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1. 已知$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$是方程$3x+ay=5$的解，则a的值为 ______ .
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
【分析】
解题思路：首先回忆二元一次方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。因此我们可以将已知的x、y的取值直接代入原方程，此时原方程会转化为只含未知数a的一元一次方程，再按照一元一次方程的求解步骤计算，就能得到a的值。
【解析】
解：
∵ $\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$是方程$3x+ay=5$的解
∴ 将$x=2$，$y=1$代入方程可得：
$3×2 + a×1 = 5$
化简得：$6 + a = 5$
移项计算得：$a = 5 - 6 = -1$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
二元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二元一次方程解的概念的应用，解题关键是准确代入已知的未知数取值，计算时注意符号运算即可。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先回忆二元一次方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。因此我们可以将已知的x、y的取值直接代入原方程，此时原方程会转化为只含未知数a的一元一次方程，再按照一元一次方程的求解步骤计算，就能得到a的值。
【解析】
解：
∵ $\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$是方程$3x+ay=5$的解
∴ 将$x=2$，$y=1$代入方程可得：
$3×2 + a×1 = 5$
化简得：$6 + a = 5$
移项计算得：$a = 5 - 6 = -1$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
二元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二元一次方程解的概念的应用，解题关键是准确代入已知的未知数取值，计算时注意符号运算即可。
【难度系数】
0.9
2. 已知$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$是二元一次方程组$\begin{cases}ax+by=1, \\ bx+ay=2\end{cases}$的解，则$a-b$的值为 ______ .
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据二元一次方程组解的定义，方程组的解能使方程组中每个方程左右两边相等，因此第一步将已知的解$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$代入原方程组，得到关于a、b的二元一次方程组；第二步解这个新的方程组求出a、b的值；最后将a、b的值代入$a-b$计算即可得到结果。
【解析】
将$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$代入原方程组$\begin{cases}ax+by=1 \\ bx+ay=2\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2a + b = 1 \quad ① \\ a + 2b = 2 \quad ②\end{cases}$
利用加减消元法求解：
将①×2，得$4a + 2b = 2 \quad ③$
用③-②，得：
$4a + 2b - (a + 2b) = 2 - 2$
化简得$3a = 0$，解得$a = 0$
把$a = 0$代入①，得$2×0 + b = 1$，解得$b = 1$
所以$a - b = 0 - 1 = -1$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解二元一次方程组解的含义，通过代入转化为关于参数的方程组求解即可，解题时注意计算准确性。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据二元一次方程组解的定义，方程组的解能使方程组中每个方程左右两边相等，因此第一步将已知的解$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$代入原方程组，得到关于a、b的二元一次方程组；第二步解这个新的方程组求出a、b的值；最后将a、b的值代入$a-b$计算即可得到结果。
【解析】
将$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$代入原方程组$\begin{cases}ax+by=1 \\ bx+ay=2\end{cases}$，可得：
$\begin{cases}2a + b = 1 \quad ① \\ a + 2b = 2 \quad ②\end{cases}$
利用加减消元法求解：
将①×2，得$4a + 2b = 2 \quad ③$
用③-②，得：
$4a + 2b - (a + 2b) = 2 - 2$
化简得$3a = 0$，解得$a = 0$
把$a = 0$代入①，得$2×0 + b = 1$，解得$b = 1$
所以$a - b = 0 - 1 = -1$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
二元一次方程组的解的定义；二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心是理解二元一次方程组解的含义，通过代入转化为关于参数的方程组求解即可，解题时注意计算准确性。
【难度系数】
0.8
3. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2, \\ y=4,\end{cases}$则关于$x,y$的方程组$\begin{cases}a_1(x+1)+2b_1(y-1)=3c_1, \\ a_2(x+1)+2b_2(y-1)=3c_2\end{cases}$的解为 ______ 。
答案
解：
将方程组$\begin{cases}a_1(x+1)+2b_1(y-1)=3c_1 \\ a_2(x+1)+2b_2(y-1)=3c_2\end{cases}$两边同时除以3，得
$\begin{cases}a_1· \dfrac{x+1}{3} + b_1· \dfrac{2(y-1)}{3} = c_1 \\ a_2· \dfrac{x+1}{3} + b_2· \dfrac{2(y-1)}{3} = c_2\end{cases}$
由已知方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=4\end{cases}$，可得
$\begin{cases}\dfrac{x+1}{3}=2 \\ \dfrac{2(y-1)}{3}=4\end{cases}$
解$\dfrac{x+1}{3}=2$，得$x+1=6$，$x=5$；
解$\dfrac{2(y-1)}{3}=4$，得$2(y-1)=12$，$y-1=6$，$y=7$。
所以所求方程组的解为$\begin{cases}x=5 \\ y=7\end{cases}$
将方程组$\begin{cases}a_1(x+1)+2b_1(y-1)=3c_1 \\ a_2(x+1)+2b_2(y-1)=3c_2\end{cases}$两边同时除以3，得
$\begin{cases}a_1· \dfrac{x+1}{3} + b_1· \dfrac{2(y-1)}{3} = c_1 \\ a_2· \dfrac{x+1}{3} + b_2· \dfrac{2(y-1)}{3} = c_2\end{cases}$
由已知方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=4\end{cases}$，可得
$\begin{cases}\dfrac{x+1}{3}=2 \\ \dfrac{2(y-1)}{3}=4\end{cases}$
解$\dfrac{x+1}{3}=2$，得$x+1=6$，$x=5$；
解$\dfrac{2(y-1)}{3}=4$，得$2(y-1)=12$，$y-1=6$，$y=7$。
所以所求方程组的解为$\begin{cases}x=5 \\ y=7\end{cases}$
解析
【分析】
已知原二元一次方程组的解，要求结构相似的新方程组的解，我们可以通过变形让新方程组和原方程组的形式统一：先将新方程组的每个方程两边同时除以3，让右边变为和原方程组一致的$c_1$、$c_2$，此时左边就变成“$a_1$乘一个整体 + $b_1$乘另一个整体 = $c_1$”的形式，这两个整体就分别对应原方程组解的$x=2$和$y=4$，最后列一元一次方程求解即可得到新方程组的解。
【解析】
将方程组$\begin{cases}a_1(x+1)+2b_1(y-1)=3c_1 \\ a_2(x+1)+2b_2(y-1)=3c_2\end{cases}$的两个方程两边同时除以3，得：
$\begin{cases}a_1· \dfrac{x+1}{3} + b_1· \dfrac{2(y-1)}{3} = c_1 \\ a_2· \dfrac{x+1}{3} + b_2· \dfrac{2(y-1)}{3} = c_2\end{cases}$
已知方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=4\end{cases}$，根据二元一次方程组解的定义可得：
$\begin{cases}\dfrac{x+1}{3}=2 \\ \dfrac{2(y-1)}{3}=4\end{cases}$
解$\dfrac{x+1}{3}=2$：两边同乘3得$x+1=6$，解得$x=5$；
解$\dfrac{2(y-1)}{3}=4$：两边同乘3得$2(y-1)=12$，两边同除以2得$y-1=6$，解得$y=7$。
【答案】
$\begin{cases}x=5 \\ y=7\end{cases}$
【知识点】
1.二元一次方程组的解
2.等式的基本性质
3.整体换元思想
【点评】
本题不需要求解未知系数，而是通过变形将所求方程组转化为已知解的方程组的结构，利用整体代换思想快速求解，能有效考查学生对二元一次方程组解的理解和转化思维能力。
【难度系数】
0.6
已知原二元一次方程组的解，要求结构相似的新方程组的解，我们可以通过变形让新方程组和原方程组的形式统一：先将新方程组的每个方程两边同时除以3，让右边变为和原方程组一致的$c_1$、$c_2$，此时左边就变成“$a_1$乘一个整体 + $b_1$乘另一个整体 = $c_1$”的形式，这两个整体就分别对应原方程组解的$x=2$和$y=4$，最后列一元一次方程求解即可得到新方程组的解。
【解析】
将方程组$\begin{cases}a_1(x+1)+2b_1(y-1)=3c_1 \\ a_2(x+1)+2b_2(y-1)=3c_2\end{cases}$的两个方程两边同时除以3，得：
$\begin{cases}a_1· \dfrac{x+1}{3} + b_1· \dfrac{2(y-1)}{3} = c_1 \\ a_2· \dfrac{x+1}{3} + b_2· \dfrac{2(y-1)}{3} = c_2\end{cases}$
已知方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=4\end{cases}$，根据二元一次方程组解的定义可得：
$\begin{cases}\dfrac{x+1}{3}=2 \\ \dfrac{2(y-1)}{3}=4\end{cases}$
解$\dfrac{x+1}{3}=2$：两边同乘3得$x+1=6$，解得$x=5$；
解$\dfrac{2(y-1)}{3}=4$：两边同乘3得$2(y-1)=12$，两边同除以2得$y-1=6$，解得$y=7$。
【答案】
$\begin{cases}x=5 \\ y=7\end{cases}$
【知识点】
1.二元一次方程组的解
2.等式的基本性质
3.整体换元思想
【点评】
本题不需要求解未知系数，而是通过变形将所求方程组转化为已知解的方程组的结构，利用整体代换思想快速求解，能有效考查学生对二元一次方程组解的理解和转化思维能力。
【难度系数】
0.6
4. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x+7y=m+1, \\3x+4y=m\end{cases}$的解也是二元一次方程$x-y=3$的解，请求出方程组的解及$m$的值.
答案
解：
$\begin{cases}2x+7y=m+1&①\\3x+4y=m&②\end{cases}$
① - ②，得：$-x + 3y = 1$，
整理得：$x = 3y - 1$，
将$x = 3y - 1$代入$x - y = 3$，得：
$3y - 1 - y = 3$，
解得：$y = 2$，
把$y=2$代入$x - y = 3$，得：$x - 2 = 3$，解得$x=5$，
将$\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}$代入②，得：$3×5 + 4×2 = m$，
解得：$m=23$。
答：原方程组的解为$\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}$，$m$的值为23。
$\begin{cases}2x+7y=m+1&①\\3x+4y=m&②\end{cases}$
① - ②，得：$-x + 3y = 1$，
整理得：$x = 3y - 1$，
将$x = 3y - 1$代入$x - y = 3$，得：
$3y - 1 - y = 3$，
解得：$y = 2$，
把$y=2$代入$x - y = 3$，得：$x - 2 = 3$，解得$x=5$，
将$\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}$代入②，得：$3×5 + 4×2 = m$，
解得：$m=23$。
答：原方程组的解为$\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}$，$m$的值为23。
解析
【分析】
本题是含参数的二元一次方程组求解问题，已知方程组的解同时满足方程$x-y=3$，说明三个方程存在公共解。解题思路如下：首先将原方程组的两个方程相减消去参数$m$，得到仅含$x$、$y$的关系式；再将该关系式与$x-y=3$联立，用代入消元法求出$x$、$y$的值；最后把求得的$x$、$y$代入原方程即可求出$m$的值。
【解析】
解：设$\begin{cases}2x+7y=m+1&①\\3x+4y=m&②\end{cases}$
①$-$②，得：$-x + 3y = 1$，整理得$x = 3y - 1$，
因为方程组的解也是$x-y=3$的解，将$x = 3y - 1$代入$x-y=3$，得：
$3y - 1 - y = 3$，
解得：$y = 2$，
把$y=2$代入$x - y = 3$，得：$x - 2 = 3$，解得$x=5$，
将$\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}$代入②，得：$3×5 + 4×2 = m$，
解得：$m=23$。
【答案】
方程组的解为$\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}$，$m$的值为23。
【知识点】
二元一次方程组的解，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题主要考查二元一次方程组公共解的应用，解题核心是通过消去参数将问题转化为普通二元一次方程组求解，属于常规题型，熟练掌握消元法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题是含参数的二元一次方程组求解问题，已知方程组的解同时满足方程$x-y=3$，说明三个方程存在公共解。解题思路如下：首先将原方程组的两个方程相减消去参数$m$，得到仅含$x$、$y$的关系式；再将该关系式与$x-y=3$联立，用代入消元法求出$x$、$y$的值；最后把求得的$x$、$y$代入原方程即可求出$m$的值。
【解析】
解：设$\begin{cases}2x+7y=m+1&①\\3x+4y=m&②\end{cases}$
①$-$②，得：$-x + 3y = 1$，整理得$x = 3y - 1$，
因为方程组的解也是$x-y=3$的解，将$x = 3y - 1$代入$x-y=3$，得：
$3y - 1 - y = 3$，
解得：$y = 2$，
把$y=2$代入$x - y = 3$，得：$x - 2 = 3$，解得$x=5$，
将$\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}$代入②，得：$3×5 + 4×2 = m$，
解得：$m=23$。
【答案】
方程组的解为$\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}$，$m$的值为23。
【知识点】
二元一次方程组的解，加减消元法，代入消元法
【点评】
本题主要考查二元一次方程组公共解的应用，解题核心是通过消去参数将问题转化为普通二元一次方程组求解，属于常规题型，熟练掌握消元法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
5. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x-3y=3,\\ax+by=1\end{cases}$和$\begin{cases}3x+2y=11,\\ay-bx=3\end{cases}$的解相同，求$(2a-b)^2$的值。
答案
解：
由题意，两个方程组的解相同，联立不含参数的方程：
$\begin{cases}2x-3y=3&①\\3x+2y=11&②\end{cases}$
①×2得：$4x-6y=6$ ③
②×3得：$9x+6y=33$ ④
③+④得：$13x=39$，解得$x=3$
把$x=3$代入①，得$2×3 - 3y=3$，解得$y=1$
因此两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}$
将$\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}$代入剩余两个含$a,b$的方程，得：
$\begin{cases}3a + b=1&⑤\\a - 3b=3&⑥\end{cases}$
由⑤得$b=1-3a$，代入⑥：
$a - 3(1-3a)=3$
$a-3+9a=3$
$10a=6$，解得$a=\frac{3}{5}$
把$a=\frac{3}{5}$代入$b=1-3a$，得$b=-\frac{4}{5}$
计算得：$2a-b=2×\frac{3}{5} - (-\frac{4}{5})=2$
因此$(2a-b)^2=2^2=4$
答：$(2a-b)^2$的值为4。
由题意，两个方程组的解相同，联立不含参数的方程：
$\begin{cases}2x-3y=3&①\\3x+2y=11&②\end{cases}$
①×2得：$4x-6y=6$ ③
②×3得：$9x+6y=33$ ④
③+④得：$13x=39$，解得$x=3$
把$x=3$代入①，得$2×3 - 3y=3$，解得$y=1$
因此两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}$
将$\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}$代入剩余两个含$a,b$的方程，得：
$\begin{cases}3a + b=1&⑤\\a - 3b=3&⑥\end{cases}$
由⑤得$b=1-3a$，代入⑥：
$a - 3(1-3a)=3$
$a-3+9a=3$
$10a=6$，解得$a=\frac{3}{5}$
把$a=\frac{3}{5}$代入$b=1-3a$，得$b=-\frac{4}{5}$
计算得：$2a-b=2×\frac{3}{5} - (-\frac{4}{5})=2$
因此$(2a-b)^2=2^2=4$
答：$(2a-b)^2$的值为4。
解析
【分析】
两个方程组的解相同，说明这个公共解同时满足四个方程。我们可以先把不含参数a、b的两个方程联立，组成新的二元一次方程组，解出x和y的值；再把求出的x、y代入含a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值，最后代入$(2a-b)^2$计算即可。
【解析】
由题意，两个方程组的解相同，先联立不含参数的方程：
$\begin{cases}2x-3y=3&①\\3x+2y=11&②\end{cases}$
①×2得：$4x-6y=6$ ③
②×3得：$9x+6y=33$ ④
③+④得：$13x=39$，解得$x=3$
把$x=3$代入①，得$2×3 - 3y=3$，解得$y=1$
因此两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}$
将$\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}$代入含$a,b$的方程$\begin{cases}ax+by=1\\ay-bx=3\end{cases}$，得：
$\begin{cases}3a + b=1&⑤\\a - 3b=3&⑥\end{cases}$
由⑤得$b=1-3a$，代入⑥：
$a - 3(1-3a)=3$
$a-3+9a=3$
$10a=6$，解得$a=\frac{3}{5}$
把$a=\frac{3}{5}$代入$b=1-3a$，得$b=1-3×\frac{3}{5}=-\frac{4}{5}$
计算$2a-b=2×\frac{3}{5} - (-\frac{4}{5})=\frac{6}{5}+\frac{4}{5}=2$
因此$(2a-b)^2=2^2=4$
【答案】
$\boxed{4}$
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题核心是理解“同解”的含义，即公共解满足所有方程，解题关键是先求解不含参数的方程组得到公共解，再代入求参数，是二元一次方程组的典型应用题型，熟练掌握消元法解方程组是解题的基础。
【难度系数】
0.6
两个方程组的解相同，说明这个公共解同时满足四个方程。我们可以先把不含参数a、b的两个方程联立，组成新的二元一次方程组，解出x和y的值；再把求出的x、y代入含a、b的两个方程，得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值，最后代入$(2a-b)^2$计算即可。
【解析】
由题意，两个方程组的解相同，先联立不含参数的方程：
$\begin{cases}2x-3y=3&①\\3x+2y=11&②\end{cases}$
①×2得：$4x-6y=6$ ③
②×3得：$9x+6y=33$ ④
③+④得：$13x=39$，解得$x=3$
把$x=3$代入①，得$2×3 - 3y=3$，解得$y=1$
因此两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}$
将$\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}$代入含$a,b$的方程$\begin{cases}ax+by=1\\ay-bx=3\end{cases}$，得：
$\begin{cases}3a + b=1&⑤\\a - 3b=3&⑥\end{cases}$
由⑤得$b=1-3a$，代入⑥：
$a - 3(1-3a)=3$
$a-3+9a=3$
$10a=6$，解得$a=\frac{3}{5}$
把$a=\frac{3}{5}$代入$b=1-3a$，得$b=1-3×\frac{3}{5}=-\frac{4}{5}$
计算$2a-b=2×\frac{3}{5} - (-\frac{4}{5})=\frac{6}{5}+\frac{4}{5}=2$
因此$(2a-b)^2=2^2=4$
【答案】
$\boxed{4}$
【知识点】
二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题核心是理解“同解”的含义，即公共解满足所有方程，解题关键是先求解不含参数的方程组得到公共解，再代入求参数，是二元一次方程组的典型应用题型，熟练掌握消元法解方程组是解题的基础。
【难度系数】
0.6
6. 当m取什么整数时,关于x,y的二元一次方程组$\begin{cases}2x - my = 6, \\x - 3y = 0\end{cases}$的解是正整数？
答案
解：
由方程$x - 3y = 0$可得$x = 3y$，
将$x = 3y$代入方程$2x - my = 6$，得：
$6y - my = 6$
整理得：$(6 - m)y = 6$
解得 $y = \frac{6}{6 - m}$
因为方程组的解是正整数，所以$y$是正整数，$x=3y$也为正整数，因此$6 - m$是6的正整数因数。
6的正整数因数为1、2、3、6：
当$6 - m = 1$时，解得$m = 5$；
当$6 - m = 2$时，解得$m = 4$；
当$6 - m = 3$时，解得$m = 3$；
当$6 - m = 6$时，解得$m = 0$。
综上，当$m$取整数0、3、4、5时，方程组的解是正整数。
由方程$x - 3y = 0$可得$x = 3y$，
将$x = 3y$代入方程$2x - my = 6$，得：
$6y - my = 6$
整理得：$(6 - m)y = 6$
解得 $y = \frac{6}{6 - m}$
因为方程组的解是正整数，所以$y$是正整数，$x=3y$也为正整数，因此$6 - m$是6的正整数因数。
6的正整数因数为1、2、3、6：
当$6 - m = 1$时，解得$m = 5$；
当$6 - m = 2$时，解得$m = 4$；
当$6 - m = 3$时，解得$m = 3$；
当$6 - m = 6$时，解得$m = 0$。
综上，当$m$取整数0、3、4、5时，方程组的解是正整数。
解析
【分析】
要解决含参数的二元一次方程组的正整数解问题，首先可采用代入消元法简化方程组：观察第二个方程很容易得到x与y的数量关系，将x用y表示后代入第一个方程，就能得到仅含y和参数m的一元方程，进而用m表示出y。因为方程组的解是正整数，且x=3y，所以只要y为正整数，x自然为正整数，因此y的表达式的分母必须是分子的正整数因数，找出6的所有正整数因数后，即可求出对应的整数m的值。
【解析】
解：由方程$x - 3y = 0$可得$x = 3y$，
将$x = 3y$代入方程$2x - my = 6$，得：
$6y - my = 6$
整理得：$(6 - m)y = 6$
解得 $y = \frac{6}{6 - m}$
因为方程组的解是正整数，所以$y$是正整数，$x=3y$也为正整数，因此$6 - m$是6的正整数因数。
6的正整数因数为1、2、3、6：
当$6 - m = 1$时，解得$m = 5$；
当$6 - m = 2$时，解得$m = 4$；
当$6 - m = 3$时，解得$m = 3$；
当$6 - m = 6$时，解得$m = 0$。
综上，整数m的值为0、3、4、5。
【答案】
当m取整数0、3、4、5时，方程组的解是正整数。
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组；正整数解判定；因数的应用
【点评】
本题属于含参数的二元一次方程组解的应用类常考题，解题核心是通过消元将二元问题转化为一元表达式，再根据正整数的条件将问题转化为求分子的正因数，解题时要注意不要漏算符合条件的因数，也不要引入负因数导致错误。
【难度系数】
0.6
要解决含参数的二元一次方程组的正整数解问题，首先可采用代入消元法简化方程组：观察第二个方程很容易得到x与y的数量关系，将x用y表示后代入第一个方程，就能得到仅含y和参数m的一元方程，进而用m表示出y。因为方程组的解是正整数，且x=3y，所以只要y为正整数，x自然为正整数，因此y的表达式的分母必须是分子的正整数因数，找出6的所有正整数因数后，即可求出对应的整数m的值。
【解析】
解：由方程$x - 3y = 0$可得$x = 3y$，
将$x = 3y$代入方程$2x - my = 6$，得：
$6y - my = 6$
整理得：$(6 - m)y = 6$
解得 $y = \frac{6}{6 - m}$
因为方程组的解是正整数，所以$y$是正整数，$x=3y$也为正整数，因此$6 - m$是6的正整数因数。
6的正整数因数为1、2、3、6：
当$6 - m = 1$时，解得$m = 5$；
当$6 - m = 2$时，解得$m = 4$；
当$6 - m = 3$时，解得$m = 3$；
当$6 - m = 6$时，解得$m = 0$。
综上，整数m的值为0、3、4、5。
【答案】
当m取整数0、3、4、5时，方程组的解是正整数。
【知识点】
代入消元法解二元一次方程组；正整数解判定；因数的应用
【点评】
本题属于含参数的二元一次方程组解的应用类常考题，解题核心是通过消元将二元问题转化为一元表达式，再根据正整数的条件将问题转化为求分子的正因数，解题时要注意不要漏算符合条件的因数，也不要引入负因数导致错误。
【难度系数】
0.6
7. 甲、乙两人共同解方程组$\begin{cases}ax+5y=15,①\\4x-by=-2,②\end{cases}$
由于甲看错了方程①中的$a$，得到方程组的解为$\begin{cases}x=-3,\\y=-1,\end{cases}$
乙看错了方程②中的$b$，得到方程组的解为$\begin{cases}x=5,\\y=4.\end{cases}$
试计算$a^{2015}+(-\dfrac{1}{10}b)^{2016}$的值.
由于甲看错了方程①中的$a$，得到方程组的解为$\begin{cases}x=-3,\\y=-1,\end{cases}$
乙看错了方程②中的$b$，得到方程组的解为$\begin{cases}x=5,\\y=4.\end{cases}$
试计算$a^{2015}+(-\dfrac{1}{10}b)^{2016}$的值.
答案
解：
∵甲看错了方程①中的$a$，
∴甲得到的解$\begin{cases}x=-3\\y=-1\end{cases}$满足方程②，
将$\begin{cases}x=-3\\y=-1\end{cases}$代入$4x-by=-2$，得：
$4×(-3) - b×(-1) = -2$
即$-12 + b = -2$，解得$b=10$。
∵乙看错了方程②中的$b$，
∴乙得到的解$\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}$满足方程①，
将$\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}$代入$ax+5y=15$，得：
$5a + 5×4 = 15$
即$5a + 20 = 15$，解得$a=-1$。
将$a=-1$，$b=10$代入$a^{2015}+(-\dfrac{1}{10}b)^{2016}$：
$\begin{aligned}原式&=(-1)^{2015} + (-\frac{1}{10}×10)^{2016}\\&=-1 + (-1)^{2016}\\&=-1 + 1\\&=0\end{aligned}$
答：$a^{2015}+(-\dfrac{1}{10}b)^{2016}$的值为$0$。
∵甲看错了方程①中的$a$，
∴甲得到的解$\begin{cases}x=-3\\y=-1\end{cases}$满足方程②，
将$\begin{cases}x=-3\\y=-1\end{cases}$代入$4x-by=-2$，得：
$4×(-3) - b×(-1) = -2$
即$-12 + b = -2$，解得$b=10$。
∵乙看错了方程②中的$b$，
∴乙得到的解$\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}$满足方程①，
将$\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}$代入$ax+5y=15$，得：
$5a + 5×4 = 15$
即$5a + 20 = 15$，解得$a=-1$。
将$a=-1$，$b=10$代入$a^{2015}+(-\dfrac{1}{10}b)^{2016}$：
$\begin{aligned}原式&=(-1)^{2015} + (-\frac{1}{10}×10)^{2016}\\&=-1 + (-1)^{2016}\\&=-1 + 1\\&=0\end{aligned}$
答：$a^{2015}+(-\dfrac{1}{10}b)^{2016}$的值为$0$。
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确“看错单个方程的系数”的含义：甲只看错了方程①中的a，说明他得到的解仍然满足没有看错的方程②；乙只看错了方程②中的b，说明他得到的解仍然满足没有看错的方程①。因此可以先将甲的解代入方程②求出正确的b值，再将乙的解代入方程①求出正确的a值，最后把a、b代入待求代数式，按照乘方运算规则计算出结果即可。
【解析】
∵甲看错了方程①中的$a$，
∴甲得到的解$\begin{cases}x=-3\\y=-1\end{cases}$满足方程②，
将$\begin{cases}x=-3\\y=-1\end{cases}$代入$4x-by=-2$，得：
$4×(-3) - b×(-1) = -2$
即$-12 + b = -2$，解得$b=10$。
∵乙看错了方程②中的$b$，
∴乙得到的解$\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}$满足方程①，
将$\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}$代入$ax+5y=15$，得：
$5a + 5×4 = 15$
即$5a + 20 = 15$，解得$a=-1$。
将$a=-1$，$b=10$代入$a^{2015}+(-\dfrac{1}{10}b)^{2016}$：
$\begin{aligned}原式&=(-1)^{2015} + (-\frac{1}{10}×10)^{2016}\\&=-1 + (-1)^{2016}\\&=-1 + 1\\&=0\end{aligned}$
【答案】
$0$
【知识点】
二元一次方程组的解的意义，有理数乘方运算，代数式求值
【点评】
本题是二元一次方程组知识的灵活应用题型，解题核心是理解看错某一方程系数时，得到的解仍然满足另一未看错的方程，对概念的理解和应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先明确“看错单个方程的系数”的含义：甲只看错了方程①中的a，说明他得到的解仍然满足没有看错的方程②；乙只看错了方程②中的b，说明他得到的解仍然满足没有看错的方程①。因此可以先将甲的解代入方程②求出正确的b值，再将乙的解代入方程①求出正确的a值，最后把a、b代入待求代数式，按照乘方运算规则计算出结果即可。
【解析】
∵甲看错了方程①中的$a$，
∴甲得到的解$\begin{cases}x=-3\\y=-1\end{cases}$满足方程②，
将$\begin{cases}x=-3\\y=-1\end{cases}$代入$4x-by=-2$，得：
$4×(-3) - b×(-1) = -2$
即$-12 + b = -2$，解得$b=10$。
∵乙看错了方程②中的$b$，
∴乙得到的解$\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}$满足方程①，
将$\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}$代入$ax+5y=15$，得：
$5a + 5×4 = 15$
即$5a + 20 = 15$，解得$a=-1$。
将$a=-1$，$b=10$代入$a^{2015}+(-\dfrac{1}{10}b)^{2016}$：
$\begin{aligned}原式&=(-1)^{2015} + (-\frac{1}{10}×10)^{2016}\\&=-1 + (-1)^{2016}\\&=-1 + 1\\&=0\end{aligned}$
【答案】
$0$
【知识点】
二元一次方程组的解的意义，有理数乘方运算，代数式求值
【点评】
本题是二元一次方程组知识的灵活应用题型，解题核心是理解看错某一方程系数时，得到的解仍然满足另一未看错的方程，对概念的理解和应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
8. (1)若关于x的一元一次不等式$3x - k ＞ 1$的解集为$x ＞ 2$，则$k=$.
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
要解决这道已知一元一次不等式解集求参数的问题，解题思路如下：首先按照解一元一次不等式的常规步骤，将不等式变形为用含k的代数式表示x的解集形式，再结合题目给出的已知解集，让两个解集的右侧部分相等，建立关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
第一步：解不等式$3x - k ＞ 1$
移项，得：$3x ＞ 1 + k$
将x的系数化为1（因为3是正数，不等号方向不变），得：$x ＞ \frac{1 + k}{3}$
第二步：结合已知解集建立方程
已知不等式的解集为$x ＞ 2$，因此两个解集的右侧相等，即：
$\frac{1 + k}{3} = 2$
第三步：解方程求k
两边同时乘3，得：$1 + k = 6$
移项计算，得：$k = 6 - 1 = 5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式解集的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心是考察一元一次不等式解集的应用，解题关键是先正确用含参数的式子表示出不等式的解集，再和已知解集对应建立方程求解，熟练掌握一元一次不等式的解法是做对这类题的前提。
【难度系数】
0.8
要解决这道已知一元一次不等式解集求参数的问题，解题思路如下：首先按照解一元一次不等式的常规步骤，将不等式变形为用含k的代数式表示x的解集形式，再结合题目给出的已知解集，让两个解集的右侧部分相等，建立关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
第一步：解不等式$3x - k ＞ 1$
移项，得：$3x ＞ 1 + k$
将x的系数化为1（因为3是正数，不等号方向不变），得：$x ＞ \frac{1 + k}{3}$
第二步：结合已知解集建立方程
已知不等式的解集为$x ＞ 2$，因此两个解集的右侧相等，即：
$\frac{1 + k}{3} = 2$
第三步：解方程求k
两边同时乘3，得：$1 + k = 6$
移项计算，得：$k = 6 - 1 = 5$
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式解集的定义
【点评】
本题属于基础题型，核心是考察一元一次不等式解集的应用，解题关键是先正确用含参数的式子表示出不等式的解集，再和已知解集对应建立方程求解，熟练掌握一元一次不等式的解法是做对这类题的前提。
【难度系数】
0.8
百羊问题
甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后；
戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，
若得这般一群凑，再添半群小半群，
得你一只来方凑.玄机奥妙谁猜透？
（2）已知关于x的不等式组$\begin{cases}x-a≥1, \\ x+5≤ b\end{cases}$的解集是$3≤ x≤4$，则$a+b$的值为 ______ .
（3）若关于x的不等式组$\begin{cases}2x+7＞4x+1, \\ x-k＜2\end{cases}$的解集为$x＜3$，则k的取值范围为 ______ .
甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后；
戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，
若得这般一群凑，再添半群小半群，
得你一只来方凑.玄机奥妙谁猜透？
（2）已知关于x的不等式组$\begin{cases}x-a≥1, \\ x+5≤ b\end{cases}$的解集是$3≤ x≤4$，则$a+b$的值为 ______ .
（3）若关于x的不等式组$\begin{cases}2x+7＞4x+1, \\ x-k＜2\end{cases}$的解集为$x＜3$，则k的取值范围为 ______ .
答案
（2）$\boldsymbol{11}$；（3）$\boldsymbol{k\ge1}$
解析
【分析】
这两道题均为一元一次不等式组含参问题，解题思路如下：
1. 第（2）题：先分别解出不等式组中两个不等式的解集，用含a、b的式子表示，再将其与题目给出的已知解集一一对应，得到关于a、b的一元一次方程，求解后计算a+b即可。
2. 第（3）题：先分别解两个不等式，得到两个解集，再根据不等式组的最终解集，结合“同小取小”的解集确定规则，列出关于k的不等式，求解得到k的取值范围，注意不要遗漏等号的情况。
【解析】
（2）解不等式组$\begin{cases}x-a≥1① \\ x+5≤ b②\end{cases}$
解不等式①：移项得$x≥a+1$
解不等式②：移项得$x≤b-5$
∴不等式组的解集为$a+1≤x≤b-5$
已知不等式组解集为$3≤x≤4$，因此对应可得：
$\begin{cases}a+1=3 \\ b-5=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=2 \\ b=9\end{cases}$
∴$a+b=2+9=11$
（3）解不等式组$\begin{cases}2x+7＞4x+1① \\ x-k＜2②\end{cases}$
解不等式①：移项得$2x-4x＞1-7$，合并同类项得$-2x＞-6$，系数化为1（不等号方向改变）得$x＜3$
解不等式②：移项得$x＜k+2$
∵不等式组的解集为$x＜3$，根据“同小取小”的解集规则，可知$k+2≥3$
解得$k≥1$
【答案】
（2）$\boldsymbol{11}$；（3）$\boldsymbol{k\ge1}$
【知识点】
解一元一次不等式，不等式组解集确定，含参不等式组求解
【点评】
这两类题是不等式章节的常考题型，核心是熟练掌握一元一次不等式的解法和不等式组解集的判断口诀，解不等式时要注意系数为负时不等号方向需要改变，处理含参问题时要注意验证等号是否成立，避免漏解。
【难度系数】
0.7
这两道题均为一元一次不等式组含参问题，解题思路如下：
1. 第（2）题：先分别解出不等式组中两个不等式的解集，用含a、b的式子表示，再将其与题目给出的已知解集一一对应，得到关于a、b的一元一次方程，求解后计算a+b即可。
2. 第（3）题：先分别解两个不等式，得到两个解集，再根据不等式组的最终解集，结合“同小取小”的解集确定规则，列出关于k的不等式，求解得到k的取值范围，注意不要遗漏等号的情况。
【解析】
（2）解不等式组$\begin{cases}x-a≥1① \\ x+5≤ b②\end{cases}$
解不等式①：移项得$x≥a+1$
解不等式②：移项得$x≤b-5$
∴不等式组的解集为$a+1≤x≤b-5$
已知不等式组解集为$3≤x≤4$，因此对应可得：
$\begin{cases}a+1=3 \\ b-5=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=2 \\ b=9\end{cases}$
∴$a+b=2+9=11$
（3）解不等式组$\begin{cases}2x+7＞4x+1① \\ x-k＜2②\end{cases}$
解不等式①：移项得$2x-4x＞1-7$，合并同类项得$-2x＞-6$，系数化为1（不等号方向改变）得$x＜3$
解不等式②：移项得$x＜k+2$
∵不等式组的解集为$x＜3$，根据“同小取小”的解集规则，可知$k+2≥3$
解得$k≥1$
【答案】
（2）$\boldsymbol{11}$；（3）$\boldsymbol{k\ge1}$
【知识点】
解一元一次不等式，不等式组解集确定，含参不等式组求解
【点评】
这两类题是不等式章节的常考题型，核心是熟练掌握一元一次不等式的解法和不等式组解集的判断口诀，解不等式时要注意系数为负时不等号方向需要改变，处理含参问题时要注意验证等号是否成立，避免漏解。
【难度系数】
0.7
