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15.已知$10^a=2,10^b=3$,则$10^{2a+3b}=$
108
.答案
15.108
解析
【分析】
解题时首先观察所求式子的指数是和的形式，需联想到逆用同底数幂的乘法法则，将指数相加转化为同底数幂相乘，即把$10^{2a+3b}$拆分为$10^{2a} × 10^{3b}$；再观察拆分后两个幂的指数是倍数形式，逆用幂的乘方法则，将$10^{2a}$变形为$(10^a)^2$，$10^{3b}$变形为$(10^b)^3$，最后代入已知的$10^a=2$、$10^b=3$计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的运算法则逆用计算：
第一步，逆用同底数幂的乘法法则：
$10^{2a+3b}=10^{2a} × 10^{3b}$
第二步，逆用幂的乘方法则：
$10^{2a}=(10^a)^2$，$10^{3b}=(10^b)^3$
第三步，代入已知条件$10^a=2$，$10^b=3$计算：
原式$=(10^a)^2 × (10^b)^3 = 2^2 × 3^3 = 4 × 27 = 108$
【答案】
108
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，幂的运算逆用
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂的相关运算性质的灵活应用，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则，能根据所求式子的结构特点正确逆用规则进行变形，计算时注意指数运算不要出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察所求式子的指数是和的形式，需联想到逆用同底数幂的乘法法则，将指数相加转化为同底数幂相乘，即把$10^{2a+3b}$拆分为$10^{2a} × 10^{3b}$；再观察拆分后两个幂的指数是倍数形式，逆用幂的乘方法则，将$10^{2a}$变形为$(10^a)^2$，$10^{3b}$变形为$(10^b)^3$，最后代入已知的$10^a=2$、$10^b=3$计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的运算法则逆用计算：
第一步，逆用同底数幂的乘法法则：
$10^{2a+3b}=10^{2a} × 10^{3b}$
第二步，逆用幂的乘方法则：
$10^{2a}=(10^a)^2$，$10^{3b}=(10^b)^3$
第三步，代入已知条件$10^a=2$，$10^b=3$计算：
原式$=(10^a)^2 × (10^b)^3 = 2^2 × 3^3 = 4 × 27 = 108$
【答案】
108
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方，幂的运算逆用
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂的相关运算性质的灵活应用，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则，能根据所求式子的结构特点正确逆用规则进行变形，计算时注意指数运算不要出错。
【难度系数】
0.8
[变式1]（2025·大连高新区期末）若$a^m=5$，$b^m=9$，则$(ab)^{2m}=$
2025
。答案
【变式1】2025
解析
【分析】
本题可通过逆用幂的运算性质求解，解题思路如下：首先观察所求式子$(ab)^{2m}$，先利用积的乘方性质将其拆分为同指数幂相乘的形式，再逆用幂的乘方性质，将得到的式子转化为含已知$a^m$、$b^m$的形式，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据积的乘方运算性质$(ab)^n=a^n b^n$（$n$为正整数），可得：
$(ab)^{2m}=a^{2m}· b^{2m}$
再根据幂的乘方运算性质$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$为正整数），逆用该性质可得$a^{2m}=(a^m)^2$，$b^{2m}=(b^m)^2$，因此：
$(ab)^{2m}=(a^m)^2· (b^m)^2$
将$a^m=5$，$b^m=9$代入上式计算：
原式$=5^2×9^2=25×81=2025$
【答案】
2025
【知识点】
积的乘方；幂的乘方；幂的运算逆用
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，重点考查幂的运算性质的灵活运用，熟练掌握相关公式的变形规则是解题的关键，计算时注意指数的对应关系即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
本题可通过逆用幂的运算性质求解，解题思路如下：首先观察所求式子$(ab)^{2m}$，先利用积的乘方性质将其拆分为同指数幂相乘的形式，再逆用幂的乘方性质，将得到的式子转化为含已知$a^m$、$b^m$的形式，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据积的乘方运算性质$(ab)^n=a^n b^n$（$n$为正整数），可得：
$(ab)^{2m}=a^{2m}· b^{2m}$
再根据幂的乘方运算性质$(a^m)^n=a^{mn}$（$m,n$为正整数），逆用该性质可得$a^{2m}=(a^m)^2$，$b^{2m}=(b^m)^2$，因此：
$(ab)^{2m}=(a^m)^2· (b^m)^2$
将$a^m=5$，$b^m=9$代入上式计算：
原式$=5^2×9^2=25×81=2025$
【答案】
2025
【知识点】
积的乘方；幂的乘方；幂的运算逆用
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，重点考查幂的运算性质的灵活运用，熟练掌握相关公式的变形规则是解题的关键，计算时注意指数的对应关系即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
[变式2]（2024·沈阳虹桥中学月考）若$3m + 2n - 6 = 0$，则$8^m · 4^n$的值是
64
。答案
【变式2】64
解析
【分析】
首先观察已知等式和所求代数式的特点，已知等式可变形得到$3m+2n$的数值，所求的$8^m · 4^n$中底数8和4都可转化为以2为底的幂，因此先利用幂的乘方法则将两个幂转化为同底数幂，再根据同底数幂的乘法法则合并指数，最后整体代入$3m+2n$的值计算即可。
【解析】
解：由$3m + 2n - 6 = 0$，可得$3m + 2n = 6$。
根据幂的乘方法则$(a^b)^c=a^{bc}$，对所求式子变形：
$8^m=(2^3)^m=2^{3m}$，$4^n=(2^2)^n=2^{2n}$
再根据同底数幂的乘法法则$a^b·a^c=a^{b+c}$，可得：
$8^m · 4^n=2^{3m}·2^{2n}=2^{3m+2n}$
将$3m+2n=6$代入上式，得：
原式$=2^6=64$
【答案】
64
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的乘法，整体代入求值
【点评】
本题是幂的运算的典型基础题，解题核心是将不同底数的幂统一为同底数幂，结合整体代入思想快速求解，熟练掌握幂的相关运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先观察已知等式和所求代数式的特点，已知等式可变形得到$3m+2n$的数值，所求的$8^m · 4^n$中底数8和4都可转化为以2为底的幂，因此先利用幂的乘方法则将两个幂转化为同底数幂，再根据同底数幂的乘法法则合并指数，最后整体代入$3m+2n$的值计算即可。
【解析】
解：由$3m + 2n - 6 = 0$，可得$3m + 2n = 6$。
根据幂的乘方法则$(a^b)^c=a^{bc}$，对所求式子变形：
$8^m=(2^3)^m=2^{3m}$，$4^n=(2^2)^n=2^{2n}$
再根据同底数幂的乘法法则$a^b·a^c=a^{b+c}$，可得：
$8^m · 4^n=2^{3m}·2^{2n}=2^{3m+2n}$
将$3m+2n=6$代入上式，得：
原式$=2^6=64$
【答案】
64
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂的乘法，整体代入求值
【点评】
本题是幂的运算的典型基础题，解题核心是将不同底数的幂统一为同底数幂，结合整体代入思想快速求解，熟练掌握幂的相关运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
16.若一个正方体盒子的棱长为$5×10^{2}\ \mathrm{mm}$，则这个正方体盒子的体积为
$1.25×10^8$
$\mathrm{mm}^3$.(结果用科学记数法表示)答案
16.$1.25×10^8$
解析
【分析】要计算正方体盒子的体积，首先回忆正方体体积公式为棱长的立方，已知棱长是用科学记数法表示的数，所以先列式为棱长的三次方，再运用积的乘方、幂的乘方的运算法则计算，最后把结果整理为符合要求的科学记数法形式即可。
【解析】
正方体的体积公式为$ V = a^3 $（其中$ a $为正方体的棱长）。
将棱长$ a=5×10^2\ \mathrm{mm} $代入公式，得：
$ V=(5×10^2)^3 $
根据积的乘方法则$ (ab)^n=a^n b^n $，可得：
$ V=5^3×(10^2)^3 $
分别计算乘方：
$ 5^3=125 $，根据幂的乘方法则$ (a^m)^n=a^{mn} $，得$ (10^2)^3=10^{2×3}=10^6 $
所以$ V=125×10^6 $
将结果转化为科学记数法（$ 1≤ a＜10 $）的形式：
$ 125×10^6=1.25×10^2×10^6=1.25×10^8 $
【答案】$ 1.25×10^8 $
【知识点】正方体体积计算；积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】本题是幂的运算性质结合几何体积计算的基础题，解题的核心是正确运用积的乘方、幂的乘方法则进行运算，同时注意最终结果需符合科学记数法的规范要求。
【难度系数】0.8
【解析】
正方体的体积公式为$ V = a^3 $（其中$ a $为正方体的棱长）。
将棱长$ a=5×10^2\ \mathrm{mm} $代入公式，得：
$ V=(5×10^2)^3 $
根据积的乘方法则$ (ab)^n=a^n b^n $，可得：
$ V=5^3×(10^2)^3 $
分别计算乘方：
$ 5^3=125 $，根据幂的乘方法则$ (a^m)^n=a^{mn} $，得$ (10^2)^3=10^{2×3}=10^6 $
所以$ V=125×10^6 $
将结果转化为科学记数法（$ 1≤ a＜10 $）的形式：
$ 125×10^6=1.25×10^2×10^6=1.25×10^8 $
【答案】$ 1.25×10^8 $
【知识点】正方体体积计算；积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】本题是幂的运算性质结合几何体积计算的基础题，解题的核心是正确运用积的乘方、幂的乘方法则进行运算，同时注意最终结果需符合科学记数法的规范要求。
【难度系数】0.8
17.计算:
(1)$(-a)^2 · (a^2)^3 · (-a)$；
(2)$(-x^4 y^2)^3 - (-\dfrac{2}{3}x^6 y^3)^2$；
(3)$[(a-b)^2]^3 · (a-b) · [(a-b)^m]^2$；
(4)$(\dfrac{2}{3})^{2024} × (-0.5)^{2024} × (-3)^{2025}$。
(1)$(-a)^2 · (a^2)^3 · (-a)$；
(2)$(-x^4 y^2)^3 - (-\dfrac{2}{3}x^6 y^3)^2$；
(3)$[(a-b)^2]^3 · (a-b) · [(a-b)^m]^2$；
(4)$(\dfrac{2}{3})^{2024} × (-0.5)^{2024} × (-3)^{2025}$。
答案
17.(1)$-a^9$ (2)$-\frac{13}{9}x^{12}y^6$ (3)$(a-b)^{7+2m}$ (4)$-3$
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：首先回忆幂的运算相关法则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的乘方，底数不变，指数相乘；③积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，必要时可逆用积的乘方法则简化计算。运算时遵循先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序，遇到负号要先判断符号的正负，第(3)问可将$(a-b)$看作整体进行运算，第(4)问逆用积的乘方简化计算。
【解析】
(1) 先分别化简各幂：
$(-a)^2 = a^2$，$(a^2)^3 = a^{2×3}=a^6$，
原式$= a^2 · a^6 · (-a) = -a^{2+6+1} = -a^9$
(2) 先计算积的乘方，再合并同类项：
$(-x^4 y^2)^3 = (-1)^3 · (x^4)^3 · (y^2)^3 = -x^{12}y^6$
$(-\dfrac{2}{3}x^6 y^3)^2 = (-\dfrac{2}{3})^2 · (x^6)^2 · (y^3)^2 = \dfrac{4}{9}x^{12}y^6$
原式$= -x^{12}y^6 - \dfrac{4}{9}x^{12}y^6 = ( -1 - \dfrac{4}{9})x^{12}y^6 = -\dfrac{13}{9}x^{12}y^6$
(3) 将$(a-b)$看作整体，先算幂的乘方，再算同底数幂乘法：
$[(a-b)^2]^3 = (a-b)^{2×3} = (a-b)^6$，$[(a-b)^m]^2 = (a-b)^{2m}$
原式$= (a-b)^6 · (a-b) · (a-b)^{2m} = (a-b)^{6+1+2m} = (a-b)^{7+2m}$
(4) 逆用积的乘方法则，先拆分指数相同的项：
$(-3)^{2025} = (-3)^{2024} × (-3)$，$(-0.5)^{2024}=(-\dfrac{1}{2})^{2024}$
原式$= (\dfrac{2}{3})^{2024} × (-\dfrac{1}{2})^{2024} × (-3)^{2024} × (-3)$
$= [\dfrac{2}{3} × (-\dfrac{1}{2}) × (-3)]^{2024} × (-3)$
$= 1^{2024} × (-3) = -3$
【答案】
(1)$-a^9$ (2)$-\frac{13}{9}x^{12}y^6$ (3)$(a-b)^{7+2m}$ (4)$-3$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方运算，积的乘方运算
【点评】
本题是幂运算的常规综合练习题，核心考查对幂的各类运算法则的掌握程度，做题时需注意运算顺序，准确判断负号的正负，灵活运用整体思想和积的乘方的逆运算简化计算，避免因指数计算错误、符号判断失误丢分。
【难度系数】
0.7
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：首先回忆幂的运算相关法则：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的乘方，底数不变，指数相乘；③积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，必要时可逆用积的乘方法则简化计算。运算时遵循先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序，遇到负号要先判断符号的正负，第(3)问可将$(a-b)$看作整体进行运算，第(4)问逆用积的乘方简化计算。
【解析】
(1) 先分别化简各幂：
$(-a)^2 = a^2$，$(a^2)^3 = a^{2×3}=a^6$，
原式$= a^2 · a^6 · (-a) = -a^{2+6+1} = -a^9$
(2) 先计算积的乘方，再合并同类项：
$(-x^4 y^2)^3 = (-1)^3 · (x^4)^3 · (y^2)^3 = -x^{12}y^6$
$(-\dfrac{2}{3}x^6 y^3)^2 = (-\dfrac{2}{3})^2 · (x^6)^2 · (y^3)^2 = \dfrac{4}{9}x^{12}y^6$
原式$= -x^{12}y^6 - \dfrac{4}{9}x^{12}y^6 = ( -1 - \dfrac{4}{9})x^{12}y^6 = -\dfrac{13}{9}x^{12}y^6$
(3) 将$(a-b)$看作整体，先算幂的乘方，再算同底数幂乘法：
$[(a-b)^2]^3 = (a-b)^{2×3} = (a-b)^6$，$[(a-b)^m]^2 = (a-b)^{2m}$
原式$= (a-b)^6 · (a-b) · (a-b)^{2m} = (a-b)^{6+1+2m} = (a-b)^{7+2m}$
(4) 逆用积的乘方法则，先拆分指数相同的项：
$(-3)^{2025} = (-3)^{2024} × (-3)$，$(-0.5)^{2024}=(-\dfrac{1}{2})^{2024}$
原式$= (\dfrac{2}{3})^{2024} × (-\dfrac{1}{2})^{2024} × (-3)^{2024} × (-3)$
$= [\dfrac{2}{3} × (-\dfrac{1}{2}) × (-3)]^{2024} × (-3)$
$= 1^{2024} × (-3) = -3$
【答案】
(1)$-a^9$ (2)$-\frac{13}{9}x^{12}y^6$ (3)$(a-b)^{7+2m}$ (4)$-3$
【知识点】
同底数幂的乘法，幂的乘方运算，积的乘方运算
【点评】
本题是幂运算的常规综合练习题，核心考查对幂的各类运算法则的掌握程度，做题时需注意运算顺序，准确判断负号的正负，灵活运用整体思想和积的乘方的逆运算简化计算，避免因指数计算错误、符号判断失误丢分。
【难度系数】
0.7
18.【新考法·阅读理解】阅读下面的解题过程：
试比较$2^{100}$与$3^{75}$的大小.
解:因为$2^{100}=(2^{4})^{25}=16^{25}$，$3^{75}=(3^{3})^{25}=27^{25}$，而$16＜27$，所以$2^{100}＜3^{75}$.
根据上述解答过程解决问题：
$3^{50},4^{40},5^{30}$之间的大小关系为
（用“＜”连接）
试比较$2^{100}$与$3^{75}$的大小.
解:因为$2^{100}=(2^{4})^{25}=16^{25}$，$3^{75}=(3^{3})^{25}=27^{25}$，而$16＜27$，所以$2^{100}＜3^{75}$.
根据上述解答过程解决问题：
$3^{50},4^{40},5^{30}$之间的大小关系为
$5^{30}＜3^{50}＜4^{40}$
.（用“＜”连接）
答案
18.$5^{30}＜3^{50}＜4^{40}$
解析
【分析】
我们可以参考题中给出的比较幂大小的方法，逆用幂的乘方公式$a^{mn}=(a^m)^n$，把不同指数的幂转化为同指数的幂，再比较底数大小即可。首先观察三个幂的指数50、40、30，它们的最大公因数是10，因此我们将三个幂的指数都统一为10，当指数相同时，底数越大，对应的幂就越大，进而就能判断三个幂的大小关系。
【解析】
解：利用幂的乘方的逆运算变形得：
$3^{50}=(3^5)^{10}=243^{10}$，
$4^{40}=(4^4)^{10}=256^{10}$，
$5^{30}=(5^3)^{10}=125^{10}$，
∵ 同指数的正整数幂比较大小，底数越大，幂越大，且$125＜243＜256$，
∴ $125^{10}＜243^{10}＜256^{10}$，
即$5^{30}＜3^{50}＜4^{40}$。
【答案】
$5^{30}＜3^{50}＜4^{40}$
【知识点】
1. 幂的乘方的逆运算
2. 同指数幂大小比较
【点评】
本题属于阅读理解类新考法题目，首先要读懂示例的解题逻辑，抓住“逆用幂的乘方统一指数”这一核心技巧，解题的关键是找到多个指数的最大公因数，将不同指数的幂转化为同指数幂后，仅需比较底数大小即可得到结果。
【难度系数】
0.7
我们可以参考题中给出的比较幂大小的方法，逆用幂的乘方公式$a^{mn}=(a^m)^n$，把不同指数的幂转化为同指数的幂，再比较底数大小即可。首先观察三个幂的指数50、40、30，它们的最大公因数是10，因此我们将三个幂的指数都统一为10，当指数相同时，底数越大，对应的幂就越大，进而就能判断三个幂的大小关系。
【解析】
解：利用幂的乘方的逆运算变形得：
$3^{50}=(3^5)^{10}=243^{10}$，
$4^{40}=(4^4)^{10}=256^{10}$，
$5^{30}=(5^3)^{10}=125^{10}$，
∵ 同指数的正整数幂比较大小，底数越大，幂越大，且$125＜243＜256$，
∴ $125^{10}＜243^{10}＜256^{10}$，
即$5^{30}＜3^{50}＜4^{40}$。
【答案】
$5^{30}＜3^{50}＜4^{40}$
【知识点】
1. 幂的乘方的逆运算
2. 同指数幂大小比较
【点评】
本题属于阅读理解类新考法题目，首先要读懂示例的解题逻辑，抓住“逆用幂的乘方统一指数”这一核心技巧，解题的关键是找到多个指数的最大公因数，将不同指数的幂转化为同指数幂后，仅需比较底数大小即可得到结果。
【难度系数】
0.7
19.【新考法·代数推理】已知$2^n = a$，$5^n = b$，$20^n = c$。
(1)$200^n$的值为
(2)试探究$a^2,b,c$之间有什么关系。
(1)$200^n$的值为
$abc$
；(用含$a,b,c$的式子表示)(2)试探究$a^2,b,c$之间有什么关系。
答案
19.(1)$abc$ (2)$a^2b=c$
解析
【分析】
(1) 要求$200^n$的值，可先将底数200拆分为$2×5×20$，再利用积的乘方的逆运算$(xyz)^n=x^n·y^n·z^n$，代入已知的$2^n=a$、$5^n=b$、$20^n=c$即可求解；
(2) 探究$a^2,b,c$的关系时，先将$20^n$的底数20拆分为$2^2×5$，分别用幂的乘方、积的乘方的运算性质展开，再结合已知条件替换即可推导出三者的数量关系。
【解析】
(1) 将200拆分为$2×5×20$，根据积的乘方运算性质：
$200^n=(2×5×20)^n=2^n·5^n·20^n$
代入$2^n = a$，$5^n = b$，$20^n = c$，可得$200^n=abc$。
(2) 将20拆分为$2^2×5$，根据积的乘方、幂的乘方运算性质：
$20^n=(2^2×5)^n=(2^2)^n·5^n=(2^n)^2·5^n$
代入$2^n = a$，$5^n = b$，$20^n = c$，可得$c=a^2b$。
【答案】
(1)$abc$；(2)$a^2b=c$
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、代数式转化
【点评】
本题是幂的运算的典型应用题型，核心考查幂的运算公式的正逆运用，解题关键是将所求式子的底数合理拆分为已知条件对应的底数组合，熟练掌握幂的各类运算性质是解题的基础。
【难度系数】
0.8
(1) 要求$200^n$的值，可先将底数200拆分为$2×5×20$，再利用积的乘方的逆运算$(xyz)^n=x^n·y^n·z^n$，代入已知的$2^n=a$、$5^n=b$、$20^n=c$即可求解；
(2) 探究$a^2,b,c$的关系时，先将$20^n$的底数20拆分为$2^2×5$，分别用幂的乘方、积的乘方的运算性质展开，再结合已知条件替换即可推导出三者的数量关系。
【解析】
(1) 将200拆分为$2×5×20$，根据积的乘方运算性质：
$200^n=(2×5×20)^n=2^n·5^n·20^n$
代入$2^n = a$，$5^n = b$，$20^n = c$，可得$200^n=abc$。
(2) 将20拆分为$2^2×5$，根据积的乘方、幂的乘方运算性质：
$20^n=(2^2×5)^n=(2^2)^n·5^n=(2^n)^2·5^n$
代入$2^n = a$，$5^n = b$，$20^n = c$，可得$c=a^2b$。
【答案】
(1)$abc$；(2)$a^2b=c$
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、代数式转化
【点评】
本题是幂的运算的典型应用题型，核心考查幂的运算公式的正逆运用，解题关键是将所求式子的底数合理拆分为已知条件对应的底数组合，熟练掌握幂的各类运算性质是解题的基础。
【难度系数】
0.8
