1.若$k$为正整数，则$(k^3)^2$表示的是 （）

A.2个$k^3$相加
B.3个$k^2$相加
C.2个$k^3$相乘
D.5个$k$相乘

1.C

【分析】
首先回忆乘方的定义：$a^n$表示n个a相乘，本题中$(k^3)^2$的底数是$k^3$，指数是2，结合乘方的含义即可判断其表示的意义，再逐一验证各选项排除错误答案即可。
【解析】
根据乘方的定义：形如$a^n$的式子表示n个a相乘。
对于$(k^3)^2$，其底数为$k^3$，指数为2，因此它表示2个$k^3$相乘。
对各选项逐一分析：
A.2个$k^3$相加为$k^3 + k^3 = 2k^3$，与$(k^3)^2$意义不同，错误；
B.3个$k^2$相加为$k^2 + k^2 + k^2 = 3k^2$，与$(k^3)^2$意义不同，错误；
C.2个$k^3$相乘可表示为$(k^3)^2$，符合题意，正确；
D.5个$k$相乘为$k^5$，而根据幂的乘方法则$(k^3)^2 = k^{3×2}=k^6$，二者不相等，错误。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；幂的乘方
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对乘方含义的理解，要注意区分“几个相同数相加”和“几个相同数相乘”的不同表示形式，掌握幂的乘方的基本规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2.下列计算正确的是 （）

A.$(a^4)^3 = a^7$
B.$(a^3)^4 = a^{12}$
C.$(x^{n+1})^3 = x^{3n+1}$
D.$a^4 · a^4 = 2a^4$

2.B

【分析】
本题考查幂的相关运算，解题时需先回忆幂的乘方、同底数幂乘法的运算法则，再逐一计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比判断正误即可。首先明确两个核心法则：1.幂的乘方：底数不变，指数相乘；2.同底数幂相乘：底数不变，指数相加，注意要和合并同类项的规则区分开，不要混淆运算类型对应的指数运算方式。
【解析】
我们根据幂的运算法则逐一分析选项：
幂的乘方法则：$(a^m)^n = a^{mn}$（$m$、$n$为正整数）；同底数幂乘法法则：$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m$、$n$为正整数）。
选项A：$(a^4)^3 = a^{4×3}=a^{12} ≠ a^7$，计算错误；
选项B：$(a^3)^4 = a^{3×4}=a^{12}$，计算正确；
选项C：$(x^{n+1})^3 = x^{3×(n+1)}=x^{3n+3} ≠ x^{3n+1}$，计算错误；
选项D：$a^4 · a^4 = a^{4+4}=a^8 ≠ 2a^4$，$2a^4$是$a^4+a^4$的结果，本题是乘法运算，计算错误。
综上，只有B选项计算正确。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算类考题，核心是区分不同幂运算的法则，做题时要注意分辨运算类型：幂的乘方是指数相乘，同底数幂相乘是指数相加，不要和合并同类项的运算混淆，熟练掌握法则即可快速解题。
【难度系数】
0.85

3.若$(3^n)^2=3^8$，则$n=$。

3.4

【分析】
首先观察等式左侧是幂的乘方的形式，解题可按两步推进：第一步运用幂的乘方运算法则化简左侧式子，得到底数为3的幂；第二步利用“底数相同的两个幂相等时，对应指数也相等”的性质，列出关于n的一元一次方程，解方程即可求得n的值。
【解析】
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$a≠0$，m、n为正整数），化简等式左侧：
$(3^n)^2=3^{n×2}=3^{2n}$
结合已知条件$(3^n)^2=3^8$，可得$3^{2n}=3^8$。
两个同底数幂相等时指数相等，因此列方程：
$2n=8$
解得：$n=4$
【答案】
4
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的性质；一元一次方程求解
【点评】
本题是幂的乘方相关的基础习题，核心考查对幂的乘方运算法则的掌握，熟练记忆相关运算法则和同底数幂的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9

4.计算:
(1) $[(\frac{1}{3})^3]^2$；
(2) $(x^2)^n$；
(3) $(m^2)^3 · m$；
(4) $(a^4)^2 + (a^2)^4$。

4.(1)$\frac{1}{3^6}$ (2)$x^{2n}$ (3)$m^7$ (4)$2a^8$

【分析】
解题前先回忆幂的相关运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。解题时遵循先算乘方、再算乘除、最后算加减的运算顺序，逐个计算即可：
(1) 直接应用幂的乘方法则计算；
(2) 直接应用幂的乘方法则，将指数相乘即可；
(3) 先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法；
(4) 先分别计算两个幂的乘方，再合并同类项。
【解析】
(1) 根据幂的乘方法则：
$[(\frac{1}{3})^3]^2 = (\frac{1}{3})^{3×2} = (\frac{1}{3})^6 = \frac{1}{3^6}$
(2) 根据幂的乘方法则：
$(x^2)^n = x^{2×n} = x^{2n}$
(3) 先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法：
$(m^2)^3 · m = m^{2×3} · m = m^6 · m = m^{6+1} = m^7$
(4) 先算两个幂的乘方，再合并同类项：
$(a^4)^2 + (a^2)^4 = a^{4×2} + a^{2×4} = a^8 + a^8 = 2a^8$
【答案】
(1)$\frac{1}{3^6}$；(2)$x^{2n}$；(3)$m^7$；(4)$2a^8$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的乘法，合并同类项
【点评】
本题是幂的运算模块的基础常规题，重点考查对幂的乘方运算法则的掌握，以及幂的运算与整式加减的综合运用，熟练记忆并区分各类幂的运算法则是解题的核心。
【难度系数】
0.8

5.计算：$(3a)^2 = (\quad\quad)$

A.$5a$
B.$3a^2$
C.$6a^2$
D.$9a^2$

5.D

【分析】
本题考查积的乘方的运算，解题思路是运用积的乘方运算法则：积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。我们只需要把(3a)里的两个因式3和a分别进行平方运算，再将结果相乘即可得到答案。
【解析】
根据积的乘方运算法则计算：
$(3a)^2=3^2× a^2$
计算得$3^2=9$，因此$(3a)^2=9a^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算
【点评】
本题属于幂的运算类基础题，主要考查对积的乘方法则的掌握程度，解题时要注意不要遗漏对系数的乘方运算，避免错选其他选项。
【难度系数】
0.9

6.(2024·上海)计算：$(4x^2)^3=$.

6.$64x^6$

【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：首先观察算式是积的乘方形式，先运用积的乘方法则：积的乘方要把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，把原式拆成系数4的乘方和$x^2$的乘方两部分；再对$x^2$的乘方部分运用幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算指数部分；最后把两部分的结果相乘即可得到最终答案。
【解析】
根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n· b^n$，可得：
$(4x^2)^3=4^3×(x^2)^3$
计算系数部分：$4^3=4×4×4=64$
根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$(x^2)^3=x^{2×3}=x^6$
将两部分结果相乘得：$64× x^6=64x^6$
【答案】
$64x^6$
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，核心考查对积的乘方、幂的乘方运算法则的掌握程度，运算时需注意区分系数的乘方运算和指数的乘法运算，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.9

7.计算：
(1)$(xy^4)^5$；
(2)$(-\frac{1}{2}m^3n)^2$；
(3)$-(p^3q)^m$；
(4)$(-2×10^6)^3$。

7.(1)$x^5y^{20}$ (2)$\frac{1}{4}m^6n^2$ (3)$-p^{3m}q^m$ (4)$-8×10^{18}$

【分析】
这4道小题均考查幂的乘方与积的乘方的运算法则，解题思路如下：首先回忆两个核心运算法则：1.积的乘方法则：把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，公式为$(ab)^n=a^n b^n$（n为正整数）；2.幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，公式为$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数）。解题时逐题套用法则即可，注意带负号的因式乘方时要根据指数奇偶性判断最终符号，系数也要对应参与乘方，不要漏算。
【解析】
(1) 根据积的乘方和幂的乘方法则：
$(xy^4)^5=x^5 · (y^4)^5=x^5 y^{4×5}=x^5 y^{20}$
(2) 根据积的乘方和幂的乘方法则：
$(-\frac{1}{2}m^3n)^2=(-\frac{1}{2})^2 · (m^3)^2 · n^2=\frac{1}{4}m^{3×2}n^2=\frac{1}{4}m^6 n^2$
(3) 根据积的乘方和幂的乘方法则：
$-(p^3q)^m=-[(p^3)^m · q^m]=-p^{3m} q^m$
(4) 根据积的乘方和幂的乘方法则：
$(-2×10^6)^3=(-2)^3 · (10^6)^3=-8×10^{6×3}=-8×10^{18}$
【答案】
(1)$x^5y^{20}$ (2)$\frac{1}{4}m^6n^2$ (3)$-p^{3m}q^m$ (4)$-8×10^{18}$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，有理数乘方
【点评】
本题是幂运算的基础常规题型，核心考查对积的乘方、幂的乘方运算法则的熟练应用，易错点为负号的符号判断、指数运算错误、漏乘系数的乘方，解题时要注意每一个因式都要参与乘方运算。
【难度系数】
0.85

8.根据幂的乘方法则，$a^{12}$不可以写为 （）

A.$(a^6)^2$
B.$(a^2)^6$
C.$(a^3)^4$
D.$(a^6)^6$

8.D

【分析】
首先回忆幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，公式为$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n均为正整数）。解题时只需要将四个选项分别运用幂的乘方法则计算出结果，再和$a^{12}$对比，结果不相等的就是符合题意的选项。
【解析】
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$（m、n为正整数），逐个计算各选项：
A选项：$(a^6)^2=a^{6×2}=a^{12}$，与$a^{12}$相等，不符合题意；
B选项：$(a^2)^6=a^{2×6}=a^{12}$，与$a^{12}$相等，不符合题意；
C选项：$(a^3)^4=a^{3×4}=a^{12}$，与$a^{12}$相等，不符合题意；
D选项：$(a^6)^6=a^{6×6}=a^{36}$，与$a^{12}$不相等，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方运算
【点评】
本题属于幂的乘方的基础考查题，只要熟练掌握幂的乘方“底数不变，指数相乘”的运算规则，就能快速判断出正确答案。
【难度系数】
0.9

9.已知$a^m=6$,则$a^{2m}=$.

9.36

【分析】
解题的关键是逆用幂的乘方的运算法则，首先观察所求式$a^{2m}$的指数是$2m$，可变形为$m×2$，对应幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$的逆用形式，因此可以将$a^{2m}$转化为$(a^m)^2$，再代入已知的$a^m=6$计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的乘方的运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{mn}$，逆用该法则可得：
$a^{2m}=a^{m×2}=(a^m)^2$
已知$a^m=6$，将其代入上式得：
$(a^m)^2=6^2=36$
【答案】
36
【知识点】
幂的乘方运算法则；代数式代入求值
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查幂的乘方运算法则的灵活运用，掌握运算法则并能对所求式子进行合理变形是解题的核心。
【难度系数】
0.9

10.若$mn=-3$，则$m^2n^2=$。

10.9

【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，$m^2n^2$是两个因式分别平方后的乘积，符合积的乘方公式的结果形式，因此可以逆用积的乘方的运算性质，将$m^2n^2$转化为$(mn)^2$，再把已知条件$mn=-3$整体代入计算即可得到结果。
【解析】
根据积的乘方的逆运算：$a^2b^2=(ab)^2$，可得：
$m^2n^2=(mn)^2$
将$mn=-3$代入上式，得：
原式$=(-3)^2=9$
【答案】
9
【知识点】
积的乘方的逆用；有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对幂的运算性质的灵活运用，熟练掌握相关公式的正用、逆用是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.9

11.已知$(a^m)^n=3$.
(1)$(a^n)^m=$______;
(2)$(a^n)^{3m}=$______;
(3)$a^{4mn}=$______.

11.(1)3 (2)27 (3)81

【分析】
本题考查幂的乘方的相关运算，解题思路如下：首先根据幂的乘方法则“底数不变，指数相乘”，可由已知条件推出$a^{mn}=3$；再利用乘法交换律和幂的乘方的逆运算，将每一问的待求式变形为含$a^{mn}$的形式，最后整体代入$a^{mn}=3$计算即可得到结果。
【解析】
由幂的乘方法则得，已知$(a^m)^n=a^{m× n}=a^{mn}=3$。
(1) 根据幂的乘方法则和乘法交换律可得：$(a^n)^m=a^{n× m}=a^{mn}=3$；
(2) 根据幂的乘方法则和幂的乘方逆运算可得：$(a^n)^{3m}=a^{n×3m}=a^{3mn}=(a^{mn})^3=3^3=27$；
(3) 根据幂的乘方逆运算可得：$a^{4mn}=(a^{mn})^4=3^4=81$。
【答案】
(1)3；(2)27；(3)81
【知识点】
幂的乘方运算，整体代入求值，指数运算性质
【点评】
本题是幂的乘方的基础应用题型，核心是熟练掌握幂的乘方的运算法则，学会将待求式转化为已知条件的形式，通过整体代入简化计算，这类题型是幂运算章节的常规考点。
【难度系数】
0.85

12.(2025·大连普兰店区期末)计算：$0.25^{2023} × (-4)^{2025}$的结果是。

12.-16

【分析】
本题考查幂的运算的简便计算，解题思路如下：首先观察两个幂的底数，0.25与-4的乘积为-1，可凑整简化计算，因此考虑逆用积的乘方公式$a^n · b^n=(ab)^n$。由于两个幂的指数不同，先把指数较大的$(-4)^{2025}$拆分为$(-4)^{2023} × (-4)^2$，使得两个因式有相同的指数2023，再逆用积的乘方公式计算，最后计算剩余部分即可得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}原式&=0.25^{2023} × (-4)^{2023} × (-4)^2\\&=[0.25 × (-4)]^{2023} × 16\\&=(-1)^{2023} × 16\\&=-1 × 16\\&=-16\end{aligned}$
【答案】
-16
【知识点】
1. 积的乘方逆运算
2. 同底数幂乘法逆用
3. 有理数乘方运算
【点评】
本题是幂的运算的典型计算题，解题核心是观察底数的运算特征，通过拆分指数构造相同指数的因式，逆用积的乘方公式简化高次幂的计算，避免直接计算高次幂的复杂过程。
【难度系数】
0.7

13.若$k$为正整数，则$\underbrace{(k + k + \dots + k)}_{k个k}^k = \quad (\quad)$

A.$k^{2k}$
B.$k^{2k+1}$
C.$2k^k$
D.$k^{2 + k}$

13.A

【分析】
解题时先化简括号内的部分：括号内是k个k相加，根据乘法的意义，相同加数的和可转化为乘法计算，得到k×k也就是$k^2$；接下来计算$k^2$的k次方，结合幂的乘方“底数不变，指数相乘”的运算法则，就能求出最终结果，再对应选项选择即可。
【解析】
第一步，化简括号内的加法：k个k相加，和为$k× k=k^2$；
第二步，计算乘方：原式转化为$(k^2)^k$，根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$（a≠0，m、n为正整数），可得$(k^2)^k = k^{2× k}=k^{2k}$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
乘法的意义；幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题关键是先将括号内的连加运算转化为乘法得到幂的形式，再正确运用幂的乘方运算法则计算，掌握基础运算法则即可快速得分。
【难度系数】
0.8

14.如果$(a^{m}b^{n})^{3}=a^{9}b^{12}$，那么$m+n=$。

14.7

【分析】
解题时首先回忆幂的相关运算法则，第一步先利用积的乘方和幂的乘方法则化简等式左边的式子，第二步根据等式两边相同底数的幂的对应指数相等，分别列出关于m、n的一元一次方程，第三步求解方程得到m、n的值，最后代入计算m+n的结果即可。
【解析】
先运用积的乘方和幂的乘方法则展开等式左边：
$(a^{m}b^{n})^{3}=(a^{m})^{3}·(b^{n})^{3}=a^{3m}b^{3n}$
已知$(a^{m}b^{n})^{3}=a^{9}b^{12}$，因此可得$a^{3m}b^{3n}=a^{9}b^{12}$。
根据等式两边相同底数的幂的指数相等，可得：
$3m=9$，解得$m=3$；
$3n=12$，解得$n=4$。
所以$m+n=3+4=7$。
【答案】
7
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查幂的运算法则的灵活应用，解题的关键是熟练掌握积的乘方、幂的乘方的运算规则，准确化简式子后对应指数求解参数，计算量小，掌握基础知识点即可得分。
【难度系数】
0.8