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1. 在实数$\sqrt{5}$，$\frac{7}{22}$，$\sqrt[3]{-8}$，0，$-1.41$，$\frac{π}{2}$，$\sqrt{36}$，$0.1010010001$中，无理数有()
A.2个
B.4个
C.3个
D.5个
A.2个
B.4个
C.3个
D.5个
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确无理数的定义，再掌握判断无理数的方法：首先将题目中含有根式的数先化简，再结合定义逐个判断每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可。注意不要看到带根号的数就直接判定为无理数，也不要把有限的有规律的小数错当成无限不循环小数。
【解析】
首先明确相关定义：无限不循环小数叫做无理数，整数和分数统称为有理数（有限小数、无限循环小数都属于有理数）。
接下来逐个分析所给的数：
1. $\sqrt{5}$：开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
2. $\frac{7}{22}$：是分数，属于有理数；
3. $\sqrt[3]{-8}$：化简得$\sqrt[3]{-8}=-2$，是整数，属于有理数；
4. $0$：是整数，属于有理数；
5. $-1.41$：是有限小数，属于有理数；
6. $\frac{π}{2}$：$π$是无限不循环小数，因此$\frac{π}{2}$也是无限不循环小数，属于无理数；
7. $\sqrt{36}$：化简得$\sqrt{36}=6$，是整数，属于有理数；
8. $0.1010010001$：是有限小数，属于有理数。
综上，无理数共有$\sqrt{5}$、$\frac{π}{2}$这2个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的定义，实数的分类，根式化简
【点评】
本题重点考查对无理数概念的掌握，解题的关键是先对带根号的数进行化简，再结合定义判断，要注意区分有限的有规律小数和无限不循环小数，避免出现概念混淆导致的误判。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确无理数的定义，再掌握判断无理数的方法：首先将题目中含有根式的数先化简，再结合定义逐个判断每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可。注意不要看到带根号的数就直接判定为无理数，也不要把有限的有规律的小数错当成无限不循环小数。
【解析】
首先明确相关定义：无限不循环小数叫做无理数，整数和分数统称为有理数（有限小数、无限循环小数都属于有理数）。
接下来逐个分析所给的数：
1. $\sqrt{5}$：开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数；
2. $\frac{7}{22}$：是分数，属于有理数；
3. $\sqrt[3]{-8}$：化简得$\sqrt[3]{-8}=-2$，是整数，属于有理数；
4. $0$：是整数，属于有理数；
5. $-1.41$：是有限小数，属于有理数；
6. $\frac{π}{2}$：$π$是无限不循环小数，因此$\frac{π}{2}$也是无限不循环小数，属于无理数；
7. $\sqrt{36}$：化简得$\sqrt{36}=6$，是整数，属于有理数；
8. $0.1010010001$：是有限小数，属于有理数。
综上，无理数共有$\sqrt{5}$、$\frac{π}{2}$这2个，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的定义，实数的分类，根式化简
【点评】
本题重点考查对无理数概念的掌握，解题的关键是先对带根号的数进行化简，再结合定义判断，要注意区分有限的有规律小数和无限不循环小数，避免出现概念混淆导致的误判。
【难度系数】
0.7
2. 如图，已知$m// n$，$∠ 1=65°$，$∠ 2=60°$，则$∠ 3$等于()
A.$65°$
B.$60°$
C.$55°$
D.$50°$
A.$65°$
B.$60°$
C.$55°$
D.$50°$
答案
C
解析
【分析】
看到题目给出m//n的条件，首先回忆平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得到∠1与它在直线n上方对应的内错角相等。再观察图形可知，这个和∠1相等的角、∠2、∠3共同组成一个平角，三者之和为180°，因此我们可以用平角的总度数减去已知的∠1和∠2的度数，就能求出∠3的大小。
【解析】
解：
∵ m//n（已知）
∴ ∠1的内错角与∠1相等，为65°（两直线平行，内错角相等）
又
∵ ∠1的内错角+∠2+∠3=180°（平角的定义）
∴ ∠3=180°-∠1-∠2=180°-65°-60°=55°
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；平角的定义；角的和差计算
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，核心是结合平行线的性质找到角的等量关系，再利用平角的性质完成计算，熟练掌握平行线的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
看到题目给出m//n的条件，首先回忆平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得到∠1与它在直线n上方对应的内错角相等。再观察图形可知，这个和∠1相等的角、∠2、∠3共同组成一个平角，三者之和为180°，因此我们可以用平角的总度数减去已知的∠1和∠2的度数，就能求出∠3的大小。
【解析】
解：
∵ m//n（已知）
∴ ∠1的内错角与∠1相等，为65°（两直线平行，内错角相等）
又
∵ ∠1的内错角+∠2+∠3=180°（平角的定义）
∴ ∠3=180°-∠1-∠2=180°-65°-60°=55°
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；平角的定义；角的和差计算
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，核心是结合平行线的性质找到角的等量关系，再利用平角的性质完成计算，熟练掌握平行线的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 下列调查中，调查方式选择合理的是（）
A.为了解某一品牌家具的甲醛含量，选择全面调查
B.为了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查
C.为了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查
D.为了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查
A.为了解某一品牌家具的甲醛含量，选择全面调查
B.为了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查
C.为了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查
D.为了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查
答案
C
解析
【分析】
解题前要先明确全面调查和抽样调查的核心区别与适用场景：全面调查是对所有考察对象逐一调查，适合调查对象数量少、调查无破坏性、对结果精确度要求极高的情况；抽样调查是从考察对象中抽取部分进行调查，以此估算整体情况，适合调查对象数量多、调查具有破坏性、无需得到完全精确结果的情况。解题时逐个分析选项的调查场景，匹配对应的合理调查方式即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：了解某品牌家具的甲醛含量，若采用全面调查，需要对所有该品牌家具逐一检测，不仅工作量极大，检测过程还会破坏家具，应选择抽样调查，故A不合理；
B选项：神舟飞船的设备零件质量直接关系到飞行安全，对精确度要求极高，必须对每一个零件都进行检查，应选择全面调查，故B不合理；
C选项：某公园全年的游客流量数量大，统计所有时段的游客流量工作量极高，只需抽取部分时段的流量估算全年情况即可，选择抽样调查是合理的，故C正确；
D选项：了解一批袋装食品是否含防腐剂，检测过程会破坏食品，且食品批量大，应选择抽样调查，故D不合理。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
全面调查；抽样调查
【点评】
本题主要考查两种常见调查方式的适用场景判断，解题的核心是结合实际情况，从调查的工作量、破坏性、结果精确度要求三个角度判断选择哪种调查方式，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题前要先明确全面调查和抽样调查的核心区别与适用场景：全面调查是对所有考察对象逐一调查，适合调查对象数量少、调查无破坏性、对结果精确度要求极高的情况；抽样调查是从考察对象中抽取部分进行调查，以此估算整体情况，适合调查对象数量多、调查具有破坏性、无需得到完全精确结果的情况。解题时逐个分析选项的调查场景，匹配对应的合理调查方式即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：了解某品牌家具的甲醛含量，若采用全面调查，需要对所有该品牌家具逐一检测，不仅工作量极大，检测过程还会破坏家具，应选择抽样调查，故A不合理；
B选项：神舟飞船的设备零件质量直接关系到飞行安全，对精确度要求极高，必须对每一个零件都进行检查，应选择全面调查，故B不合理；
C选项：某公园全年的游客流量数量大，统计所有时段的游客流量工作量极高，只需抽取部分时段的流量估算全年情况即可，选择抽样调查是合理的，故C正确；
D选项：了解一批袋装食品是否含防腐剂，检测过程会破坏食品，且食品批量大，应选择抽样调查，故D不合理。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
全面调查；抽样调查
【点评】
本题主要考查两种常见调查方式的适用场景判断，解题的核心是结合实际情况，从调查的工作量、破坏性、结果精确度要求三个角度判断选择哪种调查方式，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
4. 下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是()
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确三个常见几何基本事实的适用场景：1. 垂线段最短：描述的是直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段的长度最短，用于点到直线的距离相关问题；2. 两点确定一条直线：描述的是经过两点有且只有一条直线，用于确定直线的场景；3. 两点之间，线段最短：描述的是两点之间的所有连线中，线段的长度最短，用于两点之间路径长度的问题。接下来逐个分析选项对应的原理，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析各选项的原理：
选项A：测量跳远成绩时，将起跳线看作直线，落脚印的位置看作直线外一点，测量的是该点到起跳线的垂线段长度，依据的是垂线段最短的性质，符合题意。
选项B：木板上弹墨线时，固定两个点就能弹出一条笔直的墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，不符合题意。
选项C：两个钉子可以固定木条，是因为两个点可以确定唯一一条直线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，不符合题意。
选项D：弯曲河道改直后，A、B两地之间的路程变短，利用的是“两点之间，线段最短”的原理，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
垂线段最短；两点确定一条直线；两点之间线段最短
【点评】
这道题是几何基本性质的生活应用题，核心是区分不同几何原理的适用场景，结合生活实例理解各性质的含义，就能快速准确判断。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确三个常见几何基本事实的适用场景：1. 垂线段最短：描述的是直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段的长度最短，用于点到直线的距离相关问题；2. 两点确定一条直线：描述的是经过两点有且只有一条直线，用于确定直线的场景；3. 两点之间，线段最短：描述的是两点之间的所有连线中，线段的长度最短，用于两点之间路径长度的问题。接下来逐个分析选项对应的原理，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析各选项的原理：
选项A：测量跳远成绩时，将起跳线看作直线，落脚印的位置看作直线外一点，测量的是该点到起跳线的垂线段长度，依据的是垂线段最短的性质，符合题意。
选项B：木板上弹墨线时，固定两个点就能弹出一条笔直的墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，不符合题意。
选项C：两个钉子可以固定木条，是因为两个点可以确定唯一一条直线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，不符合题意。
选项D：弯曲河道改直后，A、B两地之间的路程变短，利用的是“两点之间，线段最短”的原理，不符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
垂线段最短；两点确定一条直线；两点之间线段最短
【点评】
这道题是几何基本性质的生活应用题，核心是区分不同几何原理的适用场景，结合生活实例理解各性质的含义，就能快速准确判断。
【难度系数】
0.8
5. 高斯函数$[x]$,也称为取整函数,即$[x]$表示不超过$x$的最大整数.例如$[3.3]=3,[-2.8]=-3$.则下列结论正确的有()
①$[-2.8]+[1.6]=-2$；
②$[x]+[-x]=0$；
③若$[x+1]=-4$,则$x$的取值范围是$-4≤ x＜-3$；
④当$-1≤ x＜1$时,$[x+1]+[x-1]$的值为$0,1,2$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$[-2.8]+[1.6]=-2$；
②$[x]+[-x]=0$；
③若$[x+1]=-4$,则$x$的取值范围是$-4≤ x＜-3$；
④当$-1≤ x＜1$时,$[x+1]+[x-1]$的值为$0,1,2$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
A
解析
【分析】
解决本题的核心是准确理解取整函数$[x]$的定义：$[x]$表示不超过$x$的最大整数，也就是小于等于$x$的最大整数。解题时我们可以逐个验证四个结论是否符合定义，对错误结论可以举反例直接判断，对需要推导范围的结论结合不等式求解，最后统计正确结论的个数即可选出答案。
【解析】
根据取整函数的定义逐一判断：
① 计算$[-2.8]$和$[1.6]$：不超过$-2.8$的最大整数是$-3$，不超过$1.6$的最大整数是$1$，因此$[-2.8]+[1.6]=-3+1=-2$，故①正确；
② 举反例判断：取$x=2.5$，则$[2.5]=2$，$[-2.5]=-3$，此时$[x]+[-x]=2+(-3)=-1≠0$，故②错误；
③ 若$[x+1]=-4$，根据取整函数定义可得不等式组：$-4≤ x+1＜-3$，两边同时减1解得：$-5≤ x＜-4$，和题目给出的范围不符，故③错误；
④ 当$-1≤ x＜1$时，分情况讨论：
当$-1≤ x＜0$时，$x+1\in[0,1)$，则$[x+1]=0$；$x-1\in[-2,-1)$，则$[x-1]=-2$，二者和为$0+(-2)=-2$；
当$0≤ x＜1$时，$x+1\in[1,2)$，则$[x+1]=1$；$x-1\in[-1,0)$，则$[x-1]=-1$，二者和为$1+(-1)=0$；
因此结果只有$-2$和$0$两种，不可能是$0、1、2$，故④错误。
综上，只有1个结论正确。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，不等式求解，分类讨论
【点评】
本题重点考查对新定义的理解和运用能力，解题时要紧扣定义，判断错误结论可通过举反例快速排除，涉及范围类的问题要注意边界值的取舍，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.5
解决本题的核心是准确理解取整函数$[x]$的定义：$[x]$表示不超过$x$的最大整数，也就是小于等于$x$的最大整数。解题时我们可以逐个验证四个结论是否符合定义，对错误结论可以举反例直接判断，对需要推导范围的结论结合不等式求解，最后统计正确结论的个数即可选出答案。
【解析】
根据取整函数的定义逐一判断：
① 计算$[-2.8]$和$[1.6]$：不超过$-2.8$的最大整数是$-3$，不超过$1.6$的最大整数是$1$，因此$[-2.8]+[1.6]=-3+1=-2$，故①正确；
② 举反例判断：取$x=2.5$，则$[2.5]=2$，$[-2.5]=-3$，此时$[x]+[-x]=2+(-3)=-1≠0$，故②错误；
③ 若$[x+1]=-4$，根据取整函数定义可得不等式组：$-4≤ x+1＜-3$，两边同时减1解得：$-5≤ x＜-4$，和题目给出的范围不符，故③错误；
④ 当$-1≤ x＜1$时，分情况讨论：
当$-1≤ x＜0$时，$x+1\in[0,1)$，则$[x+1]=0$；$x-1\in[-2,-1)$，则$[x-1]=-2$，二者和为$0+(-2)=-2$；
当$0≤ x＜1$时，$x+1\in[1,2)$，则$[x+1]=1$；$x-1\in[-1,0)$，则$[x-1]=-1$，二者和为$1+(-1)=0$；
因此结果只有$-2$和$0$两种，不可能是$0、1、2$，故④错误。
综上，只有1个结论正确。
【答案】
A
【知识点】
新定义运算，不等式求解，分类讨论
【点评】
本题重点考查对新定义的理解和运用能力，解题时要紧扣定义，判断错误结论可通过举反例快速排除，涉及范围类的问题要注意边界值的取舍，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.5
6. 计算$\sqrt{64}-\sqrt[3]{64}$的结果是。
答案
解：
$\because 8^2=64$，$\therefore \sqrt{64}=8$
$\because 4^3=64$，$\therefore \sqrt[3]{64}=4$
$\therefore \sqrt{64}-\sqrt[3]{64}=8-4=4$
最终结果为$\boldsymbol{4}$。
$\because 8^2=64$，$\therefore \sqrt{64}=8$
$\because 4^3=64$，$\therefore \sqrt[3]{64}=4$
$\therefore \sqrt{64}-\sqrt[3]{64}=8-4=4$
最终结果为$\boldsymbol{4}$。
解析
【分析】
要计算$\sqrt{64}-\sqrt[3]{64}$的结果，需分三步思考：第一步回忆算术平方根的定义，先求出$\sqrt{64}$的值；第二步回忆立方根的定义，求出$\sqrt[3]{64}$的值；最后将两个根式的计算结果做减法，即可得到最终答案。注意算术平方根是正数的正的平方根，不要和平方根的概念混淆。
【解析】
解：$\because 8^2=64$，根据算术平方根的定义，正数的算术平方根为正数，$\therefore \sqrt{64}=8$
$\because 4^3=64$，根据立方根的定义，正数的立方根为正数，$\therefore \sqrt[3]{64}=4$
$\therefore \sqrt{64}-\sqrt[3]{64}=8-4=4$
【答案】
$4$
【知识点】
算术平方根运算，立方根运算，有理数减法
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对算术平方根、立方根定义的理解和应用，解题时只要准确掌握根式的运算规则，避免混淆算术平方根和平方根的概念，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
要计算$\sqrt{64}-\sqrt[3]{64}$的结果，需分三步思考：第一步回忆算术平方根的定义，先求出$\sqrt{64}$的值；第二步回忆立方根的定义，求出$\sqrt[3]{64}$的值；最后将两个根式的计算结果做减法，即可得到最终答案。注意算术平方根是正数的正的平方根，不要和平方根的概念混淆。
【解析】
解：$\because 8^2=64$，根据算术平方根的定义，正数的算术平方根为正数，$\therefore \sqrt{64}=8$
$\because 4^3=64$，根据立方根的定义，正数的立方根为正数，$\therefore \sqrt[3]{64}=4$
$\therefore \sqrt{64}-\sqrt[3]{64}=8-4=4$
【答案】
$4$
【知识点】
算术平方根运算，立方根运算，有理数减法
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对算术平方根、立方根定义的理解和应用，解题时只要准确掌握根式的运算规则，避免混淆算术平方根和平方根的概念，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
7. 已知$3x+2y=3$,用关于$x$的代数式表示$y$,
则$y=$.
则$y=$.
答案
解：
移项，得$2y = 3 - 3x$
等式两边同时除以2，得
$y=\frac{3-3x}{2}$
移项，得$2y = 3 - 3x$
等式两边同时除以2，得
$y=\frac{3-3x}{2}$
解析
【分析】
要实现用关于x的代数式表示y，只需将x视作已知数，把原式当作关于y的一元一次方程来解即可。具体思路为：先通过移项把含y的项单独留在等号一侧，其余项移到另一侧，再将y的系数化为1，就能得到所求的表达式。
【解析】
已知等式$3x+2y=3$，
1. 移项：将不含y的$3x$移到等号右侧，移项要变号，可得$2y=3-3x$；
2. 系数化为1：等式两边同时除以y的系数2，可得$y=\frac{3-3x}{2}$。
【答案】
$\frac{3-3x}{2}$
【知识点】
1. 等式的性质 2. 方程变形
【点评】
本题是方程变形的基础题型，主要考查对等式性质的运用能力，是后续学习二元一次方程组相关内容的基础。解题时要注意移项需变号，系数化为1时不要漏除等号右侧的项。
【难度系数】
0.9
要实现用关于x的代数式表示y，只需将x视作已知数，把原式当作关于y的一元一次方程来解即可。具体思路为：先通过移项把含y的项单独留在等号一侧，其余项移到另一侧，再将y的系数化为1，就能得到所求的表达式。
【解析】
已知等式$3x+2y=3$，
1. 移项：将不含y的$3x$移到等号右侧，移项要变号，可得$2y=3-3x$；
2. 系数化为1：等式两边同时除以y的系数2，可得$y=\frac{3-3x}{2}$。
【答案】
$\frac{3-3x}{2}$
【知识点】
1. 等式的性质 2. 方程变形
【点评】
本题是方程变形的基础题型，主要考查对等式性质的运用能力，是后续学习二元一次方程组相关内容的基础。解题时要注意移项需变号，系数化为1时不要漏除等号右侧的项。
【难度系数】
0.9
8. 一个样本容量为80,最大值为143,最小值为50,取组距为10,则可以分成组.
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
【分析】
要确定分组数，首先要明确分组的计算逻辑：第一步先算极差，即样本中最大值与最小值的差，反映数据的波动范围；第二步用极差除以组距，得到的结果如果不是整数，需要用进一法向上取整，不能用四舍五入，否则会导致部分数据没有对应的组别，保证所有数据都能被分到组内。
【解析】
首先计算极差：$143-50=93$
再用极差除以组距求组数：$93÷10=9.3$
由于组数必须为正整数，且要覆盖所有数据，因此对9.3向上取整，得到组数为10。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
1. 极差计算
2. 频数分布分组规则
【点评】
本题考查统计中数据分组的计算，易错点是容易采用四舍五入法得到9组，忽略剩余数据也需要单独一组，牢记分组需用进一法取整即可正确作答。
【难度系数】
0.7
要确定分组数，首先要明确分组的计算逻辑：第一步先算极差，即样本中最大值与最小值的差，反映数据的波动范围；第二步用极差除以组距，得到的结果如果不是整数，需要用进一法向上取整，不能用四舍五入，否则会导致部分数据没有对应的组别，保证所有数据都能被分到组内。
【解析】
首先计算极差：$143-50=93$
再用极差除以组距求组数：$93÷10=9.3$
由于组数必须为正整数，且要覆盖所有数据，因此对9.3向上取整，得到组数为10。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
1. 极差计算
2. 频数分布分组规则
【点评】
本题考查统计中数据分组的计算，易错点是容易采用四舍五入法得到9组，忽略剩余数据也需要单独一组，牢记分组需用进一法取整即可正确作答。
【难度系数】
0.7
9. 把一根长18 m的钢管截成2 m长和3 m长两种规格的钢管，不浪费材料，共有种不同的截法。
答案
2
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设未知数建立方程来求解。首先明确等量关系：2m长钢管的总长度 + 3m长钢管的总长度 = 钢管原长18m。因为钢管的数量只能是正整数（两种规格都要有，所以数量不能为0），所以我们只需要求出对应方程的正整数解的个数，就是不同的截法数量。
【解析】
设截得2m长的钢管有x根，3m长的钢管有y根，其中x、y均为正整数。
根据总长度可列方程：$2x + 3y = 18$
整理得：$x = \frac{18 - 3y}{2} = 9 - \frac{3y}{2}$
因为x是正整数，所以$\frac{3y}{2}$必须是整数，即y为偶数；同时$x＞0$，因此：
$9 - \frac{3y}{2} ＞ 0$，解得$y ＜ 6$
y是正整数且为偶数，所以y的取值为2、4：
① 当$y=2$时，$x=9 - \frac{3×2}{2}=6$，符合要求；
② 当$y=4$时，$x=9 - \frac{3×4}{2}=3$，符合要求。
综上共有2种不同的截法。
【答案】
2
【知识点】
1. 二元一次方程的整数解
2. 列方程解实际问题
【点评】
本题结合生活实际考查方程的应用，解题的关键是根据题意列出等量关系，再结合未知数的实际意义（正整数）筛选解，解题时要注意取值范围，避免出现漏解或多解的情况。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以通过设未知数建立方程来求解。首先明确等量关系：2m长钢管的总长度 + 3m长钢管的总长度 = 钢管原长18m。因为钢管的数量只能是正整数（两种规格都要有，所以数量不能为0），所以我们只需要求出对应方程的正整数解的个数，就是不同的截法数量。
【解析】
设截得2m长的钢管有x根，3m长的钢管有y根，其中x、y均为正整数。
根据总长度可列方程：$2x + 3y = 18$
整理得：$x = \frac{18 - 3y}{2} = 9 - \frac{3y}{2}$
因为x是正整数，所以$\frac{3y}{2}$必须是整数，即y为偶数；同时$x＞0$，因此：
$9 - \frac{3y}{2} ＞ 0$，解得$y ＜ 6$
y是正整数且为偶数，所以y的取值为2、4：
① 当$y=2$时，$x=9 - \frac{3×2}{2}=6$，符合要求；
② 当$y=4$时，$x=9 - \frac{3×4}{2}=3$，符合要求。
综上共有2种不同的截法。
【答案】
2
【知识点】
1. 二元一次方程的整数解
2. 列方程解实际问题
【点评】
本题结合生活实际考查方程的应用，解题的关键是根据题意列出等量关系，再结合未知数的实际意义（正整数）筛选解，解题时要注意取值范围，避免出现漏解或多解的情况。
【难度系数】
0.7
10. 如图，将直角三角形ABC沿着点B到C的方向平移到三角形DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分的面积为。
答案
$\boldsymbol{48}$
解析
【分析】
解决本题首先回忆平移的性质：平移前后图形全等，对应边相等，平移距离等于对应点连线的长度。首先观察图形，阴影部分是△DEF减去公共△OEC的部分，而△ABC和△DEF是平移前后的全等图形，面积相等，因此两者同时减去公共部分△OEC后，剩余面积也相等，即阴影部分面积等于梯形ABEO的面积，将不规则阴影面积转化为规则梯形面积计算即可。接下来只需要确定梯形的上底、下底和高，代入梯形面积公式求解。
【解析】
∵ 直角三角形ABC平移得到三角形DEF
∴ $S_{△ ABC} = S_{△ DEF}$，$DE = AB = 10$，平移距离$BE = 6$
∵ $S_{△ ABC} - S_{△ OEC} = S_{△ DEF} - S_{△ OEC}$
∴ $S_{阴影} = S_{梯形ABEO}$
又
∵ $DO = 4$
∴ $OE = DE - DO = 10 - 4 = 6$
根据梯形面积公式：$S_{梯形}=\frac{(上底+下底)×高}{2}$
代入数据得：$S_{阴影}=S_{梯形ABEO}=\frac{(OE + AB)× BE}{2}=\frac{(6 + 10)×6}{2}=48$
【答案】
48
【知识点】
平移的性质、梯形面积计算、等面积转化
【点评】
本题通过平移的性质将难以直接计算的阴影面积转化为规则梯形的面积，考查了转化思想的应用，解题的关键是发现阴影部分与梯形ABEO的面积相等关系，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
解决本题首先回忆平移的性质：平移前后图形全等，对应边相等，平移距离等于对应点连线的长度。首先观察图形，阴影部分是△DEF减去公共△OEC的部分，而△ABC和△DEF是平移前后的全等图形，面积相等，因此两者同时减去公共部分△OEC后，剩余面积也相等，即阴影部分面积等于梯形ABEO的面积，将不规则阴影面积转化为规则梯形面积计算即可。接下来只需要确定梯形的上底、下底和高，代入梯形面积公式求解。
【解析】
∵ 直角三角形ABC平移得到三角形DEF
∴ $S_{△ ABC} = S_{△ DEF}$，$DE = AB = 10$，平移距离$BE = 6$
∵ $S_{△ ABC} - S_{△ OEC} = S_{△ DEF} - S_{△ OEC}$
∴ $S_{阴影} = S_{梯形ABEO}$
又
∵ $DO = 4$
∴ $OE = DE - DO = 10 - 4 = 6$
根据梯形面积公式：$S_{梯形}=\frac{(上底+下底)×高}{2}$
代入数据得：$S_{阴影}=S_{梯形ABEO}=\frac{(OE + AB)× BE}{2}=\frac{(6 + 10)×6}{2}=48$
【答案】
48
【知识点】
平移的性质、梯形面积计算、等面积转化
【点评】
本题通过平移的性质将难以直接计算的阴影面积转化为规则梯形的面积，考查了转化思想的应用，解题的关键是发现阴影部分与梯形ABEO的面积相等关系，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
11. 解下列不等式(组):
(1)$2x-1＞\frac{x+1}{2};$
(1)$2x-1＞\frac{x+1}{2};$
答案
解：
去分母，得 $2(2x - 1) ＞ x + 1$
去括号，得 $4x - 2 ＞ x + 1$
移项，得 $4x - x ＞ 1 + 2$
合并同类项，得 $3x ＞ 3$
系数化为1，得 $x ＞ 1$
去分母，得 $2(2x - 1) ＞ x + 1$
去括号，得 $4x - 2 ＞ x + 1$
移项，得 $4x - x ＞ 1 + 2$
合并同类项，得 $3x ＞ 3$
系数化为1，得 $x ＞ 1$
解析
【分析】
这是一元一次不等式求解的基础题，解题步骤与一元一次方程类似：首先去分母，给不等式两边同时乘分母的最小公倍数2，注意每一项都要乘，由于乘的是正数，不等号方向不变；之后按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步计算即可，注意移项要变号，系数化为1时如果乘除的是正数，不等号方向不变。
【解析】
去分母，得 $2(2x - 1) ＞ x + 1$
去括号，得 $4x - 2 ＞ x + 1$
移项，得 $4x - x ＞ 1 + 2$
合并同类项，得 $3x ＞ 3$
系数化为1，得 $x ＞ 1$
【答案】
$x ＞ 1$
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式求解的基础题型，核心考查解一元一次不等式的常规步骤，解题时要注意去分母不要漏乘常数项，移项要变号，系数化为1时需根据乘除的数的正负判断不等号方向是否需要改变。
【难度系数】
0.8
这是一元一次不等式求解的基础题，解题步骤与一元一次方程类似：首先去分母，给不等式两边同时乘分母的最小公倍数2，注意每一项都要乘，由于乘的是正数，不等号方向不变；之后按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步计算即可，注意移项要变号，系数化为1时如果乘除的是正数，不等号方向不变。
【解析】
去分母，得 $2(2x - 1) ＞ x + 1$
去括号，得 $4x - 2 ＞ x + 1$
移项，得 $4x - x ＞ 1 + 2$
合并同类项，得 $3x ＞ 3$
系数化为1，得 $x ＞ 1$
【答案】
$x ＞ 1$
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式求解的基础题型，核心考查解一元一次不等式的常规步骤，解题时要注意去分母不要漏乘常数项，移项要变号，系数化为1时需根据乘除的数的正负判断不等号方向是否需要改变。
【难度系数】
0.8
语文对联中的数学问题
花甲重开,外加三七岁月;古稀双庆,内多一个春秋.
相传这副对联是由清代乾隆皇帝出的上联,暗指一位老人的年龄;纪晓岚对下联,下联中也
(2) $\begin{cases} x+7＞5-x, ① \\ 2(x-3)≥3x-8. ② \end{cases}$
花甲重开,外加三七岁月;古稀双庆,内多一个春秋.
相传这副对联是由清代乾隆皇帝出的上联,暗指一位老人的年龄;纪晓岚对下联,下联中也
(2) $\begin{cases} x+7＞5-x, ① \\ 2(x-3)≥3x-8. ② \end{cases}$
答案
解：
解不等式①：
移项，得$x + x ＞ 5 - 7$
合并同类项，得$2x ＞ -2$
系数化为1，得$x ＞ -1$
解不等式②：
去括号，得$2x - 6 ≥ 3x - 8$
移项，得$2x - 3x ≥ -8 + 6$
合并同类项，得$-x ≥ -2$
系数化为1，得$x ≤ 2$
所以该不等式组的解集为$-1 ＜ x ≤ 2$。
解不等式①：
移项，得$x + x ＞ 5 - 7$
合并同类项，得$2x ＞ -2$
系数化为1，得$x ＞ -1$
解不等式②：
去括号，得$2x - 6 ≥ 3x - 8$
移项，得$2x - 3x ≥ -8 + 6$
合并同类项，得$-x ≥ -2$
系数化为1，得$x ≤ 2$
所以该不等式组的解集为$-1 ＜ x ≤ 2$。
解析
【分析】
求解一元一次不等式组，需先分别计算出组内每个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为该不等式组的最终解集。解单个不等式时，有括号先去括号，再按移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作即可，注意当不等式两边同时除以负数时，不等号方向需要改变。
【解析】
解不等式①：
移项，得$x + x ＞ 5 - 7$
合并同类项，得$2x ＞ -2$
系数化为1，得$x ＞ -1$
解不等式②：
去括号，得$2x - 6 ≥ 3x - 8$
移项，得$2x - 3x ≥ -8 + 6$
合并同类项，得$-x ≥ -2$
系数化为1，得$x ≤ 2$
所以该不等式组的解集为$-1 ＜ x ≤ 2$。
【答案】
$-1 ＜ x ≤ 2$
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式组解集确定、不等式基本性质
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础题型，主要考察解不等式的常规步骤掌握情况，解题时要注意系数化为1时不等号方向的变化，这是此类题的高频易错点。
【难度系数】
0.8
求解一元一次不等式组，需先分别计算出组内每个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为该不等式组的最终解集。解单个不等式时，有括号先去括号，再按移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作即可，注意当不等式两边同时除以负数时，不等号方向需要改变。
【解析】
解不等式①：
移项，得$x + x ＞ 5 - 7$
合并同类项，得$2x ＞ -2$
系数化为1，得$x ＞ -1$
解不等式②：
去括号，得$2x - 6 ≥ 3x - 8$
移项，得$2x - 3x ≥ -8 + 6$
合并同类项，得$-x ≥ -2$
系数化为1，得$x ≤ 2$
所以该不等式组的解集为$-1 ＜ x ≤ 2$。
【答案】
$-1 ＜ x ≤ 2$
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式组解集确定、不等式基本性质
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础题型，主要考察解不等式的常规步骤掌握情况，解题时要注意系数化为1时不等号方向的变化，这是此类题的高频易错点。
【难度系数】
0.8
