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1.用提公因式法分解因式$12ab^3c + 8a^3b$时，应提取的公因式是（
A.$4ab^2$
B.$4abc$
C.$2ab^2$
D.$4ab$
D
）A.$4ab^2$
B.$4abc$
C.$2ab^2$
D.$4ab$
答案
D
解析
【分析】
要确定提公因式法分解因式时的公因式，需按三步思考：第一步找各项系数的最大公约数；第二步找各项都含有的相同字母；第三步对相同字母取次数最低的幂，三者相乘就是要提取的公因式。我们逐一分析题目中两个项的特征即可得出结果。
【解析】
找公因式的步骤如下：
1. 确定系数的最大公约数：12和8的最大公约数是4；
2. 确定相同字母：两个项分别是$12ab^3c$和$8a^3b$，都含有的字母是a、b，字母c仅在第一项中出现，不属于公因式的组成部分；
3. 确定相同字母的最低次幂：a在两项中的次数分别是1、3，最低次是1次；b在两项中的次数分别是3、1，最低次是1次。
综上，公因式为$4× a^1× b^1=4ab$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题考查提公因式法中公因式的确定方法，牢记找公因式的三步规则是解题的核心，此类题目属于基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
要确定提公因式法分解因式时的公因式，需按三步思考：第一步找各项系数的最大公约数；第二步找各项都含有的相同字母；第三步对相同字母取次数最低的幂，三者相乘就是要提取的公因式。我们逐一分析题目中两个项的特征即可得出结果。
【解析】
找公因式的步骤如下：
1. 确定系数的最大公约数：12和8的最大公约数是4；
2. 确定相同字母：两个项分别是$12ab^3c$和$8a^3b$，都含有的字母是a、b，字母c仅在第一项中出现，不属于公因式的组成部分；
3. 确定相同字母的最低次幂：a在两项中的次数分别是1、3，最低次是1次；b在两项中的次数分别是3、1，最低次是1次。
综上，公因式为$4× a^1× b^1=4ab$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题考查提公因式法中公因式的确定方法，牢记找公因式的三步规则是解题的核心，此类题目属于基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
2.(2024·朝天区期末)下列用提公因式法分解因式正确的是（
A.$12abc - 9a^2b^2c^2 = 3abc(4 - 3ab)$
B.$3x^2y - 3xy + 6y = 3y(x^2 - x + 2y)$
C.$-a^2 + ab - ac = -a(a - b + c)$
D.$x^2y + 5xy - y = y(x^2 + 5x)$
C
）A.$12abc - 9a^2b^2c^2 = 3abc(4 - 3ab)$
B.$3x^2y - 3xy + 6y = 3y(x^2 - x + 2y)$
C.$-a^2 + ab - ac = -a(a - b + c)$
D.$x^2y + 5xy - y = y(x^2 + 5x)$
答案
C
解析
【分析】
这道题考查提公因式法分解因式的正误判断，解题思路如下：首先明确提公因式的核心规则：1.确定公因式：系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂；2.提取公因式后，用原多项式的每一项除以公因式得到剩余因式，若首项系数为负，要先提取负号，此时括号内各项都要变号；3.可将分解后的式子展开，验证是否与原式相等，再逐个判断选项即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A选项：原式$12abc - 9a^2b^2c^2$的公因式为$3abc$，提取公因式后应为$3abc(4 - 3abc)$，选项中剩余因式的最后一项漏了字母$c$，错误。
B选项：原式$3x^2y - 3xy + 6y$的公因式为$3y$，提取公因式后应为$3y(x^2 - x + 2)$，选项中剩余因式的最后一项多了字母$y$，错误。
C选项：原式$-a^2 + ab - ac$首项为负，先提取负号，公因式为$-a$，提取后得$-a(a - b + c)$，与选项一致，正确。
D选项：原式$x^2y + 5xy - y$的公因式为$y$，提取公因式后应为$y(x^2 + 5x - 1)$，选项中漏了常数项$-1$，错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定、因式分解的检验
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题，易错点包括公因式确定错误、提取公因式后漏写剩余项、负号提取时符号处理不当，解题时可通过反向展开验证的方法减少失误。
【难度系数】
0.7
这道题考查提公因式法分解因式的正误判断，解题思路如下：首先明确提公因式的核心规则：1.确定公因式：系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂；2.提取公因式后，用原多项式的每一项除以公因式得到剩余因式，若首项系数为负，要先提取负号，此时括号内各项都要变号；3.可将分解后的式子展开，验证是否与原式相等，再逐个判断选项即可。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A选项：原式$12abc - 9a^2b^2c^2$的公因式为$3abc$，提取公因式后应为$3abc(4 - 3abc)$，选项中剩余因式的最后一项漏了字母$c$，错误。
B选项：原式$3x^2y - 3xy + 6y$的公因式为$3y$，提取公因式后应为$3y(x^2 - x + 2)$，选项中剩余因式的最后一项多了字母$y$，错误。
C选项：原式$-a^2 + ab - ac$首项为负，先提取负号，公因式为$-a$，提取后得$-a(a - b + c)$，与选项一致，正确。
D选项：原式$x^2y + 5xy - y$的公因式为$y$，提取公因式后应为$y(x^2 + 5x - 1)$，选项中漏了常数项$-1$，错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定、因式分解的检验
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题，易错点包括公因式确定错误、提取公因式后漏写剩余项、负号提取时符号处理不当，解题时可通过反向展开验证的方法减少失误。
【难度系数】
0.7
3.分解因式:
(1)$5m^2 - 25m^2y =$
(2)$2x^2y + xy^2 - xy =$
(3)$-2a^2 -10ab +10a =$
(4)$\frac{1}{3}π r^2h + \frac{2}{3}π r^3 =$
(1)$5m^2 - 25m^2y =$
$5m^2(1-5y)$
;(2)$2x^2y + xy^2 - xy =$
$xy(2x+y-1)$
;(3)$-2a^2 -10ab +10a =$
$-2a(a+5b-5)$
;(4)$\frac{1}{3}π r^2h + \frac{2}{3}π r^3 =$
$\frac{1}{3}π r^2(h+2r)$
.答案
(1)$5m^2(1-5y)$ (2)$xy(2x+y-1)$ (3)$-2a(a+5b-5)$ (4)$\frac{1}{3}π r^2(h+2r)$
解析
【分析】
这4道小题均考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：首先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公因数，再找各项共有的相同字母（或整式）的最低次幂，二者的乘积即为公因式；若多项式首项系数为负数，要优先提取负号，此时括号内的每一项都要改变符号；最后用原多项式的每一项除以公因式，将得到的商作为括号内的对应项，整理后即为分解结果，注意要检查是否漏项、是否分解彻底。
【解析】
(1) 多项式$5m^2 - 25m^2y$中，各项系数的最大公因数是5，共有的相同字母为$m$，最低次幂为$m^2$，公因式为$5m^2$，提取公因式得：
$5m^2 - 25m^2y = 5m^2(1 - 5y)$
(2) 多项式$2x^2y + xy^2 - xy$中，各项系数的最大公因数是1，共有的相同字母为$x$、$y$，最低次幂均为1次，公因式为$xy$，提取公因式得：
$2x^2y + xy^2 - xy = xy(2x + y - 1)$
(3) 多项式$-2a^2 -10ab +10a$首项系数为负，优先提取负号，各项系数的最大公因数是2，共有的相同字母为$a$，最低次幂为$a$，公因式为$-2a$，提取公因式得：
$-2a^2 -10ab +10a = -2a(a + 5b - 5)$
(4) 多项式$\frac{1}{3}π r^2h + \frac{2}{3}π r^3$中，各项系数的最大公因数是$\frac{1}{3}$，共有的相同部分为$π$、$r$，$r$的最低次幂为$r^2$，公因式为$\frac{1}{3}π r^2$，提取公因式得：
$\frac{1}{3}π r^2h + \frac{2}{3}π r^3 = \frac{1}{3}π r^2(h + 2r)$
【答案】
(1)$5m^2(1-5y)$ (2)$xy(2x+y-1)$ (3)$-2a(a+5b-5)$ (4)$\frac{1}{3}π r^2(h+2r)$
【知识点】
提公因式法，公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题，重点考查公因式的确定规则，解题时需注意首项为负时要先提取负号，提取公因式后不要漏写常数项“1”，分解后要检查结果是否符合要求。
【难度系数】
0.8
这4道小题均考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：首先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公因数，再找各项共有的相同字母（或整式）的最低次幂，二者的乘积即为公因式；若多项式首项系数为负数，要优先提取负号，此时括号内的每一项都要改变符号；最后用原多项式的每一项除以公因式，将得到的商作为括号内的对应项，整理后即为分解结果，注意要检查是否漏项、是否分解彻底。
【解析】
(1) 多项式$5m^2 - 25m^2y$中，各项系数的最大公因数是5，共有的相同字母为$m$，最低次幂为$m^2$，公因式为$5m^2$，提取公因式得：
$5m^2 - 25m^2y = 5m^2(1 - 5y)$
(2) 多项式$2x^2y + xy^2 - xy$中，各项系数的最大公因数是1，共有的相同字母为$x$、$y$，最低次幂均为1次，公因式为$xy$，提取公因式得：
$2x^2y + xy^2 - xy = xy(2x + y - 1)$
(3) 多项式$-2a^2 -10ab +10a$首项系数为负，优先提取负号，各项系数的最大公因数是2，共有的相同字母为$a$，最低次幂为$a$，公因式为$-2a$，提取公因式得：
$-2a^2 -10ab +10a = -2a(a + 5b - 5)$
(4) 多项式$\frac{1}{3}π r^2h + \frac{2}{3}π r^3$中，各项系数的最大公因数是$\frac{1}{3}$，共有的相同部分为$π$、$r$，$r$的最低次幂为$r^2$，公因式为$\frac{1}{3}π r^2$，提取公因式得：
$\frac{1}{3}π r^2h + \frac{2}{3}π r^3 = \frac{1}{3}π r^2(h + 2r)$
【答案】
(1)$5m^2(1-5y)$ (2)$xy(2x+y-1)$ (3)$-2a(a+5b-5)$ (4)$\frac{1}{3}π r^2(h+2r)$
【知识点】
提公因式法，公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题，重点考查公因式的确定规则，解题时需注意首项为负时要先提取负号，提取公因式后不要漏写常数项“1”，分解后要检查结果是否符合要求。
【难度系数】
0.8
4.(教材 P125 例 2 变式)因式分解：
(1)$4a^3b^2 - 10ab^3c$；
(2)$3x^2 + 9xy^2 - 15x$；
(3)$7p(p+q)-4q(p+q)$。
(1)$4a^3b^2 - 10ab^3c$；
(2)$3x^2 + 9xy^2 - 15x$；
(3)$7p(p+q)-4q(p+q)$。
答案
(1)原式=$2ab^2(2a^2 - 5bc)$ (2)原式=$3x(x+3y^2 -5)$ (3)原式=$(p+q)(7p-4q)$
解析
【分析】
这三道题都适用提公因式法进行因式分解，解题思路如下：第一步先确定各项的公因式：公因式由两部分组成，一是各项系数的最大公约数，二是各项都含有的相同字母/多项式的最低次幂，二者的乘积就是公因式；第二步提取公因式，将原式每一项除以公因式，得到的剩余项相加放在括号内，与公因式写成乘积形式即可。
第(1)题公因式是单项式，系数4和10的最大公约数是2，相同字母的最低次幂为a、b²，公因式为2ab²；第(2)题公因式是单项式，系数3、9、15的最大公约数是3，相同字母的最低次幂为x，公因式为3x，提取时注意不要漏项；第(3)题公因式是多项式(p+q)，将其作为整体提取即可。
【解析】
(1) 先确定公因式为$2ab^2$，提取公因式：
$\begin{aligned}4a^3b^2 - 10ab^3c &= 2ab^2· 2a^2 - 2ab^2· 5bc \\&= 2ab^2(2a^2 - 5bc)\end{aligned}$
(2) 先确定公因式为$3x$，提取公因式：
$\begin{aligned}3x^2 + 9xy^2 - 15x &= 3x· x + 3x· 3y^2 - 3x· 5 \\&= 3x(x + 3y^2 - 5)\end{aligned}$
(3) 先确定公因式为$(p+q)$，提取公因式：
$\begin{aligned}7p(p+q)-4q(p+q) &= (p+q)· 7p - (p+q)· 4q \\&= (p+q)(7p - 4q)\end{aligned}$
【答案】
(1)$2ab^2(2a^2 - 5bc)$；(2)$3x(x+3y^2 -5)$；(3)$(p+q)(7p-4q)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定
【点评】
这组题目是提公因式法分解因式的基础题型，既考查了单项式为公因式的提取方法，也考查了多项式为公因式的整体提取思路，解题时要注意提取公因式后不要漏项，可通过整式乘法反向验证分解是否正确。
【难度系数】
0.8
这三道题都适用提公因式法进行因式分解，解题思路如下：第一步先确定各项的公因式：公因式由两部分组成，一是各项系数的最大公约数，二是各项都含有的相同字母/多项式的最低次幂，二者的乘积就是公因式；第二步提取公因式，将原式每一项除以公因式，得到的剩余项相加放在括号内，与公因式写成乘积形式即可。
第(1)题公因式是单项式，系数4和10的最大公约数是2，相同字母的最低次幂为a、b²，公因式为2ab²；第(2)题公因式是单项式，系数3、9、15的最大公约数是3，相同字母的最低次幂为x，公因式为3x，提取时注意不要漏项；第(3)题公因式是多项式(p+q)，将其作为整体提取即可。
【解析】
(1) 先确定公因式为$2ab^2$，提取公因式：
$\begin{aligned}4a^3b^2 - 10ab^3c &= 2ab^2· 2a^2 - 2ab^2· 5bc \\&= 2ab^2(2a^2 - 5bc)\end{aligned}$
(2) 先确定公因式为$3x$，提取公因式：
$\begin{aligned}3x^2 + 9xy^2 - 15x &= 3x· x + 3x· 3y^2 - 3x· 5 \\&= 3x(x + 3y^2 - 5)\end{aligned}$
(3) 先确定公因式为$(p+q)$，提取公因式：
$\begin{aligned}7p(p+q)-4q(p+q) &= (p+q)· 7p - (p+q)· 4q \\&= (p+q)(7p - 4q)\end{aligned}$
【答案】
(1)$2ab^2(2a^2 - 5bc)$；(2)$3x(x+3y^2 -5)$；(3)$(p+q)(7p-4q)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定
【点评】
这组题目是提公因式法分解因式的基础题型，既考查了单项式为公因式的提取方法，也考查了多项式为公因式的整体提取思路，解题时要注意提取公因式后不要漏项，可通过整式乘法反向验证分解是否正确。
【难度系数】
0.8
5.分解因式：
(1)$a(x^2 + y^2) + b(-x^2 - y^2)=$
(2)$a(m - n)^3 - b(n - m)^3=$
(1)$a(x^2 + y^2) + b(-x^2 - y^2)=$
$(x^2+y^2)·(a-b)$
；(2)$a(m - n)^3 - b(n - m)^3=$
$(m-n)^3(a+b)$
。答案
(1)$(x^2+y^2)·(a-b)$ (2)$(m-n)^3(a+b)$
解析
【分析】
这两道题均考查提公因式法分解因式，解题思路如下：①先观察式子的结构，确定需要统一的底数形式，处理符号问题；②找出各项的公因式；③提取公因式并整理剩余项即可得到分解结果。第(1)题可先将后项的$-x^2-y^2$变形为$-(x^2+y^2)$，即可得到公因式$x^2+y^2$；第(2)题利用$(n-m)^3=-(m-n)^3$的关系统一底数，即可得到公因式$(m-n)^3$。
【解析】
(1) 先对原式变形：
$a(x^2 + y^2) + b(-x^2 - y^2)=a(x^2+y^2)-b(x^2+y^2)$
提取公因式$x^2+y^2$，得：
原式$=(x^2+y^2)(a-b)$
(2) 先利用幂的符号规律变形：
$\because (n-m)^3=[-(m-n)]^3=-(m-n)^3$
$\therefore a(m - n)^3 - b(n - m)^3=a(m-n)^3 - b·[-(m-n)^3]=a(m-n)^3 + b(m-n)^3$
提取公因式$(m-n)^3$，得：
原式$=(m-n)^3(a+b)$
【答案】
(1)$(x^2+y^2)(a-b)$；(2)$(m-n)^3(a+b)$
【知识点】
1.提公因式法分解因式；2.幂的符号变化规律
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础应用题型，解题的关键是准确识别公因式，当两项的底数互为相反数时，要先通过幂的符号性质统一底数，尤其要注意奇次幂的符号变化，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.8
这两道题均考查提公因式法分解因式，解题思路如下：①先观察式子的结构，确定需要统一的底数形式，处理符号问题；②找出各项的公因式；③提取公因式并整理剩余项即可得到分解结果。第(1)题可先将后项的$-x^2-y^2$变形为$-(x^2+y^2)$，即可得到公因式$x^2+y^2$；第(2)题利用$(n-m)^3=-(m-n)^3$的关系统一底数，即可得到公因式$(m-n)^3$。
【解析】
(1) 先对原式变形：
$a(x^2 + y^2) + b(-x^2 - y^2)=a(x^2+y^2)-b(x^2+y^2)$
提取公因式$x^2+y^2$，得：
原式$=(x^2+y^2)(a-b)$
(2) 先利用幂的符号规律变形：
$\because (n-m)^3=[-(m-n)]^3=-(m-n)^3$
$\therefore a(m - n)^3 - b(n - m)^3=a(m-n)^3 - b·[-(m-n)^3]=a(m-n)^3 + b(m-n)^3$
提取公因式$(m-n)^3$，得：
原式$=(m-n)^3(a+b)$
【答案】
(1)$(x^2+y^2)(a-b)$；(2)$(m-n)^3(a+b)$
【知识点】
1.提公因式法分解因式；2.幂的符号变化规律
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础应用题型，解题的关键是准确识别公因式，当两项的底数互为相反数时，要先通过幂的符号性质统一底数，尤其要注意奇次幂的符号变化，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.8
6.因式分解:$4(a-b)(2a-3b)+b^{2}(3b-2a).$
答案
原式=$(4a-4b)(2a-3b)-(2a-3b)b^2=(2a-3b)(4a-4b-b^2)$
解析
【分析】
要对该多项式因式分解，首先观察式子的两项，发现分别含有因式$(2a-3b)$和$(3b-2a)$，二者互为相反数，我们可以先把$(3b-2a)$变形为$-(2a-3b)$，这样两项就有了公因式$(2a-3b)$；接下来先统一公因式的符号，再提取公因式，最后对剩余的部分化简整理即可。
【解析】
首先对符号进行变形：$3b-2a=-(2a-3b)$，代入原式可得：
$\begin{aligned}原式&=4(a-b)(2a-3b)-b^2(2a-3b)\\&=(4a-4b)(2a-3b)-b^2(2a-3b)\\&=(2a-3b)(4a-4b-b^2)\end{aligned}$
【答案】
$(2a-3b)(4a-4b-b^2)$
【知识点】
1.提公因式法因式分解
2.因式符号变形
【点评】
本题是提公因式法分解因式的典型题型，解题核心是观察到互为相反数的因式，统一符号后准确提取公因式，计算过程中要注意符号变换，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
要对该多项式因式分解，首先观察式子的两项，发现分别含有因式$(2a-3b)$和$(3b-2a)$，二者互为相反数，我们可以先把$(3b-2a)$变形为$-(2a-3b)$，这样两项就有了公因式$(2a-3b)$；接下来先统一公因式的符号，再提取公因式，最后对剩余的部分化简整理即可。
【解析】
首先对符号进行变形：$3b-2a=-(2a-3b)$，代入原式可得：
$\begin{aligned}原式&=4(a-b)(2a-3b)-b^2(2a-3b)\\&=(4a-4b)(2a-3b)-b^2(2a-3b)\\&=(2a-3b)(4a-4b-b^2)\end{aligned}$
【答案】
$(2a-3b)(4a-4b-b^2)$
【知识点】
1.提公因式法因式分解
2.因式符号变形
【点评】
本题是提公因式法分解因式的典型题型，解题核心是观察到互为相反数的因式，统一符号后准确提取公因式，计算过程中要注意符号变换，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
7.若$9a^{2}(x-y)^{2}-3a(y-x)^{3}=M· (3a+x-y)$，则$M$等于（
A.$y-x$
B.$x-y$
C.$3a(x-y)^{2}$
D.$-3a(x-y)$
C
）A.$y-x$
B.$x-y$
C.$3a(x-y)^{2}$
D.$-3a(x-y)$
答案
C
解析
【分析】
本题考查提公因式法分解因式的应用，解题思路如下：首先观察等式左边的两个项，底数$(x-y)$和$(y-x)$互为相反数，可利用偶次幂符号不变的性质将两个项的底数统一，再找出公因式并提取，最后将分解后的式子与等式右边对比，即可求出$M$的值。
【解析】
先对等式左边的式子变形并分解因式：
∵互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数，即$(y-x)^3=-(x-y)^3$，$(x-y)^2=(y-x)^2$
∴左边$=9a^2(x-y)^2 - 3a(y-x)^3$
$=9a^2(x-y)^2 + 3a(x-y)^3$
观察可得两项的公因式为$3a(x-y)^2$，提取公因式得：
$=3a(x-y)^2·3a + 3a(x-y)^2·(x-y)$
$=3a(x-y)^2(3a + x - y)$
已知左边$=M·(3a+x-y)$，对比两个式子可得：
$M=3a(x-y)^2$
【答案】
C
【知识点】
1.提公因式法分解因式
2.幂的符号变换
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，解题核心是正确处理底数互为相反数的幂的符号问题，准确提取公因式，做题时要特别注意奇次幂变号、偶次幂不变号的规律，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.7
本题考查提公因式法分解因式的应用，解题思路如下：首先观察等式左边的两个项，底数$(x-y)$和$(y-x)$互为相反数，可利用偶次幂符号不变的性质将两个项的底数统一，再找出公因式并提取，最后将分解后的式子与等式右边对比，即可求出$M$的值。
【解析】
先对等式左边的式子变形并分解因式：
∵互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数，即$(y-x)^3=-(x-y)^3$，$(x-y)^2=(y-x)^2$
∴左边$=9a^2(x-y)^2 - 3a(y-x)^3$
$=9a^2(x-y)^2 + 3a(x-y)^3$
观察可得两项的公因式为$3a(x-y)^2$，提取公因式得：
$=3a(x-y)^2·3a + 3a(x-y)^2·(x-y)$
$=3a(x-y)^2(3a + x - y)$
已知左边$=M·(3a+x-y)$，对比两个式子可得：
$M=3a(x-y)^2$
【答案】
C
【知识点】
1.提公因式法分解因式
2.幂的符号变换
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，解题核心是正确处理底数互为相反数的幂的符号问题，准确提取公因式，做题时要特别注意奇次幂变号、偶次幂不变号的规律，避免符号运算错误。
【难度系数】
0.7
8.已知$a + b = 4$，$ab = 2$，则$3a^2b + 3ab^2 =$
$24$
。答案
24
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现每一项都含有公因式3ab，因此可以先利用提公因式法对代数式进行因式分解，分解后可得代数式为$3ab(a+b)$，刚好由已知的$a+b$和$ab$两个整体组成，不需要单独求出$a$、$b$的具体值，直接将已知条件整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：先对所求式子因式分解：
$3a^2b + 3ab^2 = 3ab(a + b)$
已知$a + b = 4$，$ab = 2$，将其代入上式得：
$3×2×4 = 24$
【答案】
24
【知识点】
提公因式法分解因式；整体代入求值
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，通过将所求代数式因式分解转化为含已知条件的形式，运用整体代入的思想简化计算过程，降低计算难度，是代数求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式的结构，发现每一项都含有公因式3ab，因此可以先利用提公因式法对代数式进行因式分解，分解后可得代数式为$3ab(a+b)$，刚好由已知的$a+b$和$ab$两个整体组成，不需要单独求出$a$、$b$的具体值，直接将已知条件整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：先对所求式子因式分解：
$3a^2b + 3ab^2 = 3ab(a + b)$
已知$a + b = 4$，$ab = 2$，将其代入上式得：
$3×2×4 = 24$
【答案】
24
【知识点】
提公因式法分解因式；整体代入求值
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，通过将所求代数式因式分解转化为含已知条件的形式，运用整体代入的思想简化计算过程，降低计算难度，是代数求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
9.(苏州中考)若$m+2n=1$，则$3m^2+6mn+6n$的值为
$3$
。答案
3
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和所求代数式的关联，已知$m+2n=1$是一个固定整体，我们需要把所求代数式通过提公因式变形，凑出含有$m+2n$的结构，再整体代入计算即可。首先观察所求代数式的前两项$3m^2+6mn$，存在公因式$3m$，提取后可得到$3m(m+2n)$，正好可以代入已知条件简化，再对简化后的式子继续整理，再次凑出$m+2n$的整体代入就能得出结果。
【解析】
解：对$3m^2+6mn+6n$逐步变形：
1. 提取前两项的公因式$3m$，可得：
$3m^2+6mn+6n=3m(m+2n)+6n$
2. 把$m+2n=1$代入上式，得：
$3m×1 +6n=3m+6n$
3. 对$3m+6n$提取公因式3，可得：
$3(m+2n)$
4. 再次代入$m+2n=1$，得：
$3×1=3$
【答案】
3
【知识点】
提公因式法分解因式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题是因式分解应用的典型题型，解题核心是通过提公因式对所求代数式合理变形，将已知条件作为整体代入，无需单独求解m、n的值即可快速得到结果，能有效考查因式分解的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件和所求代数式的关联，已知$m+2n=1$是一个固定整体，我们需要把所求代数式通过提公因式变形，凑出含有$m+2n$的结构，再整体代入计算即可。首先观察所求代数式的前两项$3m^2+6mn$，存在公因式$3m$，提取后可得到$3m(m+2n)$，正好可以代入已知条件简化，再对简化后的式子继续整理，再次凑出$m+2n$的整体代入就能得出结果。
【解析】
解：对$3m^2+6mn+6n$逐步变形：
1. 提取前两项的公因式$3m$，可得：
$3m^2+6mn+6n=3m(m+2n)+6n$
2. 把$m+2n=1$代入上式，得：
$3m×1 +6n=3m+6n$
3. 对$3m+6n$提取公因式3，可得：
$3(m+2n)$
4. 再次代入$m+2n=1$，得：
$3×1=3$
【答案】
3
【知识点】
提公因式法分解因式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题是因式分解应用的典型题型，解题核心是通过提公因式对所求代数式合理变形，将已知条件作为整体代入，无需单独求解m、n的值即可快速得到结果，能有效考查因式分解的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
10.(教材 P127 习题 T4 变式)分解因式：
(1)$-4x^2yz -12xy^2z +4xyz$;
(2)$3x(x-2y)^4 + (2y -x)^5$;
(3)$4x(x-2y)+8y(2y -x)$;
(4)$a^4(2a -6b)-a^3(6b -2a)$;
(5)$m(m+7)-m -7$.
(1)$-4x^2yz -12xy^2z +4xyz$;
(2)$3x(x-2y)^4 + (2y -x)^5$;
(3)$4x(x-2y)+8y(2y -x)$;
(4)$a^4(2a -6b)-a^3(6b -2a)$;
(5)$m(m+7)-m -7$.
答案
(1)原式=$-4xyz(x+3y-1)$
(2)原式=$3x(x-2y)^4-(x-2y)^5=2(x-2y)^4(x+y)$
(3)原式=$4x(x-2y)-8y(x-2y)=4(x-2y)(x-2y)=4(x-2y)^2$
(4)原式=$2a^4(a-3b)+2a^3(a-3b)=2a^3(a-3b)(a+1)$
(5)原式=$m(m+7)-(m+7)=(m+7)(m-1)$
(2)原式=$3x(x-2y)^4-(x-2y)^5=2(x-2y)^4(x+y)$
(3)原式=$4x(x-2y)-8y(x-2y)=4(x-2y)(x-2y)=4(x-2y)^2$
(4)原式=$2a^4(a-3b)+2a^3(a-3b)=2a^3(a-3b)(a+1)$
(5)原式=$m(m+7)-(m+7)=(m+7)(m-1)$
解析
【分析】
这组题目均考查提公因式法分解因式，解题可按以下思路推进：①先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母或因式的最低次幂，二者的乘积就是公因式，若多项式首项为负，可先提取负号简化计算；②若出现互为相反数的因式（如$x-2y$和$2y-x$），可根据“负数的偶次幂为正、奇次幂为负”统一底数，注意变形时的符号变化；③提取公因式后，将剩余部分合并同类项，检查最终结果是否为因式乘积的形式，确保每个因式不能再分解即可。
【解析】
(1) 各项系数的最大公约数为4，相同公因式为$xyz$，首项为负，提取公因式$-4xyz$：
原式$=-4xyz· x + (-4xyz)· 3y + (-4xyz)· (-1) = -4xyz(x+3y-1)$
(2) 先将$(2y-x)^5$变形为$-(x-2y)^5$，确定公因式为$(x-2y)^4$，提取后合并同类项：
原式$=3x(x-2y)^4-(x-2y)^5=(x-2y)^4[3x-(x-2y)]=(x-2y)^4(2x+2y)=2(x-2y)^4(x+y)$
(3) 先将$8y(2y-x)$变形为$-8y(x-2y)$，确定公因式为$4(x-2y)$，提取后整理：
原式$=4x(x-2y)-8y(x-2y)=(x-2y)(4x-8y)=4(x-2y)(x-2y)=4(x-2y)^2$
(4) 先将$6b-2a$变形为$-(2a-6b)=-2(a-3b)$，整理后确定公因式为$2a^3(a-3b)$，提取后合并：
原式$=2a^4(a-3b)+2a^3(a-3b)=2a^3(a-3b)(a+1)$
(5) 先将$-m-7$变形为$-(m+7)$，确定公因式为$(m+7)$，提取后整理：
原式$=m(m+7)-(m+7)=(m+7)(m-1)$
【答案】
(1)$-4xyz(x+3y-1)$
(2)$2(x-2y)^4(x+y)$
(3)$4(x-2y)^2$
(4)$2a^3(a-3b)(a+1)$
(5)$(m+7)(m-1)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，幂的符号变形
【点评】
这组题目是提公因式法分解因式的典型基础题，重点考查公因式的识别与提取，以及互为相反数的因式变形时的符号处理，做题时需注意提取公因式后剩余部分要合并同类项，确保分解彻底。
【难度系数】
0.8
这组题目均考查提公因式法分解因式，解题可按以下思路推进：①先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母或因式的最低次幂，二者的乘积就是公因式，若多项式首项为负，可先提取负号简化计算；②若出现互为相反数的因式（如$x-2y$和$2y-x$），可根据“负数的偶次幂为正、奇次幂为负”统一底数，注意变形时的符号变化；③提取公因式后，将剩余部分合并同类项，检查最终结果是否为因式乘积的形式，确保每个因式不能再分解即可。
【解析】
(1) 各项系数的最大公约数为4，相同公因式为$xyz$，首项为负，提取公因式$-4xyz$：
原式$=-4xyz· x + (-4xyz)· 3y + (-4xyz)· (-1) = -4xyz(x+3y-1)$
(2) 先将$(2y-x)^5$变形为$-(x-2y)^5$，确定公因式为$(x-2y)^4$，提取后合并同类项：
原式$=3x(x-2y)^4-(x-2y)^5=(x-2y)^4[3x-(x-2y)]=(x-2y)^4(2x+2y)=2(x-2y)^4(x+y)$
(3) 先将$8y(2y-x)$变形为$-8y(x-2y)$，确定公因式为$4(x-2y)$，提取后整理：
原式$=4x(x-2y)-8y(x-2y)=(x-2y)(4x-8y)=4(x-2y)(x-2y)=4(x-2y)^2$
(4) 先将$6b-2a$变形为$-(2a-6b)=-2(a-3b)$，整理后确定公因式为$2a^3(a-3b)$，提取后合并：
原式$=2a^4(a-3b)+2a^3(a-3b)=2a^3(a-3b)(a+1)$
(5) 先将$-m-7$变形为$-(m+7)$，确定公因式为$(m+7)$，提取后整理：
原式$=m(m+7)-(m+7)=(m+7)(m-1)$
【答案】
(1)$-4xyz(x+3y-1)$
(2)$2(x-2y)^4(x+y)$
(3)$4(x-2y)^2$
(4)$2a^3(a-3b)(a+1)$
(5)$(m+7)(m-1)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，幂的符号变形
【点评】
这组题目是提公因式法分解因式的典型基础题，重点考查公因式的识别与提取，以及互为相反数的因式变形时的符号处理，做题时需注意提取公因式后剩余部分要合并同类项，确保分解彻底。
【难度系数】
0.8
