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例4 试确定实数$a$的取值范围，使不等式组$\begin{cases} \dfrac{x}{2}+\dfrac{x+1}{3}＞0, \\ x+\dfrac{5a+4}{3}＞\dfrac{4}{3}(x+1)+a \end{cases}$恰有两个整数解。
解.
分析:先求出不等式组的解集,再根据$x$恰有两个整数解求出$a$的取值范围即可.
解:$\begin{cases} \dfrac{x}{2}+\dfrac{x+1}{3}＞0,① \\ x+\dfrac{5a+4}{3}＞\dfrac{4}{3}(x+1)+a.② \end{cases}$
解不等式①,得$x＞-\dfrac{2}{5}$.
解不等式②,得$x＜2a$.
由题意可知该不等式组有解,则其解集为$-\dfrac{2}{5}＜x＜2a$.
因为原不等式组有两个整数解,而大于$-\dfrac{2}{5}$的最小的两个整数分别为0和1.
所以要使$-\dfrac{2}{5}＜x＜2a$的整数解为0,1,则右端$2a$的值应在1(不包括1)和2(包括2)之间,即$1＜2a≤2$.
所以$\dfrac{1}{2}＜a≤1$.
解.
分析:先求出不等式组的解集,再根据$x$恰有两个整数解求出$a$的取值范围即可.
解:$\begin{cases} \dfrac{x}{2}+\dfrac{x+1}{3}＞0,① \\ x+\dfrac{5a+4}{3}＞\dfrac{4}{3}(x+1)+a.② \end{cases}$
解不等式①,得$x＞-\dfrac{2}{5}$.
解不等式②,得$x＜2a$.
由题意可知该不等式组有解,则其解集为$-\dfrac{2}{5}＜x＜2a$.
因为原不等式组有两个整数解,而大于$-\dfrac{2}{5}$的最小的两个整数分别为0和1.
所以要使$-\dfrac{2}{5}＜x＜2a$的整数解为0,1,则右端$2a$的值应在1(不包括1)和2(包括2)之间,即$1＜2a≤2$.
所以$\dfrac{1}{2}＜a≤1$.
答案
解：
$\begin{cases} \dfrac{x}{2}+\dfrac{x+1}{3}＞0 \quad ① \\x+\dfrac{5a+4}{3}＞\dfrac{4}{3}(x+1)+a \quad ②\end{cases}$
解不等式①，去分母得$3x + 2(x+1) ＞ 0$，
化简得$5x + 2 ＞ 0$，
解得$x ＞ -\dfrac{2}{5}$。
解不等式②，去分母得$3x + 5a + 4 ＞ 4(x+1) + 3a$，
化简得$-x ＞ -2a$，
解得$x ＜ 2a$。
所以该不等式组的解集为$-\dfrac{2}{5} ＜ x ＜ 2a$。
要使不等式组恰有两个整数解，结合$x ＞ -\dfrac{2}{5}$可知这两个整数解为0和1，因此$1 ＜ 2a ≤ 2$，
解得$\dfrac{1}{2} ＜ a ≤ 1$。
$\begin{cases} \dfrac{x}{2}+\dfrac{x+1}{3}＞0 \quad ① \\x+\dfrac{5a+4}{3}＞\dfrac{4}{3}(x+1)+a \quad ②\end{cases}$
解不等式①，去分母得$3x + 2(x+1) ＞ 0$，
化简得$5x + 2 ＞ 0$，
解得$x ＞ -\dfrac{2}{5}$。
解不等式②，去分母得$3x + 5a + 4 ＞ 4(x+1) + 3a$，
化简得$-x ＞ -2a$，
解得$x ＜ 2a$。
所以该不等式组的解集为$-\dfrac{2}{5} ＜ x ＜ 2a$。
要使不等式组恰有两个整数解，结合$x ＞ -\dfrac{2}{5}$可知这两个整数解为0和1，因此$1 ＜ 2a ≤ 2$，
解得$\dfrac{1}{2} ＜ a ≤ 1$。
解析
【分析】
解决本题首先需要分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到两个不等式的解集后，合并得到不等式组的公共解集；再根据“恰有两个整数解”的条件，先确定大于$-\dfrac{2}{5}$的前两个整数为0和1，由此判断解集右边界$2a$的取值范围，注意验证端点是否符合要求，最后求解得到$a$的取值范围即可。
【解析】
解：$\begin{cases} \dfrac{x}{2}+\dfrac{x+1}{3}＞0 \quad ① \\x+\dfrac{5a+4}{3}＞\dfrac{4}{3}(x+1)+a \quad ②\end{cases}$
解不等式①，去分母得$3x + 2(x+1) ＞ 0$，
化简得$5x + 2 ＞ 0$，
解得$x ＞ -\dfrac{2}{5}$。
解不等式②，去分母得$3x + 5a + 4 ＞ 4(x+1) + 3a$，
化简得$-x ＞ -2a$，
解得$x ＜ 2a$。
所以该不等式组的解集为$-\dfrac{2}{5} ＜ x ＜ 2a$。
要使不等式组恰有两个整数解，结合$x ＞ -\dfrac{2}{5}$可知这两个整数解为0和1，因此$1 ＜ 2a ≤ 2$，
解得$\dfrac{1}{2} ＜ a ≤ 1$。
【答案】
$\dfrac{1}{2} ＜ a ≤ 1$
【知识点】
解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组整数解问题
【点评】
本题是不等式组整数解的典型题型，解题关键是先确定解集的固定边界，再结合整数解的个数限制确定含参数边界的取值范围，需注意端点值的取舍，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.6
解决本题首先需要分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到两个不等式的解集后，合并得到不等式组的公共解集；再根据“恰有两个整数解”的条件，先确定大于$-\dfrac{2}{5}$的前两个整数为0和1，由此判断解集右边界$2a$的取值范围，注意验证端点是否符合要求，最后求解得到$a$的取值范围即可。
【解析】
解：$\begin{cases} \dfrac{x}{2}+\dfrac{x+1}{3}＞0 \quad ① \\x+\dfrac{5a+4}{3}＞\dfrac{4}{3}(x+1)+a \quad ②\end{cases}$
解不等式①，去分母得$3x + 2(x+1) ＞ 0$，
化简得$5x + 2 ＞ 0$，
解得$x ＞ -\dfrac{2}{5}$。
解不等式②，去分母得$3x + 5a + 4 ＞ 4(x+1) + 3a$，
化简得$-x ＞ -2a$，
解得$x ＜ 2a$。
所以该不等式组的解集为$-\dfrac{2}{5} ＜ x ＜ 2a$。
要使不等式组恰有两个整数解，结合$x ＞ -\dfrac{2}{5}$可知这两个整数解为0和1，因此$1 ＜ 2a ≤ 2$，
解得$\dfrac{1}{2} ＜ a ≤ 1$。
【答案】
$\dfrac{1}{2} ＜ a ≤ 1$
【知识点】
解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组整数解问题
【点评】
本题是不等式组整数解的典型题型，解题关键是先确定解集的固定边界，再结合整数解的个数限制确定含参数边界的取值范围，需注意端点值的取舍，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.6
例5 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果。求这一箱苹果的个数与小朋友的人数。
解：设小朋友有$x$人，则苹果有$(5x+12)$个。根据题意，得$\begin{cases}5x+12-8(x-1)＜8, \\5x+12-8(x-1)＞0.\end{cases}$解得$4＜x＜\frac{20}{3}$。
因为$x$为正整数，所以$x=5$或$6$。
当$x=5$时，$5x+12=37$（人）；
当$x=6$时，$5x+12=42$（人）。
答：当小朋友有5人时，这一箱苹果有37个；当小朋友有6人时，这一箱苹果有42个。
解：设小朋友有$x$人，则苹果有$(5x+12)$个。根据题意，得$\begin{cases}5x+12-8(x-1)＜8, \\5x+12-8(x-1)＞0.\end{cases}$解得$4＜x＜\frac{20}{3}$。
因为$x$为正整数，所以$x=5$或$6$。
当$x=5$时，$5x+12=37$（人）；
当$x=6$时，$5x+12=42$（人）。
答：当小朋友有5人时，这一箱苹果有37个；当小朋友有6人时，这一箱苹果有42个。
答案
解：设小朋友有$x$人，则苹果有$(5x+12)$个。
根据题意，得
$\begin{cases}5x+12-8(x-1)＜8 \\5x+12-8(x-1)＞0\end{cases}$
解第一个不等式：
$5x+12-8x+8＜8$
$-3x＜-12$
$x＞4$
解第二个不等式：
$5x+12-8x+8＞0$
$-3x＞-20$
$x＜\frac{20}{3}$
所以不等式组的解集为$4＜x＜\frac{20}{3}$。
因为$x$为正整数，所以$x=5$或$x=6$。
当$x=5$时，$5x+12=37$（个）；
当$x=6$时，$5x+12=42$（个）。
答：当小朋友有5人时，这一箱苹果有37个；当小朋友有6人时，这一箱苹果有42个。
根据题意，得
$\begin{cases}5x+12-8(x-1)＜8 \\5x+12-8(x-1)＞0\end{cases}$
解第一个不等式：
$5x+12-8x+8＜8$
$-3x＜-12$
$x＞4$
解第二个不等式：
$5x+12-8x+8＞0$
$-3x＞-20$
$x＜\frac{20}{3}$
所以不等式组的解集为$4＜x＜\frac{20}{3}$。
因为$x$为正整数，所以$x=5$或$x=6$。
当$x=5$时，$5x+12=37$（个）；
当$x=6$时，$5x+12=42$（个）。
答：当小朋友有5人时，这一箱苹果有37个；当小朋友有6人时，这一箱苹果有42个。
解析
【分析】
这是一道分配类实际应用题，解题思路如下：首先根据第一种分配方案，设小朋友人数为x，用含x的代数式表示出苹果总个数；其次分析第二种分配方案的不等关系：每位分8个时，除最后1个小朋友外，其余x-1个小朋友都分到了8个，最后1个小朋友分到的苹果数=总苹果数-分给x-1人的苹果数，这个数需满足“分不到8个”即小于8，同时他能分到苹果即大于0，据此列出一元一次不等式组；接着解不等式组得到x的取值范围，结合x是正整数的隐含条件，得到x的可能取值；最后将x的取值代入苹果总数的代数式，算出对应的苹果数即可。
【解析】
设小朋友有$x$人，则苹果有$(5x+12)$个。
根据题意，得
$\begin{cases}5x+12-8(x-1)＜8 \\5x+12-8(x-1)＞0\end{cases}$
解第一个不等式：
$5x+12-8x+8＜8$
$-3x＜-12$
$x＞4$
解第二个不等式：
$5x+12-8x+8＞0$
$-3x＞-20$
$x＜\frac{20}{3}$
所以不等式组的解集为$4＜x＜\frac{20}{3}$。
因为$x$为正整数，所以$x=5$或$x=6$。
当$x=5$时，$5x+12=37$（个）；
当$x=6$时，$5x+12=42$（个）。
答：当小朋友有5人时，这一箱苹果有37个；当小朋友有6人时，这一箱苹果有42个。
【答案】
当小朋友人数为5人时，苹果有37个；当小朋友人数为6人时，苹果有42个。
【知识点】
1. 一元一次不等式组的应用
2. 解一元一次不等式组
3. 不等式组的整数解
【点评】
本题是典型的分配型不等式应用问题，解题的核心是准确理解“有一个小朋友分不到8个”的含义，挖掘出隐含的两个不等关系，同时要注意实际问题中未知数的取值限制，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
这是一道分配类实际应用题，解题思路如下：首先根据第一种分配方案，设小朋友人数为x，用含x的代数式表示出苹果总个数；其次分析第二种分配方案的不等关系：每位分8个时，除最后1个小朋友外，其余x-1个小朋友都分到了8个，最后1个小朋友分到的苹果数=总苹果数-分给x-1人的苹果数，这个数需满足“分不到8个”即小于8，同时他能分到苹果即大于0，据此列出一元一次不等式组；接着解不等式组得到x的取值范围，结合x是正整数的隐含条件，得到x的可能取值；最后将x的取值代入苹果总数的代数式，算出对应的苹果数即可。
【解析】
设小朋友有$x$人，则苹果有$(5x+12)$个。
根据题意，得
$\begin{cases}5x+12-8(x-1)＜8 \\5x+12-8(x-1)＞0\end{cases}$
解第一个不等式：
$5x+12-8x+8＜8$
$-3x＜-12$
$x＞4$
解第二个不等式：
$5x+12-8x+8＞0$
$-3x＞-20$
$x＜\frac{20}{3}$
所以不等式组的解集为$4＜x＜\frac{20}{3}$。
因为$x$为正整数，所以$x=5$或$x=6$。
当$x=5$时，$5x+12=37$（个）；
当$x=6$时，$5x+12=42$（个）。
答：当小朋友有5人时，这一箱苹果有37个；当小朋友有6人时，这一箱苹果有42个。
【答案】
当小朋友人数为5人时，苹果有37个；当小朋友人数为6人时，苹果有42个。
【知识点】
1. 一元一次不等式组的应用
2. 解一元一次不等式组
3. 不等式组的整数解
【点评】
本题是典型的分配型不等式应用问题，解题的核心是准确理解“有一个小朋友分不到8个”的含义，挖掘出隐含的两个不等关系，同时要注意实际问题中未知数的取值限制，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.6
