9. 已知点A,B在数轴上且点A在点B的右侧,它们所对应的数分别是$\frac{6}{x-2}$和$\frac{x-1}{2-x}$,若AB的长为整数,则整数$x$的值为 ………………………………………………………………………………………………()

A.1
B.9
C.3或9
D.1或7

C 解析:因为在数轴上点A,B所对应的数分别是$\frac{6}{x-2}$和$\frac{x-1}{2-x}$,且点A在点B的右侧,所以$AB=\frac{6}{x-2}-\frac{x-1}{2-x}=\frac{6}{x-2}+\frac{x-1}{x-2}=\frac{x-5}{x-2}=\frac{x-2+7}{x-2}=1+\frac{7}{x-2}$,因为AB的长为整数,所以$x=3$或9。故选C。

10. 已知$a,b$为实数且满足$a≠ -1,b≠ -1$，设$M=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}$，$N=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}$，则下列两个结论（）
①$ab=1$时，$M=N$，$ab＞1$时，$M＞N$；$ab＜1$时，$M＜N$；②若$a+b=0$，则$M· N≤ 0$。

A.①②都对
B.①对②错
C.①错②对
D.①②都错

C 解析:因为$M=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1},N=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}$,所以$M-N=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1})=\frac{a-1}{a+1}+\frac{b-1}{b+1}=\frac{(a-1)(b+1)+(b-1)(a+1)}{(a+1)(b+1)}=\frac{2ab-2}{(a+1)(b+1)}$,①当$ab=1$时,$M-N=0$,所以$M=N$,当$ab＞1$时,所以$2ab＞2$,所以$2ab-2＞0$,$a,b$可能同正或同负,$(a+1)(b+1)＞0$或$(a+1)(b+1)＜0$,所以$M-N＞0$或$M-N＜0$,所以$M＞N$或$M＜N$;当$ab＜1$时,$a,b$可能同号,也可能异号,所以$(a+1)(b+1)＞0$或$(a+1)(b+1)＜0$,因为$2ab-2＜0$,所以$M＞N$或$M＜N$;所以①不正确;②$M·N=(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1})·(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1})=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{a+b}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)^2}$,因为$a+b=0$,所以原式$=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{b}{(b+1)^2}=\frac{a(b+1)^2+b(a+1)^2}{(a+1)^2(b+1)^2}=\frac{4ab}{(a+1)^2(b+1)^2}$。因为$a≠-1,b≠-1$,所以$(a+1)^2(b+1)^2＞0$,因为$a+b=0$,所以$ab≤0$,$M·N≤0$。所以②对。故选C。

11.(2024·衢州开化、江山)若分式$\dfrac{3}{m - 2}$有意义，则实数$m$的取值范围是________。

$m≠2$

12.(2024·丽水莲都、缙云)分式$\frac{x^2 - 9}{x + 3}$的值为零，则$x=$。

3

13. 已知$\dfrac{3x-2}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{M}{x-1}-\dfrac{N}{x+2}$，其中$M,N$是常数，则$M-2N=$______。

$\frac{17}{3}$

14. 式子$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$称为二阶行列式，规定它的运算法则为$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，则二阶行列式$\begin{vmatrix} a^2 - a & 1 \\ a & \frac{1}{a^2 - 1} \end{vmatrix}=$ ______ 。

$-\frac{a^2}{a+1}$

15.(2024·宁波余姚)已知关于$x$的方程$\frac{1}{x-2}+\frac{t}{x+2}=0$无解，则$t$的值是$\underline{\hspace{5em}}$。
16.若$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}$，则$\frac{2a+2b+c}{a+b-3c}=\underline{\hspace{5em}}$。

15.$-1或0$ 解析:去分母,得$x+2+t(x-2)=0$,整理,得$(t+1)x=2t-2$,当$t=-1$时,整式方程无解;当$t≠-1$时,分式方程有增根$x=-2$或$x=2$。当$x=-2$时,$-2+2+t(-2-2)=0$,解得$t=0$;当$x=2$时,$2+2+t(2-2)=0$,此情况不存在。综上所述,$t$的值是$-1$或$0$。
16.$\frac{1}{4}或-5$ 解析:设$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=k$,则$a=k(b+c),b=k(c+a),c=k(a+b)$,$a+b+c=2k(a+b+c)$。当$a+b+c≠0$时,$k=\frac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\frac{1}{2}$,即$c=\frac{1}{2}(a+b)$,代入原式$=\frac{2a+2b+\frac{1}{2}(a+b)}{a+b-\frac{3}{2}(a+b)}=-5$;当$a+b+c=0$时,$c=-(a+b)$,代入原式$=\frac{2a+2b-(a+b)}{a+b+3(a+b)}=\frac{1}{4}$。故答案为$\frac{1}{4}$或$-5$。

三、解答题(共 56 分)
17.(6 分)解下列分式方程:
(1)(2024·绍兴越城、上虞)$\frac{2x-1}{x+6}=\frac{1}{3};$
(2)(2024·宁波市南三县)$\frac{3-x}{x-4}+\frac{1}{4-x}=1$。

(1)$x=\frac{9}{5}$。
(2)$x=3$。

18.(6分)(2024·金华浦江)已知分式方程$\frac{2-x}{x-3}=\frac{1}{3-x}-2$，框中是小明对该方程的解法，请判断他的解法正确与否，正确的在框内打√，错误在框内打×，若解法错误，请给出正确解法。
小明:$\frac{2-x}{x-3}=\frac{1}{3-x}-2$。
解:去分母,得$2-x=1-2(x-3)$,
去括号,得$2-x=1-2x+6$,
化简,得$x=5$。

× 去分母,得$2-x=-1-2(x-3)$,去括号,得$2-x=-1-2x+6$,移项,得$x=-1+6-2$,化简,得$x=3$,经检验,$x=3$是增根,所以原方程无解。