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12.若$5a+4$的算术平方根为3,$2b+6$的立方根为-2,$c$是$\sqrt{29}$的整数部分.
(1)求$a,b,c$的值;
(2)求$3a+2b+3c$的平方根.
(1)求$a,b,c$的值;
(2)求$3a+2b+3c$的平方根.
答案
解：
(1) 由题意得：
因为$5a+4$的算术平方根为3，
所以$5a+4 = 3^2 = 9$，
解得$a=1$。
因为$2b+6$的立方根为$-2$，
所以$2b+6 = (-2)^3 = -8$，
解得$b=-7$。
因为$\sqrt{25}＜\sqrt{29}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{29}＜6$，
所以$\sqrt{29}$的整数部分$c=5$。
(2) 将$a=1$，$b=-7$，$c=5$代入$3a+2b+3c$：
$3a+2b+3c = 3×1 + 2×(-7) + 3×5 = 3 - 14 + 15 = 4$，
因为4的平方根是$\pm2$，
所以$3a+2b+3c$的平方根是$\pm2$。
(1) 由题意得：
因为$5a+4$的算术平方根为3，
所以$5a+4 = 3^2 = 9$，
解得$a=1$。
因为$2b+6$的立方根为$-2$，
所以$2b+6 = (-2)^3 = -8$，
解得$b=-7$。
因为$\sqrt{25}＜\sqrt{29}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{29}＜6$，
所以$\sqrt{29}$的整数部分$c=5$。
(2) 将$a=1$，$b=-7$，$c=5$代入$3a+2b+3c$：
$3a+2b+3c = 3×1 + 2×(-7) + 3×5 = 3 - 14 + 15 = 4$，
因为4的平方根是$\pm2$，
所以$3a+2b+3c$的平方根是$\pm2$。
解析
【分析】
解题思路如下：1. 求a的值：根据算术平方根的性质，若一个数的算术平方根为3，则这个数等于3的平方，据此列方程求解a；2. 求b的值：根据立方根的性质，若一个数的立方根为-2，则这个数等于-2的立方，据此列方程求解b；3. 求c的值：先找到与29相邻的两个完全平方数25和36，确定√29的取值范围，其整数部分即为c；4. 求代数式的平方根：将a、b、c的值代入3a+2b+3c计算出结果，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，求出最终结果。
【解析】
(1) 由题意得：
因为$5a+4$的算术平方根为3，
所以$5a+4 = 3^2 = 9$，
解得$a=1$。
因为$2b+6$的立方根为$-2$，
所以$2b+6 = (-2)^3 = -8$，
解得$b=-7$。
因为$\sqrt{25}＜\sqrt{29}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{29}＜6$，
所以$\sqrt{29}$的整数部分$c=5$。
(2) 将$a=1$，$b=-7$，$c=5$代入$3a+2b+3c$：
$3a+2b+3c = 3×1 + 2×(-7) + 3×5 = 3 - 14 + 15 = 4$，
因为4的平方根是$\pm2$，
所以$3a+2b+3c$的平方根是$\pm2$。
【答案】
(1) $a=1$，$b=-7$，$c=5$；(2) $\pm2$
【知识点】
算术平方根的定义，立方根的定义，无理数的估算
【点评】
本题是实数相关的基础题，解题关键是熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的性质，估算无理数时要找准相邻的完全平方数，注意正数的平方根有两个，不要漏写负根。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 求a的值：根据算术平方根的性质，若一个数的算术平方根为3，则这个数等于3的平方，据此列方程求解a；2. 求b的值：根据立方根的性质，若一个数的立方根为-2，则这个数等于-2的立方，据此列方程求解b；3. 求c的值：先找到与29相邻的两个完全平方数25和36，确定√29的取值范围，其整数部分即为c；4. 求代数式的平方根：将a、b、c的值代入3a+2b+3c计算出结果，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，求出最终结果。
【解析】
(1) 由题意得：
因为$5a+4$的算术平方根为3，
所以$5a+4 = 3^2 = 9$，
解得$a=1$。
因为$2b+6$的立方根为$-2$，
所以$2b+6 = (-2)^3 = -8$，
解得$b=-7$。
因为$\sqrt{25}＜\sqrt{29}＜\sqrt{36}$，即$5＜\sqrt{29}＜6$，
所以$\sqrt{29}$的整数部分$c=5$。
(2) 将$a=1$，$b=-7$，$c=5$代入$3a+2b+3c$：
$3a+2b+3c = 3×1 + 2×(-7) + 3×5 = 3 - 14 + 15 = 4$，
因为4的平方根是$\pm2$，
所以$3a+2b+3c$的平方根是$\pm2$。
【答案】
(1) $a=1$，$b=-7$，$c=5$；(2) $\pm2$
【知识点】
算术平方根的定义，立方根的定义，无理数的估算
【点评】
本题是实数相关的基础题，解题关键是熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的性质，估算无理数时要找准相邻的完全平方数，注意正数的平方根有两个，不要漏写负根。
【难度系数】
0.8
13. 甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程,已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍,若甲、乙两工程队一起挖掘200 m长度的隧道时,共用4天.
(1)甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米?
(2)已知该段隧道挖掘工程为600 m,甲工程队每天的挖掘费用为6万元,乙工程队每天的挖掘费用为3万元.若安排甲工程队先单独挖掘若干天后,剩下的工程再由乙工程队单独完成,总费用刚好102万元,则甲工程队应先单独挖掘多少天？
(1)甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米?
(2)已知该段隧道挖掘工程为600 m,甲工程队每天的挖掘费用为6万元,乙工程队每天的挖掘费用为3万元.若安排甲工程队先单独挖掘若干天后,剩下的工程再由乙工程队单独完成,总费用刚好102万元,则甲工程队应先单独挖掘多少天？
答案
解：
(1) 设乙工程队每天可挖掘隧道$x$米，则甲工程队每天可挖掘隧道$1.5x$米。
根据题意列方程：
$4(x+1.5x)=200$
化简得：
$10x=200$
解得：
$x=20$
则甲工程队每天挖掘长度为$1.5×20=30$米。
(2) 设甲工程队应先单独挖掘$y$天，则甲队完成的挖掘长度为$30y$米，剩余工程长度为$(600-30y)$米，乙队单独完成剩余工程需要的天数为$\frac{600-30y}{20}$天。
根据题意列方程：
$6y + 3×\frac{600-30y}{20}=102$
两边同乘20去分母：
$120y + 3×(600-30y)=2040$
化简得：
$30y=240$
解得：
$y=8$
答：(1) 甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米；(2) 甲工程队应先单独挖掘8天。
(1) 设乙工程队每天可挖掘隧道$x$米，则甲工程队每天可挖掘隧道$1.5x$米。
根据题意列方程：
$4(x+1.5x)=200$
化简得：
$10x=200$
解得：
$x=20$
则甲工程队每天挖掘长度为$1.5×20=30$米。
(2) 设甲工程队应先单独挖掘$y$天，则甲队完成的挖掘长度为$30y$米，剩余工程长度为$(600-30y)$米，乙队单独完成剩余工程需要的天数为$\frac{600-30y}{20}$天。
根据题意列方程：
$6y + 3×\frac{600-30y}{20}=102$
两边同乘20去分母：
$120y + 3×(600-30y)=2040$
化简得：
$30y=240$
解得：
$y=8$
答：(1) 甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米；(2) 甲工程队应先单独挖掘8天。
解析
【分析】
这道题是一元一次方程在工程问题中的实际应用，解题思路如下：
（1）第一问求解甲乙两队的日挖掘长度，核心等量关系为：甲乙两队合作4天的总挖掘长度为200m。我们可以设乙工程队每天挖掘x米，结合甲的日挖掘量是乙的1.5倍，得到甲每天挖掘1.5x米，再根据“（甲日工作量+乙日工作量）×合作天数=总工作量”列方程求解即可。
（2）第二问求解甲单独挖掘的天数，核心等量关系为：甲的总挖掘费用+乙的总挖掘费用=102万元。设甲先单独挖掘y天，先计算甲y天的挖掘量，再推导剩余工作量对应的乙的工作时长，分别乘以两队的日费用后相加等于总费用，列方程求解即可。
【解析】
(1) 设乙工程队每天可挖掘隧道$x$米，则甲工程队每天可挖掘隧道$1.5x$米。
根据题意列方程：
$4(x+1.5x)=200$
化简得：
$10x=200$
解得：
$x=20$
则甲工程队每天挖掘长度为$1.5×20=30$米。
(2) 设甲工程队应先单独挖掘$y$天，则甲队完成的挖掘长度为$30y$米，剩余工程长度为$(600-30y)$米，乙队单独完成剩余工程需要的天数为$\frac{600-30y}{20}$天。
根据题意列方程：
$6y + 3×\frac{600-30y}{20}=102$
两边同乘20去分母：
$120y + 3×(600-30y)=2040$
化简得：
$30y=240$
解得：
$y=8$
【答案】
(1) 甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米；(2) 甲工程队应先单独挖掘8天。
【知识点】
一元一次方程应用，工程问题，费用计算
【点评】
本题是工程类常规应用题，核心考察学生找等量关系、列方程求解的能力，第一问依托合作工作总量的关系列方程，第二问结合总费用的限定条件，需要先梳理甲乙两队的工作时长再列方程，计算量小，逻辑清晰，是巩固方程实际应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
这道题是一元一次方程在工程问题中的实际应用，解题思路如下：
（1）第一问求解甲乙两队的日挖掘长度，核心等量关系为：甲乙两队合作4天的总挖掘长度为200m。我们可以设乙工程队每天挖掘x米，结合甲的日挖掘量是乙的1.5倍，得到甲每天挖掘1.5x米，再根据“（甲日工作量+乙日工作量）×合作天数=总工作量”列方程求解即可。
（2）第二问求解甲单独挖掘的天数，核心等量关系为：甲的总挖掘费用+乙的总挖掘费用=102万元。设甲先单独挖掘y天，先计算甲y天的挖掘量，再推导剩余工作量对应的乙的工作时长，分别乘以两队的日费用后相加等于总费用，列方程求解即可。
【解析】
(1) 设乙工程队每天可挖掘隧道$x$米，则甲工程队每天可挖掘隧道$1.5x$米。
根据题意列方程：
$4(x+1.5x)=200$
化简得：
$10x=200$
解得：
$x=20$
则甲工程队每天挖掘长度为$1.5×20=30$米。
(2) 设甲工程队应先单独挖掘$y$天，则甲队完成的挖掘长度为$30y$米，剩余工程长度为$(600-30y)$米，乙队单独完成剩余工程需要的天数为$\frac{600-30y}{20}$天。
根据题意列方程：
$6y + 3×\frac{600-30y}{20}=102$
两边同乘20去分母：
$120y + 3×(600-30y)=2040$
化简得：
$30y=240$
解得：
$y=8$
【答案】
(1) 甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米；(2) 甲工程队应先单独挖掘8天。
【知识点】
一元一次方程应用，工程问题，费用计算
【点评】
本题是工程类常规应用题，核心考察学生找等量关系、列方程求解的能力，第一问依托合作工作总量的关系列方程，第二问结合总费用的限定条件，需要先梳理甲乙两队的工作时长再列方程，计算量小，逻辑清晰，是巩固方程实际应用的典型习题。
【难度系数】
0.8
14. 如图,在平面直角坐标系中,点$A(-4,6)$,$B(-6,4)$,$C(-2,5)$,把三角形$ABC$向下平移5个单位长度,再向右平移4个单位长度,得到三角形$A_1B_1C_1$.
(1)若点$P_1(a,b)$是三角形$A_1B_1C_1$内部一点,则点$P_1(a,b)$平移前对应点的坐标为________;
(2)在图中画出平移后的三角形$A_1B_1C_1$;
(3)若点$M$在坐标轴上,且三角形$MA_1C_1$的面积等于三角形$A_1B_1C_1$的面积的$\frac{1}{3}$,求点$M$的坐标.
(1)若点$P_1(a,b)$是三角形$A_1B_1C_1$内部一点,则点$P_1(a,b)$平移前对应点的坐标为________;
(2)在图中画出平移后的三角形$A_1B_1C_1$;
(3)若点$M$在坐标轴上,且三角形$MA_1C_1$的面积等于三角形$A_1B_1C_1$的面积的$\frac{1}{3}$,求点$M$的坐标.
答案
解：
(1) 由平移规则，点先向右平移4个单位、向下平移5个单位得到$P_1(a,b)$，则平移前对应点的横坐标为$a-4$，纵坐标为$b+5$，坐标为$\boldsymbol{(a-4, b+5)}$。
(2) 计算平移后三个顶点的坐标：
$A_1(-4+4,6-5)$，即$A_1(0,1)$，
$B_1(-6+4,4-5)$，即$B_1(-2,-1)$，
$C_1(-2+4,5-5)$，即$C_1(2,0)$，
在坐标系中描出$A_1,B_1,C_1$三点，顺次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(3) 用割补法计算$△ A_1B_1C_1$的面积：
$S_{△ A_1B_1C_1}=4×2 - \frac{1}{2}×2×2 - \frac{1}{2}×4×1 - \frac{1}{2}×2×1=3$，
则$S_{△ MA_1C_1}=\frac{1}{3}S_{△ A_1B_1C_1}=1$。
分两种情况讨论：
① 当点$M$在$x$轴上时，设$M(x,0)$，此时$△ MA_1C_1$的高为点$A_1$到$x$轴的距离1，底为$|x-2|$，
则$\frac{1}{2}×|x-2|×1=1$，
解得$x=0$或$x=4$，
对应$M$的坐标为$(0,0)$、$(4,0)$。
② 当点$M$在$y$轴上时，设$M(0,y)$，此时$△ MA_1C_1$的高为点$C_1$到$y$轴的距离2，底为$|y-1|$，
则$\frac{1}{2}×|y-1|×2=1$，
解得$y=0$或$y=2$，
对应$M$的坐标为$(0,0)$、$(0,2)$。
综上，点$M$的坐标为$(0,0)$、$(4,0)$、$(0,2)$。
(1) 由平移规则，点先向右平移4个单位、向下平移5个单位得到$P_1(a,b)$，则平移前对应点的横坐标为$a-4$，纵坐标为$b+5$，坐标为$\boldsymbol{(a-4, b+5)}$。
(2) 计算平移后三个顶点的坐标：
$A_1(-4+4,6-5)$，即$A_1(0,1)$，
$B_1(-6+4,4-5)$，即$B_1(-2,-1)$，
$C_1(-2+4,5-5)$，即$C_1(2,0)$，
在坐标系中描出$A_1,B_1,C_1$三点，顺次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(3) 用割补法计算$△ A_1B_1C_1$的面积：
$S_{△ A_1B_1C_1}=4×2 - \frac{1}{2}×2×2 - \frac{1}{2}×4×1 - \frac{1}{2}×2×1=3$，
则$S_{△ MA_1C_1}=\frac{1}{3}S_{△ A_1B_1C_1}=1$。
分两种情况讨论：
① 当点$M$在$x$轴上时，设$M(x,0)$，此时$△ MA_1C_1$的高为点$A_1$到$x$轴的距离1，底为$|x-2|$，
则$\frac{1}{2}×|x-2|×1=1$，
解得$x=0$或$x=4$，
对应$M$的坐标为$(0,0)$、$(4,0)$。
② 当点$M$在$y$轴上时，设$M(0,y)$，此时$△ MA_1C_1$的高为点$C_1$到$y$轴的距离2，底为$|y-1|$，
则$\frac{1}{2}×|y-1|×2=1$，
解得$y=0$或$y=2$，
对应$M$的坐标为$(0,0)$、$(0,2)$。
综上，点$M$的坐标为$(0,0)$、$(4,0)$、$(0,2)$。
解析
【分析】
(1) 平移规则是向右平移4个单位、向下平移5个单位得到平移后的点，求平移前的对应点只需逆向操作：将$P_1$向左平移4个单位（横坐标减4），向上平移5个单位（纵坐标加5）即可得到原坐标。
(2) 要画出平移后的三角形，先根据平移规则算出$A、B、C$三点平移后的坐标，再在坐标系中描出这三个点，顺次连接即可。
(3) 首先用网格常用的割补法求出$△ A_1B_1C_1$的面积，再算出$△ MA_1C_1$的面积；由于$M$在坐标轴上，分$M$在$x$轴和$y$轴两种情况，分别设出$M$的坐标，利用三角形面积公式列方程求解，最后去掉重复坐标即可。
【解析】
(1) 平移过程为：平移前的点向右平移4个单位（横坐标+4）、向下平移5个单位（纵坐标-5）得到$P_1(a,b)$，因此平移前对应点的横坐标为$a-4$，纵坐标为$b+5$。
(2) 根据平移规则计算三个顶点平移后的坐标：
$A_1(-4+4,6-5)=(0,1)$，$B_1(-6+4,4-5)=(-2,-1)$，$C_1(-2+4,5-5)=(2,0)$；在坐标系中描出$A_1、B_1、C_1$三点，顺次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(3) 用割补法计算$△ A_1B_1C_1$的面积：
$S_{△ A_1B_1C_1}=4×2-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×1-\frac{1}{2}×2×1=3$，因此$S_{△ MA_1C_1}=\frac{1}{3}×3=1$。
分两种情况讨论：
① 当$M$在$x$轴上时，设$M(x,0)$，$△ MA_1C_1$的底为$|x-2|$，高为$A_1$到$x$轴的距离1，列方程：$\frac{1}{2}×|x-2|×1=1$，解得$x=0$或$x=4$，对应$M(0,0)$、$(4,0)$。
② 当$M$在$y$轴上时，设$M(0,y)$，$△ MA_1C_1$的底为$|y-1|$，高为$C_1$到$y$轴的距离2，列方程：$\frac{1}{2}×|y-1|×2=1$，解得$y=0$或$y=2$，对应$M(0,0)$、$(0,2)$。
综上，点$M$的坐标为$(0,0)$、$(4,0)$、$(0,2)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a-4, b+5)}$
(2) 描出$A_1(0,1)$、$B_1(-2,-1)$、$C_1(2,0)$三点，顺次连接得到的三角形即为所求。
(3) $\boldsymbol{(0,0)}$、$\boldsymbol{(4,0)}$、$\boldsymbol{(0,2)}$
【知识点】
坐标平移、割补法求面积、分类讨论
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中图形的平移、作图及三角形面积的相关计算，解题时需注意平移逆运算的坐标变化规律，处理坐标轴上的点时要分类讨论，避免漏解或重复计数。
【难度系数】
0.6
(1) 平移规则是向右平移4个单位、向下平移5个单位得到平移后的点，求平移前的对应点只需逆向操作：将$P_1$向左平移4个单位（横坐标减4），向上平移5个单位（纵坐标加5）即可得到原坐标。
(2) 要画出平移后的三角形，先根据平移规则算出$A、B、C$三点平移后的坐标，再在坐标系中描出这三个点，顺次连接即可。
(3) 首先用网格常用的割补法求出$△ A_1B_1C_1$的面积，再算出$△ MA_1C_1$的面积；由于$M$在坐标轴上，分$M$在$x$轴和$y$轴两种情况，分别设出$M$的坐标，利用三角形面积公式列方程求解，最后去掉重复坐标即可。
【解析】
(1) 平移过程为：平移前的点向右平移4个单位（横坐标+4）、向下平移5个单位（纵坐标-5）得到$P_1(a,b)$，因此平移前对应点的横坐标为$a-4$，纵坐标为$b+5$。
(2) 根据平移规则计算三个顶点平移后的坐标：
$A_1(-4+4,6-5)=(0,1)$，$B_1(-6+4,4-5)=(-2,-1)$，$C_1(-2+4,5-5)=(2,0)$；在坐标系中描出$A_1、B_1、C_1$三点，顺次连接即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(3) 用割补法计算$△ A_1B_1C_1$的面积：
$S_{△ A_1B_1C_1}=4×2-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×1-\frac{1}{2}×2×1=3$，因此$S_{△ MA_1C_1}=\frac{1}{3}×3=1$。
分两种情况讨论：
① 当$M$在$x$轴上时，设$M(x,0)$，$△ MA_1C_1$的底为$|x-2|$，高为$A_1$到$x$轴的距离1，列方程：$\frac{1}{2}×|x-2|×1=1$，解得$x=0$或$x=4$，对应$M(0,0)$、$(4,0)$。
② 当$M$在$y$轴上时，设$M(0,y)$，$△ MA_1C_1$的底为$|y-1|$，高为$C_1$到$y$轴的距离2，列方程：$\frac{1}{2}×|y-1|×2=1$，解得$y=0$或$y=2$，对应$M(0,0)$、$(0,2)$。
综上，点$M$的坐标为$(0,0)$、$(4,0)$、$(0,2)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a-4, b+5)}$
(2) 描出$A_1(0,1)$、$B_1(-2,-1)$、$C_1(2,0)$三点，顺次连接得到的三角形即为所求。
(3) $\boldsymbol{(0,0)}$、$\boldsymbol{(4,0)}$、$\boldsymbol{(0,2)}$
【知识点】
坐标平移、割补法求面积、分类讨论
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中图形的平移、作图及三角形面积的相关计算，解题时需注意平移逆运算的坐标变化规律，处理坐标轴上的点时要分类讨论，避免漏解或重复计数。
【难度系数】
0.6
