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1.(2025·长沙期末)下列从左到右的变形,是因式分解的是 (
A.$(x+4)(x-4)=x^2 -16$
B.$x^2 +2x +1 =x(x+2)+1$
C.$x^2 +1 =x(x+\frac{1}{x})$
D.$a^2b +ab^2 =ab(a+b)$
D
)A.$(x+4)(x-4)=x^2 -16$
B.$x^2 +2x +1 =x(x+2)+1$
C.$x^2 +1 =x(x+\frac{1}{x})$
D.$a^2b +ab^2 =ab(a+b)$
答案
1.D
解析
【分析】
解题的核心是紧扣因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解。我们只需对照定义的三个核心特征：①变形对象是多项式；②结果为整式的乘积；③变形为恒等变形，对四个选项逐一排查即可。
【解析】
我们结合因式分解的定义逐个分析选项：
A选项：$(x+4)(x-4)=x^2-16$是将整式的乘积转化为多项式，属于整式乘法运算，不是因式分解，故A错误；
B选项：$x^2+2x+1=x(x+2)+1$的最终结果是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的要求，故B错误；
C选项：$x^2+1=x(x+\frac{1}{x})$中，$\frac{1}{x}$是分式，不属于整式，不符合因式分解结果必须是整式乘积的要求，故C错误；
D选项：$a^2b+ab^2=ab(a+b)$，左边是多项式，右边是两个整式$ab$和$a+b$的乘积，完全符合因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；整式的概念
【点评】
本题是对因式分解概念的基础考查，解题的关键是准确理解因式分解的定义，注意区分因式分解和整式乘法，同时牢记因式分解的结果必须是整式的乘积。
【难度系数】
0.8
解题的核心是紧扣因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解。我们只需对照定义的三个核心特征：①变形对象是多项式；②结果为整式的乘积；③变形为恒等变形，对四个选项逐一排查即可。
【解析】
我们结合因式分解的定义逐个分析选项：
A选项：$(x+4)(x-4)=x^2-16$是将整式的乘积转化为多项式，属于整式乘法运算，不是因式分解，故A错误；
B选项：$x^2+2x+1=x(x+2)+1$的最终结果是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的要求，故B错误；
C选项：$x^2+1=x(x+\frac{1}{x})$中，$\frac{1}{x}$是分式，不属于整式，不符合因式分解结果必须是整式乘积的要求，故C错误；
D选项：$a^2b+ab^2=ab(a+b)$，左边是多项式，右边是两个整式$ab$和$a+b$的乘积，完全符合因式分解的定义，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；整式的概念
【点评】
本题是对因式分解概念的基础考查，解题的关键是准确理解因式分解的定义，注意区分因式分解和整式乘法，同时牢记因式分解的结果必须是整式的乘积。
【难度系数】
0.8
2.多项式$4x^3 - 2x^2y + xy$的公因式是
x
。答案
2.x
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需按照三步法思考：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找所有项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者的乘积就是公因式。首先观察多项式的三项：$4x^3$、$-2x^2y$、$xy$，依次分析系数、公共字母和对应次数即可得出结果。
【解析】
1. 确定公因式的系数：多项式各项系数为4、-2、1，三者的最大公约数是1；
2. 确定公共字母：观察三项，只有字母x是三项都含有的，字母y仅在第二、三项出现，不属于公共字母；
3. 确定公共字母的最低次幂：x在三项中的次数分别为3、2、1，最低次幂为$x^1=x$；
综上，该多项式的公因式是x。
【答案】
x
【知识点】
公因式的确定、提公因式法
【点评】
本题属于公因式确定的基础题型，核心是熟练掌握找公因式的三个步骤，注意公共字母必须是所有项都含有的字母，次数取最低次，避免因漏看系数或字母次数出错。
【难度系数】
0.9
要确定多项式的公因式，需按照三步法思考：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找所有项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者的乘积就是公因式。首先观察多项式的三项：$4x^3$、$-2x^2y$、$xy$，依次分析系数、公共字母和对应次数即可得出结果。
【解析】
1. 确定公因式的系数：多项式各项系数为4、-2、1，三者的最大公约数是1；
2. 确定公共字母：观察三项，只有字母x是三项都含有的，字母y仅在第二、三项出现，不属于公共字母；
3. 确定公共字母的最低次幂：x在三项中的次数分别为3、2、1，最低次幂为$x^1=x$；
综上，该多项式的公因式是x。
【答案】
x
【知识点】
公因式的确定、提公因式法
【点评】
本题属于公因式确定的基础题型，核心是熟练掌握找公因式的三个步骤，注意公共字母必须是所有项都含有的字母，次数取最低次，避免因漏看系数或字母次数出错。
【难度系数】
0.9
3.多项式$am - an + ap^2$提取公因式$a$后，另一个因式为 （
A.$m - n + p$
B.$m - n$
C.$m - n + p^2$
D.$m - n + 1$
C
）A.$m - n + p$
B.$m - n$
C.$m - n + p^2$
D.$m - n + 1$
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查提公因式法分解因式的应用，解题思路如下：首先明确提公因式法的运算规则：提取公因式后，剩余的因式是原多项式的每一项分别除以公因式所得的商的和，且不能漏项。本题已经给出公因式为$a$，只需将原多项式的三项分别除以$a$，再将结果相加即可得到另一个因式。
【解析】
根据提公因式法的运算规则：
原多项式为$am - an + ap^2$，将每一项分别除以公因式$a$：
第一项：$am÷ a = m$
第二项：$-an÷ a = -n$
第三项：$ap^2÷ a = p^2$
将所得的商相加，得到另一个因式为$m - n + p^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题，考查提公因式法的基础应用，解题时需注意提取公因式后每一项都要除以公因式，避免出现漏项、漏写指数的错误。
【难度系数】
0.9
本题考查提公因式法分解因式的应用，解题思路如下：首先明确提公因式法的运算规则：提取公因式后，剩余的因式是原多项式的每一项分别除以公因式所得的商的和，且不能漏项。本题已经给出公因式为$a$，只需将原多项式的三项分别除以$a$，再将结果相加即可得到另一个因式。
【解析】
根据提公因式法的运算规则：
原多项式为$am - an + ap^2$，将每一项分别除以公因式$a$：
第一项：$am÷ a = m$
第二项：$-an÷ a = -n$
第三项：$ap^2÷ a = p^2$
将所得的商相加，得到另一个因式为$m - n + p^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解
【点评】
本题属于基础题，考查提公因式法的基础应用，解题时需注意提取公因式后每一项都要除以公因式，避免出现漏项、漏写指数的错误。
【难度系数】
0.9
4.(易错题)下列因式分解中,对的打“√”,错的打“×”.
(1)$ab - b = b(a - 1)$ (
(2)$-10x - 10 = -10(x - 1)$ (
(3)$4m^2 + 4m + 4 = m(4m + 4 + \dfrac{4}{m})$ (
(1)$ab - b = b(a - 1)$ (
√
)(2)$-10x - 10 = -10(x - 1)$ (
×
)(3)$4m^2 + 4m + 4 = m(4m + 4 + \dfrac{4}{m})$ (
×
)答案
4.(1)√ (2)× (3)×
解析
【分析】
判断因式分解是否正确，首先要明确两个核心标准：①因式分解的结果必须是几个整式的乘积形式；②变形过程是恒等变形，左右两边相等。对于提公因式法的因式分解，还要注意公因式要提取彻底，提取负公因式时括号内各项都要变号，不能漏项，结果中不能出现分式，接下来我们逐个分析三个式子。
【解析】
(1) 对$ab-b$提取公因式$b$，可得$b(a-1)$，左右两边恒等，且结果是两个整式的乘积，符合因式分解要求，故判断为正确。
(2) 对$-10x-10$提取公因式$-10$，原式$=-10(x+1)$，题中结果括号内写成了$x-1$，符号错误，左右两边不相等，故判断为错误。
(3) 因式分解的结果必须是整式的乘积，题中右边出现了$\dfrac{4}{m}$（属于分式），且当$m=0$时右侧无意义，变形不是恒等变形，不符合因式分解的定义，故判断为错误。
【答案】
(1)√ (2)× (3)×
【知识点】
1.因式分解的定义 2.提公因式法 3.整式的概念
【点评】
本题是因式分解的基础易错题，常见错误点包括提取负公因式时符号处理失误、忽略因式分解结果为整式乘积的要求，解题时要紧扣定义和运算法则逐项验证。
【难度系数】
0.6
判断因式分解是否正确，首先要明确两个核心标准：①因式分解的结果必须是几个整式的乘积形式；②变形过程是恒等变形，左右两边相等。对于提公因式法的因式分解，还要注意公因式要提取彻底，提取负公因式时括号内各项都要变号，不能漏项，结果中不能出现分式，接下来我们逐个分析三个式子。
【解析】
(1) 对$ab-b$提取公因式$b$，可得$b(a-1)$，左右两边恒等，且结果是两个整式的乘积，符合因式分解要求，故判断为正确。
(2) 对$-10x-10$提取公因式$-10$，原式$=-10(x+1)$，题中结果括号内写成了$x-1$，符号错误，左右两边不相等，故判断为错误。
(3) 因式分解的结果必须是整式的乘积，题中右边出现了$\dfrac{4}{m}$（属于分式），且当$m=0$时右侧无意义，变形不是恒等变形，不符合因式分解的定义，故判断为错误。
【答案】
(1)√ (2)× (3)×
【知识点】
1.因式分解的定义 2.提公因式法 3.整式的概念
【点评】
本题是因式分解的基础易错题，常见错误点包括提取负公因式时符号处理失误、忽略因式分解结果为整式乘积的要求，解题时要紧扣定义和运算法则逐项验证。
【难度系数】
0.6
5.(教材 P125 例 1 变式)因式分解：
(1)$4x^4y^2 -5x^2y^2 -9y$；
(2)$6a^3 -3a^2 -a$。
(1)$4x^4y^2 -5x^2y^2 -9y$；
(2)$6a^3 -3a^2 -a$。
答案
5.(1)原式=$y(4x^4 y-5x^2 y-9)$ (2)原式=$a(6a^2 -3a-1)$
解析
【分析】
这两道因式分解题均考查提公因式法的应用，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，两部分相乘即为公因式；第二步将公因式提取出来，用原多项式的每一项除以公因式，得到的式子作为另一个因式，即可完成因式分解。
【解析】
(1) 观察多项式$4x^4y^2 -5x^2y^2 -9y$，各项都含有字母$y$，且$y$的最低次幂是1次，因此公因式为$y$。
提取公因式$y$可得：
$\begin{aligned}4x^4y^2 -5x^2y^2 -9y &= y·4x^4y - y·5x^2y - y·9 \\&= y(4x^4 y-5x^2 y-9)\end{aligned}$
(2) 观察多项式$6a^3 -3a^2 -a$，各项系数的最大公约数是1，各项都含有字母$a$，且$a$的最低次幂是1次，因此公因式为$a$。
提取公因式$a$可得：
$\begin{aligned}6a^3 -3a^2 -a &= a·6a^2 - a·3a - a·1 \\&= a(6a^2 -3a-1)\end{aligned}$
【答案】
(1)$y(4x^4 y-5x^2 y-9)$；(2)$a(6a^2 -3a-1)$
【知识点】
提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式时要注意不要漏写常数项，提取后可通过整式乘法反向验证结果是否正确。
【难度系数】
0.85
这两道因式分解题均考查提公因式法的应用，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，两部分相乘即为公因式；第二步将公因式提取出来，用原多项式的每一项除以公因式，得到的式子作为另一个因式，即可完成因式分解。
【解析】
(1) 观察多项式$4x^4y^2 -5x^2y^2 -9y$，各项都含有字母$y$，且$y$的最低次幂是1次，因此公因式为$y$。
提取公因式$y$可得：
$\begin{aligned}4x^4y^2 -5x^2y^2 -9y &= y·4x^4y - y·5x^2y - y·9 \\&= y(4x^4 y-5x^2 y-9)\end{aligned}$
(2) 观察多项式$6a^3 -3a^2 -a$，各项系数的最大公约数是1，各项都含有字母$a$，且$a$的最低次幂是1次，因此公因式为$a$。
提取公因式$a$可得：
$\begin{aligned}6a^3 -3a^2 -a &= a·6a^2 - a·3a - a·1 \\&= a(6a^2 -3a-1)\end{aligned}$
【答案】
(1)$y(4x^4 y-5x^2 y-9)$；(2)$a(6a^2 -3a-1)$
【知识点】
提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是准确识别多项式各项的公因式，提取公因式时要注意不要漏写常数项，提取后可通过整式乘法反向验证结果是否正确。
【难度系数】
0.85
6.已知$R_1=4,R_2=8,R_3=10,π$取3.14.求$π R_1^2 + π R_2^2 + π R_3^2$的值.
答案
6.$πR_1^2+πR_2^2+πR_3^2=π(R_1^2+R_2^2+R_3^2)=3.14×(16+64+100)=565.2$
解析
【分析】
观察待求代数式，发现每一项都含有公因式$π$，因此可先利用提公因式法对代数式变形，简化运算结构，避免多次计算乘法出错；提取公因式后，先计算三个电阻的平方和，再代入$π$的取值计算最终结果即可。
【解析】
对原式提取公因式$π$可得：
$π R_1^2 + π R_2^2 + π R_3^2=π(R_1^2+R_2^2+R_3^2)$
将$R_1=4,R_2=8,R_3=10,π=3.14$代入上式：
先计算括号内的平方和：$4^2+8^2+10^2=16+64+100=180$
再计算乘法：$3.14×180=565.2$
【答案】
$565.2$
【知识点】
提公因式法，代数式求值
【点评】
本题主要考查提公因式法在代数式求值中的应用，通过提取公因式简化运算步骤，既提升计算效率，也能减少计算错误。
【难度系数】
0.9
观察待求代数式，发现每一项都含有公因式$π$，因此可先利用提公因式法对代数式变形，简化运算结构，避免多次计算乘法出错；提取公因式后，先计算三个电阻的平方和，再代入$π$的取值计算最终结果即可。
【解析】
对原式提取公因式$π$可得：
$π R_1^2 + π R_2^2 + π R_3^2=π(R_1^2+R_2^2+R_3^2)$
将$R_1=4,R_2=8,R_3=10,π=3.14$代入上式：
先计算括号内的平方和：$4^2+8^2+10^2=16+64+100=180$
再计算乘法：$3.14×180=565.2$
【答案】
$565.2$
【知识点】
提公因式法，代数式求值
【点评】
本题主要考查提公因式法在代数式求值中的应用，通过提取公因式简化运算步骤，既提升计算效率，也能减少计算错误。
【难度系数】
0.9
7.(教材P125练习T3变式)利用因式分解计算：
(1)$2029^2 + 2029 - 2029 × 2030$；
(2)$3^{2030} -5×3^{2029} +6×3^{2028}$。
(1)$2029^2 + 2029 - 2029 × 2030$；
(2)$3^{2030} -5×3^{2029} +6×3^{2028}$。
答案
7.(1)原式=$2029×(2029+1-2030)=0$ (2)原式=$3^{2028}×(9-15+6)=0$
解析
【分析】
这两道题均是利用提公因式法因式分解进行简便运算的题目。解题思路为：先观察式子各项的公共因式，提取公因式后再计算括号内的加减运算，无需直接计算大数或高次幂的结果，简化计算过程。第(1)题中三个项都含有公因式2029，先提取公因式2029再计算括号内的数值即可；第(2)题中三个项都是以3为底的幂，最低次幂为$3^{2028}$，因此公因式为$3^{2028}$，提取后计算剩余系数的和即可。
【解析】
(1) 提取公因式2029：
$\begin{aligned}原式&=2029×2029 + 2029×1 - 2029×2030\\&=2029×(2029+1-2030)\\&=2029×0\\&=0\end{aligned}$
(2) 提取公因式$3^{2028}$：
$\begin{aligned}原式&=3^2×3^{2028} - 5×3×3^{2028} + 6×3^{2028}\\&=3^{2028}×(9-15+6)\\&=3^{2028}×0\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1)$0$；(2)$0$
【知识点】
提公因式法因式分解；因式分解的简便应用
【点评】
本题是因式分解的基础应用类题目，解题核心是准确找到各项的公因式，提取公因式后可大幅降低计算量，计算括号内的数值时要注意运算符号不要出错。
【难度系数】
0.9
这两道题均是利用提公因式法因式分解进行简便运算的题目。解题思路为：先观察式子各项的公共因式，提取公因式后再计算括号内的加减运算，无需直接计算大数或高次幂的结果，简化计算过程。第(1)题中三个项都含有公因式2029，先提取公因式2029再计算括号内的数值即可；第(2)题中三个项都是以3为底的幂，最低次幂为$3^{2028}$，因此公因式为$3^{2028}$，提取后计算剩余系数的和即可。
【解析】
(1) 提取公因式2029：
$\begin{aligned}原式&=2029×2029 + 2029×1 - 2029×2030\\&=2029×(2029+1-2030)\\&=2029×0\\&=0\end{aligned}$
(2) 提取公因式$3^{2028}$：
$\begin{aligned}原式&=3^2×3^{2028} - 5×3×3^{2028} + 6×3^{2028}\\&=3^{2028}×(9-15+6)\\&=3^{2028}×0\\&=0\end{aligned}$
【答案】
(1)$0$；(2)$0$
【知识点】
提公因式法因式分解；因式分解的简便应用
【点评】
本题是因式分解的基础应用类题目，解题核心是准确找到各项的公因式，提取公因式后可大幅降低计算量，计算括号内的数值时要注意运算符号不要出错。
【难度系数】
0.9
8.(逆向思维)已知$x^3 + ax^2 + b = x(x^2 - 6x)$，求a和b的值.
答案
8.$\because x^3 + ax^2 + b = x(x^2 - 6x), \therefore x^3 + ax^2 + b = x^3 - 6x^2$,比较等式两边同类项的系数,得$a=-6,b=0$
解析
【分析】
这道题是利用多项式恒等性质求未知系数的问题，解题思路如下：第一步先将等式右侧的单项式乘多项式展开化简，第二步根据两个多项式相等时，对应同类项的系数、常数项分别相等的规律，分别匹配左右两侧同次项的系数，即可求出a、b的值。
【解析】
首先对等式右侧做整式乘法运算：
$x(x^2 - 6x) = x· x^2 - x·6x = x^3 - 6x^2$
将展开结果代入原等式可得：
$x^3 + ax^2 + b = x^3 - 6x^2$
对比等式左右两边同类项的系数和常数项：
二次项对应系数相等，得$a=-6$；
左侧常数项为b，右侧无常数项即常数项为0，得$b=0$。
【答案】
$a=-6$，$b=0$
【知识点】
单项式乘多项式；多项式恒等条件
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，侧重考查整式乘法计算和多项式恒等规律的应用，需要熟练掌握单项式乘多项式的运算法则，理解多项式相等时同类项系数一一对应的特点，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
这道题是利用多项式恒等性质求未知系数的问题，解题思路如下：第一步先将等式右侧的单项式乘多项式展开化简，第二步根据两个多项式相等时，对应同类项的系数、常数项分别相等的规律，分别匹配左右两侧同次项的系数，即可求出a、b的值。
【解析】
首先对等式右侧做整式乘法运算：
$x(x^2 - 6x) = x· x^2 - x·6x = x^3 - 6x^2$
将展开结果代入原等式可得：
$x^3 + ax^2 + b = x^3 - 6x^2$
对比等式左右两边同类项的系数和常数项：
二次项对应系数相等，得$a=-6$；
左侧常数项为b，右侧无常数项即常数项为0，得$b=0$。
【答案】
$a=-6$，$b=0$
【知识点】
单项式乘多项式；多项式恒等条件
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，侧重考查整式乘法计算和多项式恒等规律的应用，需要熟练掌握单项式乘多项式的运算法则，理解多项式相等时同类项系数一一对应的特点，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
