6.(2025·射阳模拟)已知抛物线经过点A(-1,0),B(5,0),C(0,5),求该抛物线的函数解析式.

6.解:
∵抛物线与$x$轴交于点$A(-1,0)$和$B(5,0)$,
∴设抛物线的函数解析式为$y=a(x+1)(x-5)$,将点$C(0,5)$代入,得$5=-5a$,解得$a=-1$,
故抛物线的函数解析式为$y=-(x+1)(x-5)=-x^2+4x+5$.

7.若抛物线的最高点的纵坐标是$\frac{25}{4}$，且过点$(-1,0),(4,0)$，求这个抛物线的函数解析式.

7.解:
∵抛物线与$x$轴交于点$(-1,0),(4,0)$,
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$,
∴抛物线的顶点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{25}{4})$.
设抛物线的函数解析式为$y=a(x+1)(x-4)$,把$(\frac{3}{2},\frac{25}{4})$代入,得$a·\frac{5}{2}·(-\frac{5}{2})=\frac{25}{4}$,解得$a=-1$,
∴抛物线的函数解析式为$y=-(x+1)(x-4)$,即$y=-x^2+3x+4$.

8.(2025·洪泽区模拟)如图,点$A(-1,0),B(3,0),C(0,\frac{3}{2})$在抛物线$y=ax^2+bx+c$上.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)在第一象限的抛物线上存在一点$P$,使$△ PBC$的面积为$\frac{3}{2}$,求点$P$的坐标.

8.解:(1)设抛物线的函数解析式为$y=a(x+1)(x-3)$,将$C(0,\frac{3}{2})$代入,得$-3a=\frac{3}{2}$,解得$a=-\frac{1}{2}$,
∴抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+x+\frac{3}{2}$.
(2)如答图,过点$P$作$PD⊥x$轴于点$D$.
设点$P(x,-\frac{1}{2}x^2+x+\frac{3}{2})$,
∴$S_{四边形POB}=\frac{1}{2}x(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}x^2+x+\frac{3}{2})+\frac{1}{2}(3-x)·(-\frac{1}{2}x^2+x+\frac{3}{2})=\frac{9}{4}x-\frac{3}{4}x^2+\frac{9}{4}$,
∴$S_{△PBC}=S_{四边形POB}-S_{△BOC}=\frac{9}{4}x-\frac{3}{4}x^2+\frac{9}{4}-\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}=\frac{9}{4}x-\frac{3}{4}x^2+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}=\frac{3}{2}$,
整理,得$x^2-3x+2=0$,解得$x=1$或$x=2$.
∴点$P$的坐标为$(1,2)$或$(2,\frac{3}{2})$.

9.已知一条抛物线的开口方向和形状与抛物线$y=3x^2$相同，顶点与抛物线$y=(x+2)^2$的顶点重合.
(1)这条抛物线的函数解析式为;
(2)若将(1)中的抛物线向右平移4个单位长度,得到的新抛物线的函数解析式为;
(3)若将(1)中的抛物线的顶点不变,开口方向相反,得到的新抛物线的函数解析式为;
(4)若将(1)中的抛物线沿$y$轴对折,得到的新抛物线的函数解析式为.

9.(1)$y=3(x+2)^2$ (2)$y=3(x-2)^2$
(3)$y=-3(x+2)^2$ (4)$y=3(x-2)^2$

10.已知抛物线$y=2x^2 - 4x + 1$.
(1)该抛物线关于x轴对称的抛物线的函数解析式为;
(2)该抛物线关于y轴对称的抛物线的函数解析式为;
(3)将该抛物线绕着它与y轴的交点旋转$180°$所得抛物线的函数解析式为;
(4)该抛物线关于直线$x=2$对称的抛物线的函数解析式为.
易错知识点:用顶点式求二次函数的解析式
易错考法:根据图形平移、翻折、旋转求二次函数的解析式

10.(1)$y=-2(x-1)^2+1$ (2)$y=2(x+1)^2-1$
(3)$y=-2(x+1)^2+3$ (4)$y=2(x-3)^2-1$