13.先化简,再求值:$(m-n)^2 - m(m-2n)$,其中$m=3,n=2.$

13.原式$=n^2$,当$n=2$时,原式$=4$

【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简整式，先运用完全平方公式展开$(m-n)^2$，再运用单项式乘多项式的法则计算$m(m-2n)$，去括号时注意符号变化，再合并同类项得到最简结果；第二步代入数值计算，化简后式子不含$m$，直接代入$n$的值即可得到结果，先化简再代入比直接代入原式计算更简便，也能减少出错率。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}(m-n)^2 - m(m-2n)&=m^2 - 2mn + n^2 - (m^2 - 2mn)\\&=m^2 - 2mn + n^2 - m^2 + 2mn\\&=n^2\end{aligned}$
将$n=2$代入化简后的式子，得：
原式$=2^2=4$
【答案】
原式$=n^2$，当$n=2$时，原式$=4$
【知识点】
完全平方公式；单项式乘多项式；整式化简求值
【点评】
本题考查整式的混合运算与化简求值，解题的核心是熟练掌握整式运算的相关法则，注意去括号时的符号变化，化简后消去无关字母$m$，可大幅降低计算量，提高计算准确率。
【难度系数】
0.9

14.先化简,再求值:$(x+2)^2 + (2x+1)(2x-1) - 4x(x+1)$,其中$x=-2$.

14.原式$=x^2+3$,当$x=-2$时,原式$=7$

【分析】
本题是整式的化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简整式，需分别运用完全平方公式展开$(x+2)^2$，平方差公式展开$(2x+1)(2x-1)$，单项式乘多项式法则计算$4x(x+1)$，再去括号、合并同类项得到最简结果；第二步将$x=-2$代入最简式计算出最终数值即可。
【解析】
解：根据整式运算法则逐步展开化简：
1. 由完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得：$(x+2)^2=x^2+4x+4$
2. 由平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得：$(2x+1)(2x-1)=(2x)^2-1^2=4x^2-1$
3. 由单项式乘多项式法则，可得：$4x(x+1)=4x^2+4x$
将上述结果代入原式：
$\begin{aligned}原式&=x^2+4x+4 + 4x^2-1 - (4x^2+4x)\\&=x^2+4x+4+4x^2-1-4x^2-4x\\&=x^2+3\end{aligned}$
把$x=-2$代入$x^2+3$计算：
原式$=(-2)^2+3=4+3=7$
【答案】
化简结果为$x^2+3$，当$x=-2$时，原式的值为$7$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查整式乘法公式及运算法则的应用，解题时需注意去括号时的符号变化，合并同类项时要准确识别同类项，避免计算错误。
【难度系数】
0.8

15.(模型观念)(2025·惠山区月考)已知$m - n = 5$，$mn = 2$，求下列各式的值：
(1)$(m + n)^2$；
(2)$5m^2 - 3mn + 5n^2$。

15.(1)$\because m-n=5,mn=2,\therefore (m+n)^2=(m-n)^2+4mn=25+4×2=33$
(2)$\because (m+n)^2=33,mn=2,\therefore m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=33-4=29,5m^2-3mn+5n^2=5(m^2+n^2)-3mn=5×29-3×2=145-6=139$

【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，采用整体代入的思想解题，无需单独求出m、n的值。
1. 求解$(m+n)^2$时，结合完全平方公式的变形关系：$(m+n)^2=(m-n)^2+4mn$，已知$m-n$和$mn$的值，直接代入即可计算。
2. 求解$5m^2 - 3mn + 5n^2$时，先将式子整理为含有$m^2+n^2$的形式，再利用$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$求出$m^2+n^2$的值，最后整体代入化简后的式子计算即可。
【解析】
(1) 已知$m - n = 5$，$mn = 2$，根据完全平方公式的变形可得：
$\begin{aligned}(m + n)^2&=(m - n)^2 + 4mn\\&=5^2 + 4×2\\&=25 + 8\\&=33\end{aligned}$
(2) 先求$m^2 + n^2$的值，由完全平方公式变形可得：
$\begin{aligned}m^2 + n^2&=(m + n)^2 - 2mn\\&=33 - 2×2\\&=33 - 4\\&=29\end{aligned}$
再代入所求式子：
$\begin{aligned}5m^2 - 3mn + 5n^2&=5(m^2 + n^2) - 3mn\\&=5×29 - 3×2\\&=145 - 6\\&=139\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{33}$；(2) $\boxed{139}$
【知识点】
完全平方公式、整式化简求值、整体代入法
【点评】
本题核心是对完全平方公式变形的熟练掌握，通过整体代入的思想可以大幅简化计算，避免了直接求解m、n数值的复杂运算，是整式乘法中常见的典型题型。
【难度系数】
0.7

16.(整体思想)长方形ABCD的周长为14,在它的每条边上向外以该边为边长作正方形,已知这四个正方形的面积和为50,求这个长方形ABCD的面积.

16.设长方形的长为$a$,宽为$b$,根据题意得$2(a+b)=14,2a^2+2b^2=50$,即$a+b=7$,$a^2+b^2=25$,$\because (a+b)^2=a^2+b^2+2ab$,即$49=25+2ab$,$\therefore ab=12$,$\therefore$长方形$ABCD$的面积为$12$

【分析】
解题时先设长方形的长为$a$、宽为$b$，首先根据长方形周长公式、四个正方形的面积和分别列出对应等式，化简得到$a+b$与$a^2+b^2$的值；由于要求的长方形面积就是$ab$，可直接利用完全平方公式的变形关系，整体代入计算得到$ab$的值，无需单独求解$a$、$b$的具体数值，简化运算。
【解析】
设长方形$ABCD$的长为$a$，宽为$b$，根据题意可得：
1. 由长方形周长为14，得$2(a+b)=14$，化简为$a+b=7$；
2. 四个正方形中两个边长为$a$、两个边长为$b$，面积和为50，得$2a^2+2b^2=50$，化简为$a^2+b^2=25$。
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$，将$a+b=7$、$a^2+b^2=25$代入公式：
$7^2=25+2ab$，即$49=25+2ab$，
解得$2ab=24$，即$ab=12$。
【答案】
12
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 整体代入思想
3. 长方形周长与面积计算
【点评】
本题是整式乘法在几何问题中的典型应用，无需求解长、宽的具体数值，通过完全平方公式的变形结合整体思想即可快速得到结果，能有效锻炼公式变形能力和整体运算意识。
【难度系数】
0.7

17. 新考向 综合与实践 如图①,有A,B,C三种不同型号的纸板,A纸板是边长为a的正方形,B纸板是边长为b的正方形,C纸板是长为b,宽为a的长方形.现用A纸板一张,B纸板一张,C纸板两张拼成如图②所示的大正方形.
(1)观察图②,请你用两种方法表示出图②中大正方形的面积;
方法1: ;
方法2: .
请利用图②中大正方形的面积表示方法,写出一个关于a,b的等式: ;
(2)已知图②中大正方形的面积为64,一张A纸板和一张B纸板的面积之和为36,求ab的值;
(3)用一张A纸板和一张B纸板,拼成如图③所示的图形,若$a+b=9$,$ab=15$,求图③中阴影部分的面积.

17.(1)$(a+b)^2$ $a^2+b^2+2ab$ $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$
(2)根据题意,得$(a+b)^2=64,a^2+b^2=36$,$\because (a+b)^2=a^2+b^2+2ab$,$\therefore 64=36+2ab$,$\therefore ab=14$
(3)$S_{阴影}=S_{正方形ABCD}+S_{正方形CEFG}-S_{△ ABD}-S_{△ BEF}$,$\because S_{正方形ABCD}=b^2$,$S_{正方形CEFG}=a^2$,$S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}b^2$,$S_{△ BEF}=\dfrac{1}{2}(a+b)a=\dfrac{1}{2}(a^2+ab)$,$\therefore S_{阴影}=a^2+b^2-\dfrac{1}{2}b^2-\dfrac{1}{2}(a^2+ab)=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2-ab)$,$\because a+b=9,ab=15$,$\therefore (a+b)^2=a^2+b^2+2ab=81$,$\therefore a^2+b^2=51$,$\therefore S_{阴影}=\dfrac{1}{2}×(51-15)=18$,答:阴影部分的面积为$18$

【分析】
(1) 首先观察图②的大正方形边长为$a+b$，根据正方形面积公式可直接得到第一种面积表示方法；再将大正方形拆成1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形、2个长为$b$宽为$a$的长方形，将四个小图形面积相加得到第二种表示方法，两种方法表示同一图形面积，因此可得到对应等式。
(2) 根据题意直接得到$(a+b)^2$和$a^2+b^2$的值，代入(1)得到的完全平方和公式，即可求出$ab$的值。
(3) 求不规则阴影部分面积采用“割补法”，用两个正方形的总面积减去两个空白三角形的面积，先列出阴影面积的表达式并化简，再利用完全平方公式的变形，结合已知的$a+b$和$ab$的值求出$a^2+b^2$，代入化简后的式子即可算出阴影面积。
【解析】
(1) 方法1：大正方形的边长为$(a+b)$，因此面积为$\boldsymbol{(a+b)^2}$；
方法2：大正方形由1张A纸板、1张B纸板、2张C纸板拼接而成，面积为四个小图形面积之和，即$\boldsymbol{a^2+b^2+2ab}$；
两种方法表示的是同一个大正方形的面积，因此可得等式：$\boldsymbol{(a+b)^2=a^2+b^2+2ab}$。
(2) 由题意可知，大正方形面积为64，即$(a+b)^2=64$；一张A纸板和一张B纸板面积和为36，即$a^2+b^2=36$。
将两个条件代入完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$，可得：
$64=36+2ab$
移项计算得$2ab=28$，因此$ab=14$。
(3) 阴影部分为不规则图形，采用总面积减空白面积的方法计算：
$S_{阴影}=S_{正方形ABCD}+S_{正方形CEFG}-S_{△ABD}-S_{△BEF}$
其中：$S_{正方形ABCD}=b^2$，$S_{正方形CEFG}=a^2$，$S_{△ABD}=\frac{1}{2}b^2$，$S_{△BEF}=\frac{1}{2}(a+b)a=\frac{1}{2}(a^2+ab)$
代入化简得：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=a^2+b^2-\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}(a^2+ab)\\&=\frac{1}{2}(a^2+b^2-ab)\end{aligned}$
已知$a+b=9$，$ab=15$，根据完全平方和公式：
$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=81$
代入$ab=15$得：$a^2+b^2=81-30=51$
将$a^2+b^2=51$，$ab=15$代入阴影面积公式：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}×(51-15)=18$
即阴影部分的面积为18。
【答案】
17.(1)$(a+b)^2$ $a^2+b^2+2ab$ $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$
(2)根据题意,得$(a+b)^2=64,a^2+b^2=36$,$\because (a+b)^2=a^2+b^2+2ab$,$\therefore 64=36+2ab$,$\therefore ab=14$
(3)$S_{阴影}=S_{正方形ABCD}+S_{正方形CEFG}-S_{△ ABD}-S_{△ BEF}$,$\because S_{正方形ABCD}=b^2$,$S_{正方形CEFG}=a^2$,$S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}b^2$,$S_{△ BEF}=\dfrac{1}{2}(a+b)a=\dfrac{1}{2}(a^2+ab)$,$\therefore S_{阴影}=a^2+b^2-\dfrac{1}{2}b^2-\dfrac{1}{2}(a^2+ab)=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2-ab)$,$\because a+b=9,ab=15$,$\therefore (a+b)^2=a^2+b^2+2ab=81$,$\therefore a^2+b^2=51$,$\therefore S_{阴影}=\dfrac{1}{2}×(51-15)=18$,答:阴影部分的面积为$18$
【知识点】
完全平方公式，割补法求面积，整式化简
【点评】
本题是数形结合的典型题型，通过几何图形的面积推导验证完全平方公式，同时考查完全平方公式的变形应用，解题的关键是掌握割补法计算不规则图形面积的方法，熟练运用完全平方公式进行代数式求值。
【难度系数】
0.7