1. 新考向 综合与实践 阅读下列材料,若$x$满足$(9-x)(x-4)=4$,求$(4-x)^2+(x-9)^2$的值.
设$9-x=a,x-4=b$,则$(9-x)(x-4)=ab=4,a+b=(9-x)+(x-4)=5$,
$\therefore (4-x)^2+(x-9)^2=(9-x)^2+(x-4)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2×4=17$.
请仿照上面的方法求解下面问题:
(1)若$x$满足$(5-x)(x-2)=2$,求$(5-x)^2+(x-2)^2$的值;
(2)如图,已知正方形$ABCD$的边长为$x$,$E,F$分别是$AD,DC$上的点,且$AE=1$,$CF=3$,长方形$EMFD$的面积是$48$,分别以$MF,DF$为边作正方形.
①$MF=$,$DF=$;(用含$x$的式子表示)
②求阴影部分的面积.

1.(1)设$5-x=a,x-2=b$,则$(5-x)(x-2)=ab=2,a+b=(5-x)+(x-2)=3$,$\therefore (5-x)^2+(x-2)^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×2=5$
(2)①$MF=x-1,DF=x-3$
②$(x-1)(x-3)=48$,阴影部分的面积$=FM^2-DF^2=(x-1)^2-(x-3)^2$,设$x-1=a,x-3=b$,则$(x-1)(x-3)=ab=48,a-b=(x-1)-(x-3)=2$,$\therefore (a+b)^2=(a-b)^2+4ab=2^2+4×48=196$,$\therefore a+b=\pm14$,又$\because a+b＞0$,$\therefore a+b=14$,$\therefore (x-1)^2-(x-3)^2=a^2-b^2=(a+b)(a-b)=14×2=28$,即阴影部分的面积是28

【分析】
(1) 参照题干给出的换元思路，设$5-x=a$，$x-2=b$，先求出$ab$与$a+b$的值，再利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$代入计算即可。
(2) ①根据正方形边长为$x$，结合$AE=1$、$CF=3$，利用线段和差关系：$MF=AD-AE$，$DF=CD-CF$，即可用含$x$的式子表示两条线段长度；②阴影部分面积是边长为$MF$的正方形与边长为$DF$的正方形的面积差，换元设$x-1=a$，$x-3=b$，先由长方形面积得到$ab=48$，再求出$a-b$的值，通过完全平方公式变形求出$a+b$的值，最后用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$代入计算即可。
【解析】
(1) 设$5-x=a$，$x-2=b$，
则$(5-x)(x-2)=ab=2$，
$a+b=(5-x)+(x-2)=3$，
$\therefore (5-x)^2+(x-2)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×2=5$。
(2) ① $\because$ 正方形$ABCD$的边长为$x$，$AE=1$，$CF=3$，
$\therefore MF=ED=AD-AE=x-1$，$DF=CD-CF=x-3$。
② 由题意得长方形$EMFD$的面积为$(x-1)(x-3)=48$，
阴影部分面积$S=(x-1)^2-(x-3)^2$。
设$x-1=a$，$x-3=b$，则$ab=48$，
$a-b=(x-1)-(x-3)=2$，
根据完全平方公式变形得：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=2^2+4×48=196$，
$\because a$、$b$均为线段长度，$\therefore a+b＞0$，即$a+b=14$，
$\therefore S=a^2-b^2=(a+b)(a-b)=14×2=28$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$
(2) ① $\boldsymbol{x-1}$，$\boldsymbol{x-3}$；② $\boldsymbol{28}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，换元法求值
【点评】
本题结合代数换元法与几何面积计算，考查乘法公式的灵活变形应用，解题核心是合理设元，找准已知量和待求式的关系，简化运算过程。
【难度系数】
0.7

2.综合与探究
观察以下各式:
$(x-y)(x+y)=x^2 - y^2$；
$(x-y)(x^2 + xy + y^2)=x^3 - y^3$；
$(x-y)(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3)=x^4 - y^4$；
$(x-y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4)=x^5 - y^5$。
请回答以下问题:
(1)填空:$(x-y)(x^6 + x^5y + x^4y^2 + x^3y^3 + x^2y^4 + xy^5 + y^6)=$；
(2)若$n≥2$，求证:$6^n - 2^n$一定能被4整除；
(3)求$\frac{10^{20}}{9} - 10^{19} - 10^{18} - 10^{17} - 10^{16} - \dots - 10^2 - 10 - 1$的值。

2.(1)$x^7-y^7$
(2)$\because 6^n - 2^n=(6-2)×(6^{n-1}+2×6^{n-2}+2^2×6^{n-3}+\dots+2^{n-1})=4×(6^{n-1}+2×6^{n-2}+2^2×6^{n-3}+\dots+2^{n-1})$,$\therefore 6^n - 2^n$一定能被4整除
(3)$\because (10-1)(10^{19}+10^{18}+10^{17}+10^{16}+\dots+10^2+10+1)=10^{20}-1$,$\therefore 10^{19}+10^{18}+10^{17}+\dots+10^2+10+1=\frac{10^{20}-1}{9}$,$\therefore \frac{10^{20}}{9}-10^{19}-10^{18}-10^{17}-10^{16}-\dots-10^2-10-1=\frac{1}{9}$

【分析】
首先观察已知等式，总结通用规律：$(x-y)(x^n + x^{n-1}y + x^{n-2}y^2 + \dots + xy^{n-1} + y^n) = x^{n+1} - y^{n+1}$，再结合各小问要求解题：
(1) 对照规律，第二个多项式中x的最高次为6，直接代入规律即可得结果；
(2) 要证明$6^n-2^n$能被4整除，将$6^n-2^n$对照规律因式分解，验证分解结果含有因数4即可；
(3) 先利用规律求出$10^{19}+10^{18}+\dots+10+1$的表达式，再代入原式化简计算即可。
【解析】
(1) 根据已知等式的规律，$(x-y)$乘最高次为n的x降幂、y升幂的多项式，结果为$x^{n+1}-y^{n+1}$。本题中第二个多项式x的最高次为6，因此结果为$x^7 - y^7$。
(2) 证明：根据上述规律，当$n≥2$时：
$6^n - 2^n=(6-2)×(6^{n-1}+2×6^{n-2}+2^2×6^{n-3}+\dots+2^{n-1})=4×(6^{n-1}+2×6^{n-2}+2^2×6^{n-3}+\dots+2^{n-1})$
因为括号内的结果为正整数，所以$6^n - 2^n$是4的整数倍，即一定能被4整除。
(3) 解：根据规律可得：
$(10-1)(10^{19}+10^{18}+10^{17}+\dots+10^2+10+1)=10^{20}-1$
因此$10^{19}+10^{18}+10^{17}+\dots+10^2+10+1=\frac{10^{20}-1}{9}$，代入原式得：
$\frac{10^{20}}{9} - 10^{19} - 10^{18} - \dots -10 -1=\frac{10^{20}}{9}-\frac{10^{20}-1}{9}=\frac{10^{20}-(10^{20}-1)}{9}=\frac{1}{9}$
【答案】
(1)$x^7-y^7$；(2)证明见解析；(3)$\frac{1}{9}$
【知识点】
多项式乘法规律，因式分解应用，整式化简计算
【点评】
本题属于规律探究类题型，需要先通过观察已知等式归纳出通用公式，再灵活运用公式解决整除证明、代数式求值问题，考查学生的观察归纳能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7