\ \mathrm{MB}=2^{10}\ \mathrm{KB}$，$1\ \mathrm{KB}=2^{10}\ \mathrm{B}$
∴ $1\ \mathrm{GB}=2^{10} × 2^{10} × 2^{10}\ \mathrm{B}$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^{10} × 2^{10} × 2^{10}=2^{10+10+10}=2^{30}$
即$1\ \mathrm{GB}=2^{30}\ \mathrm{B}$
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法，单位换算
【点评】
本题结合生活中常见的电子文件大小单位设置问题，考查同底数幂乘法的实际应用，解题的核心是准确梳理单位进率，正确运用运算法则计算，属于将数学知识结合生活场景的基础题型。
【难度系数】
0.8

10.若$2^n + 2^n + 2^n + 2^n = 2^6$，则$n=$（）

A.2
B.3
C.4
D.5

10.C

【分析】
解题时先观察等式特征，左边是4个相同的$2^n$相加，首先可根据乘法的意义将加法转化为乘法运算；再把常数4改写为以2为底的幂的形式，结合同底数幂的乘法法则化简左边；最后依据“底数相同的两个幂相等时，对应指数相等”建立方程，即可求出n的值。
【解析】
解：对等式左边进行化简：
4个$2^n$相加可转化为乘法：$2^n + 2^n + 2^n + 2^n = 4×2^n$
将4改写为以2为底的幂：$4=2^2$
根据同底数幂的乘法法则$a^m· a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数），可得：
$4×2^n=2^2×2^n=2^{2+n}$
结合题意$2^{2+n}=2^6$，底数相同的幂相等则指数相等，因此：
$2+n=6$
解得$n=4$
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法；乘方的意义；一元一次方程求解
【点评】
本题属于同底数幂运算的基础应用题，解题核心是将加法运算转化为乘法运算，再统一为同底数幂的形式后利用指数相等建立方程，熟练掌握同底数幂的运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8

11. $3^2 × (-3)^4 × 9 × 27 =$ .

11.$3^{11}$

【分析】
解题时先观察算式中各因数的特征，所有因数都可转化为底数为3的幂的形式，解题思路分三步：第一步处理负数的偶次幂，根据负数偶次幂为正的性质，将$(-3)^4$转化为底数为3的幂；第二步把9、27分别改写为以3为底的幂的形式；第三步运用同底数幂的乘法法则，底数不变、指数相加，计算得到最终结果。
【解析】
解：先将算式中各因数统一为以3为底的幂：
$\begin{aligned}&3^2 × (-3)^4 × 9 × 27\\=&3^2 × 3^4 × 3^2 × 3^3 \quad (\mathrm{注：$(-3)^4=3^4$，$9=3^2$，$27=3^3$})\\\hline&\mathrm{根据同底数幂乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$（$m、n$为正整数），底数不变，指数相加：}\\=&3^{2+4+2+3}\\=&3^{11}\end{aligned}$
【答案】
$3^{11}$
【知识点】
同底数幂的乘法、乘方的符号法则、有理数的乘方
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础计算题，解题核心是先将所有运算项转化为同底数的幂，计算时要注意负数幂的符号判断，偶次幂结果为正，避免符号错误，再准确运用同底数幂的乘法法则计算即可。
【难度系数】
0.8

12.已知$2^a = \frac{1}{3}$，$2^b = 24$，则$a + b$的值是。

12.3

【分析】
解题时首先观察已知条件，题目给出了同底数的两个幂$2^a$、$2^b$的值，要求指数的和$a+b$，我们可以想到同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$2^a×2^b=2^{a+b}$，这样就能把所求的$a+b$和已知条件联系起来。接下来我们代入已知值计算乘积，再把结果转化为以2为底的幂的形式，根据同底数幂相等时指数相等的性质，就能直接求出$a+b$的值，全程不需要计算单独的a、b的值，用整体思想求解即可。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则可得：
$2^a × 2^b = 2^{a+b}$
将$2^a = \frac{1}{3}$，$2^b = 24$代入左边计算：
$2^a × 2^b = \frac{1}{3} × 24 = 8$
又因为$8=2^3$，所以可得：
$2^{a+b}=2^3$
由于底数相同的幂相等时，指数也相等，因此$a+b=3$。
【答案】
3
【知识点】
同底数幂的乘法，乘方的性质，有理数乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查同底数幂乘法法则的逆用，解题时不需要单独求解a、b的数值，通过整体构造含$a+b$的幂即可快速得到结果，是对幂的运算基础应用的考查。
【难度系数】
0.8

13.计算：
(1)$-y^2 · (-y)^4 · (-y)^5$；
(2)$(s-t)^2 · (t-s)^3 · (s-t)^5$。

13.(1)$y^{11}$ (2)$-(s-t)^{10}$

【分析】
这两道题均考查同底数幂的乘法运算，解题核心是先统一各因式的底数，再根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则计算，同时要注意幂的符号处理：
1. 第(1)题底数均和y相关，先根据乘方的符号法则化简$(-y)^4$、$(-y)^5$，统一底数为y，再结合符号运算和同底数幂乘法法则计算；
2. 第(2)题底数为$(s-t)$和$(t-s)$，二者互为相反数，先根据奇次幂的性质将$(t-s)^3$转化为$-(s-t)^3$，统一底数为$(s-t)$，再套用同底数幂乘法法则计算，注意符号不要出错。
【解析】
(1) 先化简各项的符号与底数：
$(-y)^4 = y^4$（偶次幂结果为正），$(-y)^5 = -y^5$（奇次幂结果为负）
代入原式计算：
$\begin{aligned}-y^2 · (-y)^4 · (-y)^5&=-y^2 · y^4 · (-y^5)\\&=(-1)×(-1)× y^{2+4+5}\\&=y^{11}\end{aligned}$
(2) 先统一底数：
$(t-s)^3 = [-(s-t)]^3 = -(s-t)^3$
代入原式计算：
$\begin{aligned}(s-t)^2 · (t-s)^3 · (s-t)^5&=(s-t)^2 · [-(s-t)^3] · (s-t)^5\\&=- (s-t)^{2+3+5}\\&=-(s-t)^{10}\end{aligned}$
【答案】
(1)$y^{11}$；(2)$-(s-t)^{10}$
【知识点】
同底数幂的乘法；乘方符号法则；相反数幂的转化
【点评】
本题是同底数幂乘法的基础应用题型，解题的关键是先统一底数，需注意：互为相反数的两个底数转化时，偶次幂符号不变，奇次幂符号改变，计算时要先确定整体符号再计算指数，避免符号错误。
【难度系数】
0.8

14.(1)规定两数$a,b$之间的一种运算，记作$(a,b)$.若$a^c = b$，则$(a,b)=c$.如因为$2^3=8$，所以$(2,8)=3$.若$(10,m)=p,(10,n)=q$，且$p=3-q$，则$mn=$.
(2)已知$2^a=3,2^b=5,2^c=30$，则$a,b,c$之间的关系为.

14.(1)1 000 (2)$a+b+1=c$

【分析】
两道题均围绕同底数幂的乘法法则展开：(1)首先读懂新运算的定义，将新运算等式转化为幂的形式，再结合已知的p、q关系，利用同底数幂的乘法法则计算mn的值；(2)观察已知幂的运算结果，发现30=3×5×2，将其转化为同底数幂相乘的形式，根据底数相同的相等幂的指数也相等，即可推出a、b、c的关系。
【解析】
(1) 根据运算规定：若$a^c=b$，则$(a,b)=c$。
由$(10,m)=p$可得$10^p = m$，由$(10,n)=q$可得$10^q = n$。
已知$p=3-q$，移项得$p+q=3$。
根据同底数幂的乘法法则计算$mn$：
$mn=10^p × 10^q = 10^{p+q}=10^3=1000$。
(2) 已知$2^a=3$，$2^b=5$，$2^c=30$，观察得$3×5×2=30$，
将幂代入等式可得：$2^a × 2^b × 2^1 = 2^c$，
由同底数幂的乘法法则，左边化简为$2^{a+b+1}$，即$2^{a+b+1}=2^c$。
因为底数相同且不为0、1的幂相等时，指数相等，因此$a+b+1=c$。
【答案】
(1)$1000$；(2)$a+b+1=c$
【知识点】
同底数幂的乘法、新定义运算、幂的基本性质
【点评】
本题侧重考察幂的运算性质的灵活应用，第一问需要准确理解新运算规则，将陌生运算转化为熟悉的幂运算求解；第二问需要观察已知数值的关联，结合幂的运算性质推导指数关系，对知识迁移应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7