19.(6分)(2024·湖州德清)先化简再求值:$(1-\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{x-2}{x^2-1}$,其中$x=-\dfrac{1}{5}$。

原式$=x+1$,当$x=-\frac{1}{5}$时,原式$=\frac{4}{5}$。

20.(6分)已知:公式$R=\frac{r_{1}· r_{2}}{r_{1}+r_{2}}$,其中$R≠r_{1}$,请用$R,r_{1}$表示$r_{2}$。

因为$R=\frac{r_1·r_2}{r_1+r_2}$,所以$R·(r_1+r_2)=r_1·r_2$,所以$R·r_1+R·r_2=r_1·r_2$,所以$R·r_2-r_1·r_2=-R·r_1$,所以$r_2(R-r_1)=-R·r_1$,因为$R≠r_1$,所以$r_2=-\frac{R·r_1}{R-r_1}$。

21.(8分)(2024·绍兴越城、上虞)某超市有甲、乙两种糖果,己知甲种糖果的进价为18元/千克,乙种糖果的进价为6元/千克,1千克甲种糖果的售价比1千克乙种糖果的售价高20元。若顾客花150元购买的甲种糖果的千克数与花50元购买的乙种糖果的千克数相同。
(1)求甲、乙两种糖果的售价。
(2)为了促销,超市对甲种糖果进行九折销售。某顾客同时购买甲种糖果和乙种糖果若干千克,超市共获毛利80元。则共有几种购买方案?(注:糖果质量为正整数)

(1)设甲种糖果的售价为$x$元,则乙种糖果的售价为$(x-20)$元。由题意得$\frac{150}{x}=\frac{50}{x-20}$。解得$x=30$,经检验,$x=30$是原方程的解,且符合题意,所以$x-20=10$。答:甲种糖果的售价为30元,乙种糖果的售价为10元。
(2)设购买甲种糖果$m$千克,购买乙种糖果$n$千克。由题意得$(30×0.9-18)m+(10-6)n=80$,整理得$n=20-\frac{9}{4}m$,因为$m,n$均为正整数,所以$\begin{cases}m=4,\\n=11\end{cases}$或$\begin{cases}m=8,\\n=2\end{cases}$,所以共有2种购买方案。

22.(10分)如果两个分式$M$与$N$的和为常数$k$，且$k$为正整数，则称$M$与$N$互为“和整分式”，常数$k$称为“和整值”。如分式$M=\dfrac{x}{x+1},N=\dfrac{1}{x+1},M+N=\dfrac{x+1}{x+1}=1$，则$M$与$N$互为“和整分式”，“和整值”$k=1$。
(1)已知分式$A=\dfrac{x-1}{x-4},B=\dfrac{x-7}{x-4}$，判断$A$与$B$是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”$k$。
(2)已知分式$C=\dfrac{4x-4}{x-2},D=\dfrac{G}{x^2-4},C$与$D$互为“和整分式”，且“和整值”$k=4$，若$x$为正整数，分式$D$的值也为正整数。
①求$G$所代表的代数式；
②求$x$的值。

(1)因为$A=\frac{x-1}{x-4},B=\frac{x-7}{x-4}$,所以$A+B=\frac{x-1}{x-4}+\frac{x-7}{x-4}=\frac{2x-8}{x-4}=\frac{2(x-4)}{x-4}=2$;所以$A$与$B$互为“和整分式”,“和整值”$k=2$。
(2)①因为$C=\frac{4x-4}{x-2},D=\frac{G}{x^2-4}$,所以$C+D=\frac{4x-4}{x-2}+\frac{G}{x^2-4}=\frac{(4x-4)(x+2)}{(x+2)(x-2)}+\frac{G}{(x+2)(x-2)}=\frac{4x^2+4x-8+G}{(x+2)(x-2)}$,因为$C$与$D$互为“和整分式”且“和整值”$k=4$,所以$\frac{4x^2+4x-8+G}{(x+2)(x-2)}=4$,$4x^2+4x-8+G=4(x^2-4)$,得$G=-4x-8$。
②因为$D=\frac{G}{x^2-4}=\frac{-4x-8}{x^2-4}=\frac{-4(x+2)}{(x+2)(x-2)}=-\frac{4}{x-2}$,且若$x$为正整数,分式$D$的值也为正整数,所以$x-2=-1$,所以$x=1$。