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11.(教材 P127 习题新增 T6 变式)(2024·徐汇区期中)已知 $ xy = 15 $，且满足 $ (x^2 y - xy^2) - (x - y) = 28 $。
(1)求 $ x - y $ 的值；
(2)求 $ x^2 + y^2 $ 的值。
(1)求 $ x - y $ 的值；
(2)求 $ x^2 + y^2 $ 的值。
答案
(1)$\because (x^2y-xy^2)-(x-y)=28$,$\therefore xy(x-y)-(x-y)=28$,$\therefore (x-y)(xy-1)=28$,$\because xy=15$,$\therefore 14(x-y)=28$,$\therefore x-y=2$
(2)$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy=2^2+2×15=34$
(2)$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy=2^2+2×15=34$
解析
【分析】
(1) 求解$x-y$的值时，先观察已知等式左边的多项式，前两项含有公因式$xy$，先提取公因式$xy$，提取后可发现式子中出现整体公因式$(x-y)$，再次提取公因式即可将等式转化为含$(x-y)$和$xy$的乘积形式，最后代入已知$xy=15$，就能直接计算出$x-y$的值。
(2) 求解$x^2+y^2$的值时，利用完全平方公式的恒等变形，可将$x^2+y^2$转化为$(x-y)^2+2xy$，此时$x-y$和$xy$的值均已知，代入即可求出结果。
【解析】
(1) 对已知等式变形：
$\because (x^2 y - xy^2) - (x - y) = 28$
提取前两项的公因式$xy$，得：$xy(x-y)-(x-y)=28$
再提取整体公因式$(x-y)$，得：$(x-y)(xy-1)=28$
将$xy=15$代入上式，得：$14(x-y)=28$
解得：$x-y=2$
(2) 根据完全平方公式变形可得：
$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$
将$x-y=2$，$xy=15$代入，得：
$x^2+y^2=2^2+2×15=4+30=34$
【答案】
(1) $x-y=2$；(2) $x^2+y^2=34$
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础常考题，解题核心是通过提公因式对已知等式进行变形，再结合完全平方公式的恒等变形代入已知条件计算，掌握因式分解的基本方法和完全平方公式的变形技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 求解$x-y$的值时，先观察已知等式左边的多项式，前两项含有公因式$xy$，先提取公因式$xy$，提取后可发现式子中出现整体公因式$(x-y)$，再次提取公因式即可将等式转化为含$(x-y)$和$xy$的乘积形式，最后代入已知$xy=15$，就能直接计算出$x-y$的值。
(2) 求解$x^2+y^2$的值时，利用完全平方公式的恒等变形，可将$x^2+y^2$转化为$(x-y)^2+2xy$，此时$x-y$和$xy$的值均已知，代入即可求出结果。
【解析】
(1) 对已知等式变形：
$\because (x^2 y - xy^2) - (x - y) = 28$
提取前两项的公因式$xy$，得：$xy(x-y)-(x-y)=28$
再提取整体公因式$(x-y)$，得：$(x-y)(xy-1)=28$
将$xy=15$代入上式，得：$14(x-y)=28$
解得：$x-y=2$
(2) 根据完全平方公式变形可得：
$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$
将$x-y=2$，$xy=15$代入，得：
$x^2+y^2=2^2+2×15=4+30=34$
【答案】
(1) $x-y=2$；(2) $x^2+y^2=34$
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题是整式运算的基础常考题，解题核心是通过提公因式对已知等式进行变形，再结合完全平方公式的恒等变形代入已知条件计算，掌握因式分解的基本方法和完全平方公式的变形技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.8
12.(教材 P127 习题 T8 变式)若三角形的三边长分别为$a,b,c$,且满足$ab+bc-b^2-ac=0$,则这个三角形一定是 (
A.直角三角形
B.等边三角形
C.锐角三角形
D.等腰三角形
D
)A.直角三角形
B.等边三角形
C.锐角三角形
D.等腰三角形
答案
D
解析
【分析】
要判断三角形的形状，需要先推导三边a、b、c的数量关系。我们可以对已知的等式左边通过分组、提公因式的方法进行因式分解，将等式变形为几个整式乘积为0的形式，再结合三角形边长为正数的性质，得到边长的等量关系，进而判断三角形的类型。
【解析】
对等式$ab+bc-b^2-ac=0$整理变形：
1. 分组：将含相同公因式的项分组，得$(ab - ac) + (bc - b^2) = 0$
2. 第一次提公因式：第一组提取公因式$a$，第二组提取公因式$-b$，得$a(b - c) - b(b - c) = 0$
3. 第二次提公因式：提取公因式$(b - c)$，得$(a - b)(b - c) = 0$
4. 由乘积为0的性质可知，$a - b = 0$或$b - c = 0$，即$a = b$或$b = c$
因此三角形至少有两条边相等，属于等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式，等式的性质，等腰三角形判定
【点评】
本题考查因式分解在三角形形状判断中的应用，解题关键是对等式正确分组提取公因式，注意两个因式乘积为0时只需其中一个因式为0即可，因此仅能得到两边相等，不要误判为等边三角形。
【难度系数】
0.7
要判断三角形的形状，需要先推导三边a、b、c的数量关系。我们可以对已知的等式左边通过分组、提公因式的方法进行因式分解，将等式变形为几个整式乘积为0的形式，再结合三角形边长为正数的性质，得到边长的等量关系，进而判断三角形的类型。
【解析】
对等式$ab+bc-b^2-ac=0$整理变形：
1. 分组：将含相同公因式的项分组，得$(ab - ac) + (bc - b^2) = 0$
2. 第一次提公因式：第一组提取公因式$a$，第二组提取公因式$-b$，得$a(b - c) - b(b - c) = 0$
3. 第二次提公因式：提取公因式$(b - c)$，得$(a - b)(b - c) = 0$
4. 由乘积为0的性质可知，$a - b = 0$或$b - c = 0$，即$a = b$或$b = c$
因此三角形至少有两条边相等，属于等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式，等式的性质，等腰三角形判定
【点评】
本题考查因式分解在三角形形状判断中的应用，解题关键是对等式正确分组提取公因式，注意两个因式乘积为0时只需其中一个因式为0即可，因此仅能得到两边相等，不要误判为等边三角形。
【难度系数】
0.7
13.阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)]$
$=(1+x)^2(1+x)=(1+x)^3$
(1)上述分解因式的方法是
(2)若分解$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{2030}$,则结果是
(3)依照上述方法分解因式:$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^n$($n$为正整数).
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)]$
$=(1+x)^2(1+x)=(1+x)^3$
(1)上述分解因式的方法是
提公因式法
,共用了$2$
次;(2)若分解$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{2030}$,则结果是
$(1+x)^{2031}$
;(3)依照上述方法分解因式:$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^n$($n$为正整数).
答案
(1)提公因式法 2
(2)$(1+x)^{2031}$
(3)原式=$(1+x)[1+x+x(x+1)+\dots+x(x+1)^{n-1}]=(1+x)^2[1+x+x(x+1)+\dots+x(x+1)^{n-2}]=\dots=(1+x)^{n+1}$
(2)$(1+x)^{2031}$
(3)原式=$(1+x)[1+x+x(x+1)+\dots+x(x+1)^{n-1}]=(1+x)^2[1+x+x(x+1)+\dots+x(x+1)^{n-2}]=\dots=(1+x)^{n+1}$
解析
【分析】
解题时先观察题干给出的因式分解过程：①每一步均提取公因式(1+x)，据此可判断分解方法、统计提取次数；②对比原式最高次幂与最终结果的幂次，可总结出“最终结果的幂次=原式中(1+x)的最高幂次+1”的规律，利用该规律可直接解答第二问；③第三问仿照示例的步骤，反复提取公因式(1+x)，每提取1次剩余式子的最高次幂降1，提取n次后即可得到最终结果。
【解析】
(1) 观察分解过程，每一步都是提取公因式$(1+x)$，因此分解方法是提公因式法；第一步提取1次公因式，第二步再次提取1次公因式，一共用了2次。
(2) 由示例可知：当原式最后一项为$x(x+1)^2$时，结果为$(1+x)^3$，即结果的指数=原式中$(1+x)$的最高指数+1。当原式最后一项为$x(x+1)^{2030}$时，最高指数为2030，因此结果为$(1+x)^{2030+1}=(1+x)^{2031}$。
(3) 仿照示例的提公因式步骤：
原式$=(1+x)[1+x+x(x+1)+\dots+x(x+1)^{n-1}]$
$=(1+x)^2[1+x+x(x+1)+\dots+x(x+1)^{n-2}]$
……
反复提取公因式共n次后，最终可得结果为$(1+x)^{n+1}$。
【答案】
(1) 提公因式法，2
(2) $(1+x)^{2031}$
(3) $(1+x)^{n+1}$
【知识点】
提公因式法分解因式，规律探究
【点评】
本题以提公因式法分解因式为基础，考查归纳推理能力，解题核心是抓住反复提取公因式的操作规律，属于因式分解的基础拓展题型，掌握提公因式法的规则即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
解题时先观察题干给出的因式分解过程：①每一步均提取公因式(1+x)，据此可判断分解方法、统计提取次数；②对比原式最高次幂与最终结果的幂次，可总结出“最终结果的幂次=原式中(1+x)的最高幂次+1”的规律，利用该规律可直接解答第二问；③第三问仿照示例的步骤，反复提取公因式(1+x)，每提取1次剩余式子的最高次幂降1，提取n次后即可得到最终结果。
【解析】
(1) 观察分解过程，每一步都是提取公因式$(1+x)$，因此分解方法是提公因式法；第一步提取1次公因式，第二步再次提取1次公因式，一共用了2次。
(2) 由示例可知：当原式最后一项为$x(x+1)^2$时，结果为$(1+x)^3$，即结果的指数=原式中$(1+x)$的最高指数+1。当原式最后一项为$x(x+1)^{2030}$时，最高指数为2030，因此结果为$(1+x)^{2030+1}=(1+x)^{2031}$。
(3) 仿照示例的提公因式步骤：
原式$=(1+x)[1+x+x(x+1)+\dots+x(x+1)^{n-1}]$
$=(1+x)^2[1+x+x(x+1)+\dots+x(x+1)^{n-2}]$
……
反复提取公因式共n次后，最终可得结果为$(1+x)^{n+1}$。
【答案】
(1) 提公因式法，2
(2) $(1+x)^{2031}$
(3) $(1+x)^{n+1}$
【知识点】
提公因式法分解因式，规律探究
【点评】
本题以提公因式法分解因式为基础，考查归纳推理能力，解题核心是抓住反复提取公因式的操作规律，属于因式分解的基础拓展题型，掌握提公因式法的规则即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
