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1.(2025·杨浦区期末)已知抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过点$A(0,3),B(4,3),C(1,0)$.
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)将上述抛物线平移,使它的顶点移动到点$(-2,2)$的位置,那么平移的方法是
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)将上述抛物线平移,使它的顶点移动到点$(-2,2)$的位置,那么平移的方法是
向左平移4个单位长度，向上平移3个单位长度
.答案
1.(1)解:
∵抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过点A(0,3),B(4,3),C(1,0),
∴$\begin{cases} c=3, \\ 16a+4b+c=3, \\ a+b+c=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1, \\ b=-4, \\ c=3, \end{cases}$
即该抛物线的函数解析式为$y=x^2-4x+3$.
(2)向左平移4个单位长度,向上平移3个单位长度
∵抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过点A(0,3),B(4,3),C(1,0),
∴$\begin{cases} c=3, \\ 16a+4b+c=3, \\ a+b+c=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1, \\ b=-4, \\ c=3, \end{cases}$
即该抛物线的函数解析式为$y=x^2-4x+3$.
(2)向左平移4个单位长度,向上平移3个单位长度
2. 如图，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过点$A(0,6),B(3,3),C(4,6)$。
(1)求此二次函数的解析式；
(2)观察函数的图象，试直接写出$y＞6$时，$x$的取值范围。
(1)求此二次函数的解析式；
(2)观察函数的图象，试直接写出$y＞6$时，$x$的取值范围。
答案
2.解:(1)把(0,6),(3,3),(4,6)分别代入$y=ax^2+bx+c$,得$\begin{cases} c=6, \\ 9a+3b+c=3, \\ 16a+4b+c=6, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1, \\ b=-4, \\ c=6, \end{cases}$
∴此二次函数的解析式为$y=x^2-4x+6$.
(2)由图象知,当$y＞6$时,$x$的取值范围为$x＜0$或$x＞4$.
∴此二次函数的解析式为$y=x^2-4x+6$.
(2)由图象知,当$y＞6$时,$x$的取值范围为$x＜0$或$x＞4$.
3.(2025·潜山期末)已知二次函数图象的顶点坐标为(-2,2)，且经过点(1,-1)，求此二次函数的解析式.
答案
3.解:设二次函数的解析式为$y=a(x+2)^2+2$,将$(1,-1)$代入,得$9a+2=-1$,解得$a=-\frac{1}{3}$,
∴二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{3}(x+2)^2+2$.
∴二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{3}(x+2)^2+2$.
4.(2025·大兴区期末)在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线的最低点是$C(2,-1)$,且经过点$M(4,1),N(0,n)$,求抛物线的函数解析式和$n$的值.
答案
4.解:设抛物线的函数解析式为$y=a(x-2)^2-1$,将点$M(4,1)$代入,得
$a×(4-2)^2-1=1$,解得$a=\frac{1}{2}$,
所以抛物线的函数解析式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2-1=\frac{1}{2}x^2-2x+1$.将点$N(0,n)$代入,得$n=1$.
$a×(4-2)^2-1=1$,解得$a=\frac{1}{2}$,
所以抛物线的函数解析式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2-1=\frac{1}{2}x^2-2x+1$.将点$N(0,n)$代入,得$n=1$.
5.(2025·房山区期末)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$图象上的部分点的横坐标$x$,纵坐标$y$的对应值如下表：
根据以上信息,解答下列问题:
(1)二次函数图象的顶点坐标是
(2)求二次函数的解析式;
(3)当$k≤x≤k+2$时,二次函数$y=ax^2+bx+c$的最小值是1,则$k$的值为
根据以上信息,解答下列问题:
(1)二次函数图象的顶点坐标是
(1,4)
,m的值为0
;(2)求二次函数的解析式;
(3)当$k≤x≤k+2$时,二次函数$y=ax^2+bx+c$的最小值是1,则$k$的值为
$-1+\sqrt{3}$或$1-\sqrt{3}$
.答案
5.(1)$(1,4)$ $0$
(2)解:设二次函数的解析式为$y=a(x-1)^2+4$,将$(0,3)$代入,得$3=a(0-1)^2+4$,解得$a=-1$,
故二次函数的解析式为$y=-(x-1)^2+4$.
(3)$-1+\sqrt{3}$或$1-\sqrt{3}$
(2)解:设二次函数的解析式为$y=a(x-1)^2+4$,将$(0,3)$代入,得$3=a(0-1)^2+4$,解得$a=-1$,
故二次函数的解析式为$y=-(x-1)^2+4$.
(3)$-1+\sqrt{3}$或$1-\sqrt{3}$
