登录
1. $\sqrt{16}$的平方根是()
A.2
B.4
C.$\pm2$
D.$\pm4$
A.2
B.4
C.$\pm2$
D.$\pm4$
答案
C
解析
【分析】
解题时要注意不能直接求16的平方根，需分两步思考：第一步先计算$\sqrt{16}$的结果，$\sqrt{16}$表示的是16的算术平方根，结果为非负数；第二步再求这个结果的平方根，正数的平方根有两个，互为相反数，据此即可选出正确答案。
【解析】
解：首先计算$\sqrt{16}$的值：
根据算术平方根的定义，$\sqrt{16}$是16的算术平方根，因此$\sqrt{16}=4$。
再求4的平方根：
因为$(\pm2)^2=4$，所以4的平方根是$\pm2$，即$\sqrt{16}$的平方根是$\pm2$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 算术平方根的计算
2. 平方根的定义
【点评】
本题是平方根相关的基础易错题，解题的关键是先化简根号形式的数，再求平方根，要注意区分算术平方根和平方根的概念，避免直接对根号内的数求平方根出现错误。
【难度系数】
0.7
解题时要注意不能直接求16的平方根，需分两步思考：第一步先计算$\sqrt{16}$的结果，$\sqrt{16}$表示的是16的算术平方根，结果为非负数；第二步再求这个结果的平方根，正数的平方根有两个，互为相反数，据此即可选出正确答案。
【解析】
解：首先计算$\sqrt{16}$的值：
根据算术平方根的定义，$\sqrt{16}$是16的算术平方根，因此$\sqrt{16}=4$。
再求4的平方根：
因为$(\pm2)^2=4$，所以4的平方根是$\pm2$，即$\sqrt{16}$的平方根是$\pm2$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 算术平方根的计算
2. 平方根的定义
【点评】
本题是平方根相关的基础易错题，解题的关键是先化简根号形式的数，再求平方根，要注意区分算术平方根和平方根的概念，避免直接对根号内的数求平方根出现错误。
【难度系数】
0.7
2. 下列不等式变形正确的是()
A.由$a＞b$,得$a-2＜b-2$
B.由$a＞b$,得$-2a＜-2b$
C.由$a＞b$,得$|a|＞|b|$
D.由$a＞b$,得$a^2＞b^2$
A.由$a＞b$,得$a-2＜b-2$
B.由$a＞b$,得$-2a＜-2b$
C.由$a＞b$,得$|a|＞|b|$
D.由$a＞b$,得$a^2＞b^2$
答案
B
解析
【分析】
要判断不等式变形是否正确，需结合不等式的基本性质逐个分析选项，对于无法直接用性质判断的选项，可以通过举符合条件的反例验证结论是否成立。首先回忆不等式的三条基本性质：①不等式两边加/减同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变。接下来依次排查每个选项：先看加减、乘除变形是否符合性质，再对涉及绝对值、乘方的选项举反例验证。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知$a＞b$，两边同时减2，根据不等式性质1，不等号方向不变，可得$a-2＞b-2$，因此A变形错误。
B选项：已知$a＞b$，两边同时乘$-2$，$-2$是负数，根据不等式性质3，不等号方向改变，可得$-2a＜-2b$，因此B变形正确。
C选项：举反例：取$a=1$，$b=-2$，满足$a＞b$，但$|a|=1$，$|b|=2$，此时$|a|＜|b|$，因此C变形错误。
D选项：同样举反例：取$a=1$，$b=-2$，满足$a＞b$，但$a^2=1$，$b^2=4$，此时$a^2＜b^2$，因此D变形错误。
【答案】
B
【知识点】
不等式的基本性质；绝对值的性质；有理数的乘方
【点评】
本题是不等式变形的基础考题，解题核心是熟练掌握不等式的基本性质，尤其要注意两边同乘负数时不等号方向必须改变，对于涉及绝对值、乘方的变形，直接举反例排除错误选项是高效的解题方法。
【难度系数】
0.8
要判断不等式变形是否正确，需结合不等式的基本性质逐个分析选项，对于无法直接用性质判断的选项，可以通过举符合条件的反例验证结论是否成立。首先回忆不等式的三条基本性质：①不等式两边加/减同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变。接下来依次排查每个选项：先看加减、乘除变形是否符合性质，再对涉及绝对值、乘方的选项举反例验证。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知$a＞b$，两边同时减2，根据不等式性质1，不等号方向不变，可得$a-2＞b-2$，因此A变形错误。
B选项：已知$a＞b$，两边同时乘$-2$，$-2$是负数，根据不等式性质3，不等号方向改变，可得$-2a＜-2b$，因此B变形正确。
C选项：举反例：取$a=1$，$b=-2$，满足$a＞b$，但$|a|=1$，$|b|=2$，此时$|a|＜|b|$，因此C变形错误。
D选项：同样举反例：取$a=1$，$b=-2$，满足$a＞b$，但$a^2=1$，$b^2=4$，此时$a^2＜b^2$，因此D变形错误。
【答案】
B
【知识点】
不等式的基本性质；绝对值的性质；有理数的乘方
【点评】
本题是不等式变形的基础考题，解题核心是熟练掌握不等式的基本性质，尤其要注意两边同乘负数时不等号方向必须改变，对于涉及绝对值、乘方的变形，直接举反例排除错误选项是高效的解题方法。
【难度系数】
0.8
3.若点A(2,m)在x轴上,则点B(m-1,m-4)在()
A.第四象限
B.第三象限
C.第二象限
D.第一象限
A.第四象限
B.第三象限
C.第二象限
D.第一象限
答案
B
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，利用这个特征先求出m的值；再把m的值代入点B的横、纵坐标表达式，求出点B的具体坐标；最后根据四个象限内点的坐标符号规律，判断点B所在的象限即可。
【解析】
解：
∵点A(2,m)在x轴上，x轴上的点纵坐标为0，
∴m=0，
将m=0代入点B的坐标，可得：
横坐标：m-1=0-1=-1，
纵坐标：m-4=0-4=-4，
∴点B的坐标为(-1,-4)，
∵第三象限内的点横、纵坐标均为负数，
∴点B在第三象限。
【答案】
B
【知识点】
x轴上点的坐标特征；象限内点的符号规律
【点评】
本题是基础题型，重点考查对坐标轴上点的坐标性质、各象限内点的坐标符号特点的掌握情况，熟练记忆相关结论就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：首先回忆坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，利用这个特征先求出m的值；再把m的值代入点B的横、纵坐标表达式，求出点B的具体坐标；最后根据四个象限内点的坐标符号规律，判断点B所在的象限即可。
【解析】
解：
∵点A(2,m)在x轴上，x轴上的点纵坐标为0，
∴m=0，
将m=0代入点B的坐标，可得：
横坐标：m-1=0-1=-1，
纵坐标：m-4=0-4=-4，
∴点B的坐标为(-1,-4)，
∵第三象限内的点横、纵坐标均为负数，
∴点B在第三象限。
【答案】
B
【知识点】
x轴上点的坐标特征；象限内点的符号规律
【点评】
本题是基础题型，重点考查对坐标轴上点的坐标性质、各象限内点的坐标符号特点的掌握情况，熟练记忆相关结论就能快速解题。
【难度系数】
0.9
4. 已知下列命题：①相等的角是对顶角；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；③互补的两个角，若一个为锐角，则另一个为钝角；④互为邻补角的平分线互相垂直.
其中真命题的个数为()
A.3
B.2
C.1
D.0
其中真命题的个数为()
A.3
B.2
C.1
D.0
答案
A
解析
【分析】
要判断真命题的个数，需逐一分析每个命题是否符合对应几何概念、定理：判断假命题可通过举反例验证，判断真命题需结合相关性质推导确认，最后统计真命题总数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个命题：
1. 分析命题①：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但同位角不是对顶角，因此①是假命题；
2. 分析命题②：在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，那么它们与这条直线的夹角都是90°，同位角相等，因此两直线平行，②是真命题；
3. 分析命题③：互补的两个角和为180°，若其中一个是锐角（角度大于0°小于90°），则另一个角的度数为180°减去锐角，结果大于90°小于180°，属于钝角，因此③是真命题；
4. 分析命题④：互为邻补角的两个角和为180°，它们的角平分线将两个角各分为相等的两部分，因此两个半角的和为180°÷2=90°，即两条平分线的夹角为90°，互相垂直，因此④是真命题。
综上，真命题有②③④，共3个。
【答案】
A
【知识点】
对顶角的概念；平行线的判定；邻补角的性质
【点评】
本题侧重考查几何基础概念的辨析，解题时需准确识记各类相关定义、定理，对于假命题可通过举反例快速判断，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要判断真命题的个数，需逐一分析每个命题是否符合对应几何概念、定理：判断假命题可通过举反例验证，判断真命题需结合相关性质推导确认，最后统计真命题总数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个命题：
1. 分析命题①：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但同位角不是对顶角，因此①是假命题；
2. 分析命题②：在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，那么它们与这条直线的夹角都是90°，同位角相等，因此两直线平行，②是真命题；
3. 分析命题③：互补的两个角和为180°，若其中一个是锐角（角度大于0°小于90°），则另一个角的度数为180°减去锐角，结果大于90°小于180°，属于钝角，因此③是真命题；
4. 分析命题④：互为邻补角的两个角和为180°，它们的角平分线将两个角各分为相等的两部分，因此两个半角的和为180°÷2=90°，即两条平分线的夹角为90°，互相垂直，因此④是真命题。
综上，真命题有②③④，共3个。
【答案】
A
【知识点】
对顶角的概念；平行线的判定；邻补角的性质
【点评】
本题侧重考查几何基础概念的辨析，解题时需准确识记各类相关定义、定理，对于假命题可通过举反例快速判断，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
5. 在平面直角坐标系中,点(-2,-5)所在的象限是第象限.
答案
三
解析
【分析】
要判断点所在的象限，首先需要牢记平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征：第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标负、纵坐标正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标正、纵坐标负。接下来只需提取题目所给点的横、纵坐标，判断二者的正负，再对应到符合特征的象限即可。
【解析】
平面直角坐标系中，四个象限的点的坐标符号规律如下：
第一象限：(+, +)；第二象限：(-, +)；第三象限：(-, -)；第四象限：(+, -)。
题目给出的点为(-2, -5)，其横坐标-2＜0，纵坐标-5＜0，符合第三象限的坐标符号特征，因此该点在第三象限。
【答案】
三
【知识点】
象限的坐标符号特征，点的位置判断
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要熟练掌握各象限对应的坐标正负特点，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要判断点所在的象限，首先需要牢记平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征：第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标负、纵坐标正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标正、纵坐标负。接下来只需提取题目所给点的横、纵坐标，判断二者的正负，再对应到符合特征的象限即可。
【解析】
平面直角坐标系中，四个象限的点的坐标符号规律如下：
第一象限：(+, +)；第二象限：(-, +)；第三象限：(-, -)；第四象限：(+, -)。
题目给出的点为(-2, -5)，其横坐标-2＜0，纵坐标-5＜0，符合第三象限的坐标符号特征，因此该点在第三象限。
【答案】
三
【知识点】
象限的坐标符号特征，点的位置判断
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，只要熟练掌握各象限对应的坐标正负特点，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
6. 已知$43^2=1849,44^2=1936,45^2=2025,46^2=2116$.若n为整数，且$n＜\sqrt{2023}＜n+1$，则n的值是.
答案
解：
∵ 44²=1936，45²=2025，
∴ 1936 ＜ 2023 ＜ 2025，
∴ √1936 ＜ √2023 ＜ √2025，
即 44 ＜ √2023 ＜ 45，
又∵ n为整数，且n ＜ √2023 ＜ n+1，
∴ n=44。
∵ 44²=1936，45²=2025，
∴ 1936 ＜ 2023 ＜ 2025，
∴ √1936 ＜ √2023 ＜ √2025，
即 44 ＜ √2023 ＜ 45，
又∵ n为整数，且n ＜ √2023 ＜ n+1，
∴ n=44。
解析
【分析】
要确定整数n的值，首先需要估算出$\sqrt{2023}$的取值范围。根据算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大，我们只需要找到与2023相邻的两个正整数的平方，确定2023在哪两个平方数之间，就能得出$\sqrt{2023}$的取值范围，进而求出n的值。
【解析】
∵ $44^2=1936$，$45^2=2025$，
∴ $1936 ＜ 2023 ＜ 2025$，
对不等式同时开算术平方根，可得$\sqrt{1936} ＜ \sqrt{2023} ＜ \sqrt{2025}$，
即 $44 ＜ \sqrt{2023} ＜ 45$，
又
∵ n为整数，且$n ＜ \sqrt{2023} ＜ n+1$，
∴ $n=44$。
【答案】
44
【知识点】
1. 估算无理数的大小 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题考查无理数的估算，解题的关键是找准与被开方数相邻的两个完全平方数，结合算术平方根的性质确定无理数的取值范围，属于基础能力考查题。
【难度系数】
0.8
要确定整数n的值，首先需要估算出$\sqrt{2023}$的取值范围。根据算术平方根的性质：被开方数越大，对应的算术平方根也越大，我们只需要找到与2023相邻的两个正整数的平方，确定2023在哪两个平方数之间，就能得出$\sqrt{2023}$的取值范围，进而求出n的值。
【解析】
∵ $44^2=1936$，$45^2=2025$，
∴ $1936 ＜ 2023 ＜ 2025$，
对不等式同时开算术平方根，可得$\sqrt{1936} ＜ \sqrt{2023} ＜ \sqrt{2025}$，
即 $44 ＜ \sqrt{2023} ＜ 45$，
又
∵ n为整数，且$n ＜ \sqrt{2023} ＜ n+1$，
∴ $n=44$。
【答案】
44
【知识点】
1. 估算无理数的大小 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题考查无理数的估算，解题的关键是找准与被开方数相邻的两个完全平方数，结合算术平方根的性质确定无理数的取值范围，属于基础能力考查题。
【难度系数】
0.8
7. 4月23日是世界读书日，某校为了解该校300名七年级学生每周阅读课外书籍的时间，随机抽取了该校30名七年级学生，调查了他们每周阅读课外书籍的时间，并制作成如图所示的频数分布直方图，那么估计该校七年级学生每周阅读课外书籍的时间不少于5 h的学生有名.
答案
$\boldsymbol{140}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确“每周阅读课外书籍的时间不少于5h”对应的是直方图中时间区间为5~7h和7~9h的两组学生。我们需要先统计抽取的30名样本中这两组的总人数，算出该群体在样本中的占比，再用七年级总人数乘这个占比，就能估算出全校七年级符合要求的学生人数。
【解析】
首先观察频数分布直方图，抽取的30名学生中：
每周阅读时间为5~7h的有6人，7~9h的有8人，
则样本中阅读时间不少于5h的人数为 $6+8=14$ 人，
该群体占样本的比例为 $\frac{14}{30}$。
该校七年级共有300名学生，因此估计符合要求的人数为：
$300×\frac{14}{30}=140$（名）
【答案】
$\boldsymbol{140}$
【知识点】
频数分布直方图，用样本估计总体
【点评】
本题重点考查对频数分布直方图的信息提取能力，以及用样本特征估算总体特征的统计思想，只要能准确读取对应区间的频数，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确“每周阅读课外书籍的时间不少于5h”对应的是直方图中时间区间为5~7h和7~9h的两组学生。我们需要先统计抽取的30名样本中这两组的总人数，算出该群体在样本中的占比，再用七年级总人数乘这个占比，就能估算出全校七年级符合要求的学生人数。
【解析】
首先观察频数分布直方图，抽取的30名学生中：
每周阅读时间为5~7h的有6人，7~9h的有8人，
则样本中阅读时间不少于5h的人数为 $6+8=14$ 人，
该群体占样本的比例为 $\frac{14}{30}$。
该校七年级共有300名学生，因此估计符合要求的人数为：
$300×\frac{14}{30}=140$（名）
【答案】
$\boldsymbol{140}$
【知识点】
频数分布直方图，用样本估计总体
【点评】
本题重点考查对频数分布直方图的信息提取能力，以及用样本特征估算总体特征的统计思想，只要能准确读取对应区间的频数，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
8. 关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x+3y=a, \\3x+2y=a-2\end{cases}$的解$x$与$y$的和是2，则$a=$ ______ .
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
解题思路：观察方程组两个方程的系数特点，x的系数相加等于5，y的系数相加也等于5，因此可以先将两个方程左右两边分别相加，得到含有(x+y)的式子，再结合题目给出的x+y=2的条件，整体代入即可快速求出a的值，无需单独求解x、y，能简化计算过程。若想不到整体法，也可以先通过消元法用含a的式子表示x和y，再根据x+y=2列方程求解a。
【解析】
解：记方程组为$\begin{cases}2x+3y=a&① \\3x+2y=a-2&②\end{cases}$
将①+②，左右两边分别相加得：
$(2x+3y)+(3x+2y)=a+(a-2)$
整理得：$5x+5y=2a-2$，即$5(x+y)=2a-2$
已知$x+y=2$，将其代入上式可得：
$5×2=2a-2$
计算得：$10=2a-2$
移项得：$2a=10+2=12$
解得：$a=6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
二元一次方程组的解，整体代入思想，等式的性质
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础计算题，既可以用常规消元法逐步求解，也可以通过观察系数特征用整体代入法简化运算，侧重考查学生的运算能力和观察分析能力。
【难度系数】
0.75
解题思路：观察方程组两个方程的系数特点，x的系数相加等于5，y的系数相加也等于5，因此可以先将两个方程左右两边分别相加，得到含有(x+y)的式子，再结合题目给出的x+y=2的条件，整体代入即可快速求出a的值，无需单独求解x、y，能简化计算过程。若想不到整体法，也可以先通过消元法用含a的式子表示x和y，再根据x+y=2列方程求解a。
【解析】
解：记方程组为$\begin{cases}2x+3y=a&① \\3x+2y=a-2&②\end{cases}$
将①+②，左右两边分别相加得：
$(2x+3y)+(3x+2y)=a+(a-2)$
整理得：$5x+5y=2a-2$，即$5(x+y)=2a-2$
已知$x+y=2$，将其代入上式可得：
$5×2=2a-2$
计算得：$10=2a-2$
移项得：$2a=10+2=12$
解得：$a=6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
二元一次方程组的解，整体代入思想，等式的性质
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础计算题，既可以用常规消元法逐步求解，也可以通过观察系数特征用整体代入法简化运算，侧重考查学生的运算能力和观察分析能力。
【难度系数】
0.75
9. 如图是一盏可调节台灯及示意图. 固定支撑杆$AO ⊥$底座$MN$于点$O$,$AB$与$BC$是分别可绕点$A$和$B$旋转的调节杆,台灯灯罩可绕点$C$旋转调节光线角度,在调节过程中,最外侧光线$CD$,$CE$组成的$∠ DCE$始终保持不变. 现调节台灯,使外侧光线$CD // MN$,$CE // BA$,若$∠ BAO=158°$,则$∠ DCE=$.
答案
$\boldsymbol{68°}$
解析
【分析】
这道题是结合生活场景的几何角度计算题，解题思路如下：首先观察已知条件，有CD//MN、AO⊥MN、CE//BA三个关键关系，要找到∠DCE的度数，我们可以通过延长BA构造三角形，利用三角形外角的性质和两直线平行同位角相等，把已知的∠BAO和所求角度建立联系。第一步先由CD和MN平行、AO垂直MN，推出AO垂直CD，得到直角；第二步利用三角形外角性质算出AB和CD的夹角；第三步由CE平行AB，可知∠DCE等于这个夹角，就能得到结果。
【解析】
解：延长BA交直线CD于点P，
∵ CD//MN，AO⊥MN，
∴ AO⊥CD（一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条），
∴ ∠AOP=90°，
∵ ∠BAO是△AOP的外角，
∴ ∠BAO=∠AOP+∠APO（三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和），
代入已知∠BAO=158°，得：
∠APO=158°-90°=68°，
又
∵ CE//BA，
∴ ∠DCE=∠APO=68°（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
$\boldsymbol{68°}$
【知识点】
平行线的性质，三角形外角性质，垂直的定义
【点评】
本题将几何知识和生活实际结合，难度适中，解题核心是合理构造辅助线，灵活运用平行线和三角形外角的基础性质转化角度关系，考查学生对基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.65
这道题是结合生活场景的几何角度计算题，解题思路如下：首先观察已知条件，有CD//MN、AO⊥MN、CE//BA三个关键关系，要找到∠DCE的度数，我们可以通过延长BA构造三角形，利用三角形外角的性质和两直线平行同位角相等，把已知的∠BAO和所求角度建立联系。第一步先由CD和MN平行、AO垂直MN，推出AO垂直CD，得到直角；第二步利用三角形外角性质算出AB和CD的夹角；第三步由CE平行AB，可知∠DCE等于这个夹角，就能得到结果。
【解析】
解：延长BA交直线CD于点P，
∵ CD//MN，AO⊥MN，
∴ AO⊥CD（一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条），
∴ ∠AOP=90°，
∵ ∠BAO是△AOP的外角，
∴ ∠BAO=∠AOP+∠APO（三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和），
代入已知∠BAO=158°，得：
∠APO=158°-90°=68°，
又
∵ CE//BA，
∴ ∠DCE=∠APO=68°（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
$\boldsymbol{68°}$
【知识点】
平行线的性质，三角形外角性质，垂直的定义
【点评】
本题将几何知识和生活实际结合，难度适中，解题核心是合理构造辅助线，灵活运用平行线和三角形外角的基础性质转化角度关系，考查学生对基础几何知识的应用能力。
【难度系数】
0.65
