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1. 学科特色易错题「2026海南海口期末」一元二次方程$x^2=3x$的解是（
A.$x=3$
B.$x=0$
C.$x_1=3,x_2=0$
D.$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
C
）A.$x=3$
B.$x=0$
C.$x_1=3,x_2=0$
D.$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
答案
原方程可变形为$x^2-3x=0,\therefore x(x-3)=0,\therefore x-3=0$或$x=0$,解得$x_1=3,x_2=0$.故选C.
解析
【分析】
这是一道一元二次方程求解的题目，解题时需注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确思路是先移项将所有项移到等号左侧，使等号右侧为0，再对左侧多项式因式分解，将二次方程转化为两个一次方程求解，即可得到全部的根，再对应选择正确选项。
【解析】
解：对原方程移项得$x^2 - 3x = 0$，
对左侧提取公因式因式分解得：$x(x - 3) = 0$，
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”可得：
$x = 0$或$x - 3 = 0$，
分别解得$x_1 = 0$，$x_2 = 3$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解；一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础易错题，易错点为考生直接将方程两边同时除以x，漏掉x=0的根错选A。解题时遵循解方程规范，先移项使方程右侧为0再因式分解求解，可有效避免丢根。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程求解的题目，解题时需注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确思路是先移项将所有项移到等号左侧，使等号右侧为0，再对左侧多项式因式分解，将二次方程转化为两个一次方程求解，即可得到全部的根，再对应选择正确选项。
【解析】
解：对原方程移项得$x^2 - 3x = 0$，
对左侧提取公因式因式分解得：$x(x - 3) = 0$，
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”可得：
$x = 0$或$x - 3 = 0$，
分别解得$x_1 = 0$，$x_2 = 3$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解；一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础易错题，易错点为考生直接将方程两边同时除以x，漏掉x=0的根错选A。解题时遵循解方程规范，先移项使方程右侧为0再因式分解求解，可有效避免丢根。
【难度系数】
0.7
2.「2026吉林长春期末」方程$x(x-2)=2-x$的解是（
A.$x=-1$
B.$x=2$
C.$x_1=2,x_2=-1$
D.$x_1=1,x_2=2$
C
）A.$x=-1$
B.$x=2$
C.$x_1=2,x_2=-1$
D.$x_1=1,x_2=2$
答案
移项,得$x(x-2)-(2-x)=0,\therefore x(x-2)+(x-2)=0$,$\therefore (x-2)(x+1)=0,\therefore x-2=0$或$x+1=0$,解得$x_1=2$,$x_2=-1$.故选C.
解析
【分析】
观察方程结构可发现，等号左边的因式$x-2$和右边的$2-x$互为相反数，因此可通过移项构造公因式，用因式分解法求解，无需展开为一元二次方程一般形式，既能简化计算也能避免漏根。解题时先移项，将$2-x$变形为$-(x-2)$，再提取公因式，把原方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可。
【解析】
移项，得$x(x-2)-(2-x)=0$，
变形得$x(x-2)+(x-2)=0$，
提取公因式$(x-2)$，得$(x-2)(x+1)=0$，
根据乘积为0的因式性质，可得$x-2=0$或$x+1=0$，
分别解得：$x_1=2$，$x_2=-1$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解
【点评】
本题是基础计算题，解题时需注意观察方程结构选择简便解法，不能直接在方程两边同时除以含未知数的整式，否则容易出现漏根的问题。
【难度系数】
0.8
观察方程结构可发现，等号左边的因式$x-2$和右边的$2-x$互为相反数，因此可通过移项构造公因式，用因式分解法求解，无需展开为一元二次方程一般形式，既能简化计算也能避免漏根。解题时先移项，将$2-x$变形为$-(x-2)$，再提取公因式，把原方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可。
【解析】
移项，得$x(x-2)-(2-x)=0$，
变形得$x(x-2)+(x-2)=0$，
提取公因式$(x-2)$，得$(x-2)(x+1)=0$，
根据乘积为0的因式性质，可得$x-2=0$或$x+1=0$，
分别解得：$x_1=2$，$x_2=-1$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解
【点评】
本题是基础计算题，解题时需注意观察方程结构选择简便解法，不能直接在方程两边同时除以含未知数的整式，否则容易出现漏根的问题。
【难度系数】
0.8
3.「2026河北邯郸十一中期末」在解方程$x^2 -16=4-x$时，
嘉淇同学的解答过程如下：
解:将方程左边分解因式,得$(x+4)(x-4)=-(x-4)$,①
方程两边都除以$(x-4)$,得$x+4=-1$,②
解得$x=-5$.③
(1)已知嘉淇的解答过程是错误的,开始出现错误的步骤是
(2)请写出正确的解答过程.
嘉淇同学的解答过程如下：
解:将方程左边分解因式,得$(x+4)(x-4)=-(x-4)$,①
方程两边都除以$(x-4)$,得$x+4=-1$,②
解得$x=-5$.③
(1)已知嘉淇的解答过程是错误的,开始出现错误的步骤是
②
(填序号).(2)请写出正确的解答过程.
答案
(1)②.
(2)将方程左边分解因式,得$(x+4)(x-4)=-(x-4)$,
移项,得$(x+4)(x-4)+(x-4)=0$,
$\therefore (x-4)(x+4+1)=0$,
$\therefore x-4=0$或$x+5=0$,
解得$x_1=4,x_2=-5$.
(2)将方程左边分解因式,得$(x+4)(x-4)=-(x-4)$,
移项,得$(x+4)(x-4)+(x-4)=0$,
$\therefore (x-4)(x+4+1)=0$,
$\therefore x-4=0$或$x+5=0$,
解得$x_1=4,x_2=-5$.
解析
【分析】
(1) 依据等式的基本性质，等式两边同时除以的整式必须不为0，否则等式不成立，还会丢失方程的根。嘉淇在步骤②直接除以(x-4)，没有考虑x-4可能为0的情况，因此错误从步骤②开始。
(2) 正确解题思路：先将方程左边因式分解，再把右侧的项移到左侧，提取公因式(x-4)，把方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，分别令每个因式等于0求解，即可得到方程的全部根，避免出现丢根的问题。
【解析】
(1) 步骤②中，方程两边同时除以(x-4)时，未考虑x-4=0的情况，不符合等式的基本性质，因此开始出现错误的步骤是②。
(2) 正确解答过程：
将方程左边分解因式，得$(x+4)(x-4)=-(x-4)$，
移项，得$(x+4)(x-4)+(x-4)=0$，
提取公因式后可得$(x-4)(x+4+1)=0$，
$\therefore x-4=0$或$x+5=0$，
解得$x_1=4,x_2=-5$。
【答案】
(1)②
(2)将方程左边分解因式,得$(x+4)(x-4)=-(x-4)$,
移项,得$(x+4)(x-4)+(x-4)=0$,
$\therefore (x-4)(x+4+1)=0$,
$\therefore x-4=0$或$x+5=0$,
解得$x_1=4,x_2=-5$.
【知识点】
因式分解法解方程、等式的基本性质、一元二次方程求解
【点评】
本题主要考查用因式分解法解一元二次方程的注意事项，解题时切忌直接除以可能为0的整式，否则会出现丢根的错误，熟练掌握移项、提取公因式的方法即可正确求解。
【难度系数】
0.8
(1) 依据等式的基本性质，等式两边同时除以的整式必须不为0，否则等式不成立，还会丢失方程的根。嘉淇在步骤②直接除以(x-4)，没有考虑x-4可能为0的情况，因此错误从步骤②开始。
(2) 正确解题思路：先将方程左边因式分解，再把右侧的项移到左侧，提取公因式(x-4)，把方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，分别令每个因式等于0求解，即可得到方程的全部根，避免出现丢根的问题。
【解析】
(1) 步骤②中，方程两边同时除以(x-4)时，未考虑x-4=0的情况，不符合等式的基本性质，因此开始出现错误的步骤是②。
(2) 正确解答过程：
将方程左边分解因式，得$(x+4)(x-4)=-(x-4)$，
移项，得$(x+4)(x-4)+(x-4)=0$，
提取公因式后可得$(x-4)(x+4+1)=0$，
$\therefore x-4=0$或$x+5=0$，
解得$x_1=4,x_2=-5$。
【答案】
(1)②
(2)将方程左边分解因式,得$(x+4)(x-4)=-(x-4)$,
移项,得$(x+4)(x-4)+(x-4)=0$,
$\therefore (x-4)(x+4+1)=0$,
$\therefore x-4=0$或$x+5=0$,
解得$x_1=4,x_2=-5$.
【知识点】
因式分解法解方程、等式的基本性质、一元二次方程求解
【点评】
本题主要考查用因式分解法解一元二次方程的注意事项，解题时切忌直接除以可能为0的整式，否则会出现丢根的错误，熟练掌握移项、提取公因式的方法即可正确求解。
【难度系数】
0.8
4.用因式分解法解下列方程：
(1)「2026 黑龙江大庆期末」$x^2 -8x=0.$
(2)「2026 甘肃定西期末」$2x(x-3)=x-3.$
(3)「2026 辽宁阜新期末」$2(x-3)^2=x^2-9.$
(4)「2026 辽宁沈阳期末」$(2x-1)^2=(x-3)^2.$
(1)「2026 黑龙江大庆期末」$x^2 -8x=0.$
(2)「2026 甘肃定西期末」$2x(x-3)=x-3.$
(3)「2026 辽宁阜新期末」$2(x-3)^2=x^2-9.$
(4)「2026 辽宁沈阳期末」$(2x-1)^2=(x-3)^2.$
答案
(1)$x(x-8)=0$,
解得$x_1=0,x_2=8$.
(2)移项,得$2x(x-3)-(x-3)=0$,
$\therefore (2x-1)(x-3)=0$,
$\therefore 2x-1=0$或$x-3=0$,
解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=3$.
(3)移项,得$2(x-3)^2-(x+3)(x-3)=0$,
$\therefore (x-3)(2x-6-x-3)=0$,
$\therefore (x-3)(x-9)=0$,
$\therefore x-3=0$或$x-9=0$,
解得$x_1=3,x_2=9$.
(4)移项,得$(2x-1)^2-(x-3)^2=0$,
$\therefore (2x-1+x-3)(2x-1-x+3)=0$,
$\therefore (3x-4)(x+2)=0,\therefore 3x-4=0$或$x+2=0$,
解得$x_1=\frac{4}{3},x_2=-2$.
解得$x_1=0,x_2=8$.
(2)移项,得$2x(x-3)-(x-3)=0$,
$\therefore (2x-1)(x-3)=0$,
$\therefore 2x-1=0$或$x-3=0$,
解得$x_1=\frac{1}{2},x_2=3$.
(3)移项,得$2(x-3)^2-(x+3)(x-3)=0$,
$\therefore (x-3)(2x-6-x-3)=0$,
$\therefore (x-3)(x-9)=0$,
$\therefore x-3=0$或$x-9=0$,
解得$x_1=3,x_2=9$.
(4)移项,得$(2x-1)^2-(x-3)^2=0$,
$\therefore (2x-1+x-3)(2x-1-x+3)=0$,
$\therefore (3x-4)(x+2)=0,\therefore 3x-4=0$或$x+2=0$,
解得$x_1=\frac{4}{3},x_2=-2$.
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为“几个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解，解题时注意不要随意两边除以含未知数的整式，避免漏根。
(1)观察方程左边两项有公因式x，直接提取公因式即可分解；
(2)先将右边的(x-3)移到方程左边，再提取公因式(x-3)分解；
(3)先将右边的x²-9用平方差公式分解为(x-3)(x+3)，再移项提取公因式(x-3)分解；
(4)先将右边的(x-3)²移到左边，整体用平方差公式分解因式即可。
【解析】
(1) 对左边提取公因式，得$x(x-8)=0$，
∴ $x=0$ 或 $x-8=0$，
解得 $x_1=0, x_2=8$。
(2) 移项，得 $2x(x-3)-(x-3)=0$，
提取公因式$(x-3)$，得 $(2x-1)(x-3)=0$，
∴ $2x-1=0$ 或 $x-3=0$，
解得 $x_1=\frac{1}{2}, x_2=3$。
(3) 先将右边分解因式：$x^2-9=(x-3)(x+3)$，
移项，得 $2(x-3)^2-(x+3)(x-3)=0$，
提取公因式$(x-3)$，得 $(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0$，
整理括号内的式子，得 $(x-3)(x-9)=0$，
∴ $x-3=0$ 或 $x-9=0$，
解得 $x_1=3, x_2=9$。
(4) 移项，得 $(2x-1)^2-(x-3)^2=0$，
用平方差公式分解，得 $(2x-1+x-3)(2x-1-x+3)=0$，
整理得 $(3x-4)(x+2)=0$，
∴ $3x-4=0$ 或 $x+2=0$，
解得 $x_1=\frac{4}{3}, x_2=-2$。
【答案】
(1) $x_1=0, x_2=8$；
(2) $x_1=\frac{1}{2}, x_2=3$；
(3) $x_1=3, x_2=9$；
(4) $x_1=\frac{4}{3}, x_2=-2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提公因式法因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
这几道题是因式分解法解一元二次方程的典型基础题，重点考察因式分解的常用方法，解题时需注意不要随意两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的情况，熟练掌握提公因式和平方差公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为“几个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为两个一元一次方程求解，解题时注意不要随意两边除以含未知数的整式，避免漏根。
(1)观察方程左边两项有公因式x，直接提取公因式即可分解；
(2)先将右边的(x-3)移到方程左边，再提取公因式(x-3)分解；
(3)先将右边的x²-9用平方差公式分解为(x-3)(x+3)，再移项提取公因式(x-3)分解；
(4)先将右边的(x-3)²移到左边，整体用平方差公式分解因式即可。
【解析】
(1) 对左边提取公因式，得$x(x-8)=0$，
∴ $x=0$ 或 $x-8=0$，
解得 $x_1=0, x_2=8$。
(2) 移项，得 $2x(x-3)-(x-3)=0$，
提取公因式$(x-3)$，得 $(2x-1)(x-3)=0$，
∴ $2x-1=0$ 或 $x-3=0$，
解得 $x_1=\frac{1}{2}, x_2=3$。
(3) 先将右边分解因式：$x^2-9=(x-3)(x+3)$，
移项，得 $2(x-3)^2-(x+3)(x-3)=0$，
提取公因式$(x-3)$，得 $(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0$，
整理括号内的式子，得 $(x-3)(x-9)=0$，
∴ $x-3=0$ 或 $x-9=0$，
解得 $x_1=3, x_2=9$。
(4) 移项，得 $(2x-1)^2-(x-3)^2=0$，
用平方差公式分解，得 $(2x-1+x-3)(2x-1-x+3)=0$，
整理得 $(3x-4)(x+2)=0$，
∴ $3x-4=0$ 或 $x+2=0$，
解得 $x_1=\frac{4}{3}, x_2=-2$。
【答案】
(1) $x_1=0, x_2=8$；
(2) $x_1=\frac{1}{2}, x_2=3$；
(3) $x_1=3, x_2=9$；
(4) $x_1=\frac{4}{3}, x_2=-2$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提公因式法因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
这几道题是因式分解法解一元二次方程的典型基础题，重点考察因式分解的常用方法，解题时需注意不要随意两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的情况，熟练掌握提公因式和平方差公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
5.解下列方程:①$3x^2 -27=0$;②$x^2 -3x -1=0$;③$(x+2)(x+4)=x+2$;④$2(3x-1)^2=3x-1$.最适当的解法是（
A.①直接开平方法,②配方法,③公式法,④因式分解法
B.①因式分解法,②公式法,③配方法,④直接开平方法
C.①直接开平方法,②③公式法,④因式分解法
D.①直接开平方法,②公式法,③④因式分解法
D
）A.①直接开平方法,②配方法,③公式法,④因式分解法
B.①因式分解法,②公式法,③配方法,④直接开平方法
C.①直接开平方法,②③公式法,④因式分解法
D.①直接开平方法,②公式法,③④因式分解法
答案
①$3x^2-27=0$,没有一次项,适合用直接开平方法；②$x^2-3x-1=0$,一次项系数为奇数,适合用公式法；③$(x+2)(x+4)=x+2$,方程两边都有因式$(x+2)$,适合用因式分解法;④$2(3x-1)^2=3x-1$,方程两边都有因式$(3x-1)$,适合用因式分解法.故选D.
解析
【分析】
要为一元二次方程选择最适当的解法，首先需明确各类解法的适用特征：1.直接开平方法适用于无一次项、可化为$x^2=a(a≥0)$或$(mx+n)^2=p(p≥0)$形式的方程；2.公式法适用于所有一元二次方程，尤其适合难以配方、难以因式分解的方程；3.因式分解法适用于方程一边为0，另一边易分解为两个一次因式乘积的情况，尤其是方程两边含有相同公因式的情况。接下来我们逐个分析4个方程的结构特征，匹配对应解法即可。
【解析】
我们逐个分析每个方程的最优解法：
①方程$3x^2-27=0$，移项化简后可得$x^2=9$，无一次项，符合直接开平方法的适用特征，故选择直接开平方法；
②方程$x^2-3x-1=0$为一元二次方程一般形式，各项系数无特殊性，一次项系数为奇数，用配方法计算会出现分数较为繁琐，也无法直接因式分解，因此最适合用公式法求解；
③方程$(x+2)(x+4)=x+2$，移项后可得$(x+2)(x+4)-(x+2)=0$，可提取公因式$(x+2)$转化为两个一次因式乘积为0的形式，因此最适合用因式分解法；
④方程$2(3x-1)^2=3x-1$，移项后可得$2(3x-1)^2-(3x-1)=0$，可提取公因式$(3x-1)$转化为两个一次因式乘积为0的形式，因此最适合用因式分解法。
综上，对应解法匹配的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法选择；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题核心考查一元二次方程不同解法的适用场景，解题关键是观察方程的结构特征，灵活选择最简便的解法，熟练掌握各类解法的特点可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要为一元二次方程选择最适当的解法，首先需明确各类解法的适用特征：1.直接开平方法适用于无一次项、可化为$x^2=a(a≥0)$或$(mx+n)^2=p(p≥0)$形式的方程；2.公式法适用于所有一元二次方程，尤其适合难以配方、难以因式分解的方程；3.因式分解法适用于方程一边为0，另一边易分解为两个一次因式乘积的情况，尤其是方程两边含有相同公因式的情况。接下来我们逐个分析4个方程的结构特征，匹配对应解法即可。
【解析】
我们逐个分析每个方程的最优解法：
①方程$3x^2-27=0$，移项化简后可得$x^2=9$，无一次项，符合直接开平方法的适用特征，故选择直接开平方法；
②方程$x^2-3x-1=0$为一元二次方程一般形式，各项系数无特殊性，一次项系数为奇数，用配方法计算会出现分数较为繁琐，也无法直接因式分解，因此最适合用公式法求解；
③方程$(x+2)(x+4)=x+2$，移项后可得$(x+2)(x+4)-(x+2)=0$，可提取公因式$(x+2)$转化为两个一次因式乘积为0的形式，因此最适合用因式分解法；
④方程$2(3x-1)^2=3x-1$，移项后可得$2(3x-1)^2-(3x-1)=0$，可提取公因式$(3x-1)$转化为两个一次因式乘积为0的形式，因此最适合用因式分解法。
综上，对应解法匹配的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法选择；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题核心考查一元二次方程不同解法的适用场景，解题关键是观察方程的结构特征，灵活选择最简便的解法，熟练掌握各类解法的特点可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
6.用合适的方法解下列方程：
(1)$x^2 + 8x - 1 = 0$.
(2)$2x^2 + 3 = 7x$.
(3)$9(x+1)^2 = (2x-5)^2$.
(4)$(x+2)^2 - 10(x+2) + 25 = 0$.
(1)$x^2 + 8x - 1 = 0$.
(2)$2x^2 + 3 = 7x$.
(3)$9(x+1)^2 = (2x-5)^2$.
(4)$(x+2)^2 - 10(x+2) + 25 = 0$.
答案
(1)$\because x^2+8x-1=0,\therefore x^2+8x=1$,
$\therefore x^2+8x+16=17,\therefore (x+4)^2=17,\therefore x+4=\pm\sqrt{17}$,
$\therefore x_1=-4+\sqrt{17},x_2=-4-\sqrt{17}$.
(2)整理得$2x^2-7x+3=0$,则$a=2,b=-7,c=3$,
$\therefore \Delta =b^2-4ac=25＞0$,
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{7\pm5}{4},\therefore x_1=\frac{1}{2},x_2=3$.
(3)$\because 9(x+1)^2=(2x-5)^2,\therefore 3(x+1)=\pm(2x-5)$,
即$3(x+1)=2x-5$或$3(x+1)=-(2x-5)$,
$\therefore x_1=-8,x_2=\frac{2}{5}$.
(4)$\because (x+2)^2-10(x+2)+25=0$,
$\therefore [(x+2)-5]^2=0$,即$(x-3)^2=0,\therefore x_1=x_2=3$.
$\therefore x^2+8x+16=17,\therefore (x+4)^2=17,\therefore x+4=\pm\sqrt{17}$,
$\therefore x_1=-4+\sqrt{17},x_2=-4-\sqrt{17}$.
(2)整理得$2x^2-7x+3=0$,则$a=2,b=-7,c=3$,
$\therefore \Delta =b^2-4ac=25＞0$,
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{7\pm5}{4},\therefore x_1=\frac{1}{2},x_2=3$.
(3)$\because 9(x+1)^2=(2x-5)^2,\therefore 3(x+1)=\pm(2x-5)$,
即$3(x+1)=2x-5$或$3(x+1)=-(2x-5)$,
$\therefore x_1=-8,x_2=\frac{2}{5}$.
(4)$\because (x+2)^2-10(x+2)+25=0$,
$\therefore [(x+2)-5]^2=0$,即$(x-3)^2=0,\therefore x_1=x_2=3$.
解析
【分析】
解一元二次方程需根据方程的结构特征灵活选择最优解法：
(1)该方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法，先移项将常数项移到等号右侧，再给等式两边加一次项系数一半的平方配成完全平方式，最后开方求解；
(2)先整理为一元二次方程的一般形式，选用公式法求解，先确定a、b、c的取值，计算判别式判断根的存在性，再代入求根公式计算即可；
(3)方程左右两边均为完全平方形式，适合用直接开平方法，开平方后得到两个一元一次方程，分别求解即可；
(4)将$(x+2)$看作整体，左侧符合完全平方公式的结构，适合用因式分解法，利用完全平方公式因式分解后求解。
【解析】
(1) 对$x^2 + 8x - 1 = 0$移项得：$x^2+8x=1$，
配方得：$x^2+8x+16=1+16$，即$(x+4)^2=17$，
开平方得：$x+4=\pm\sqrt{17}$，
解得：$x_1=-4+\sqrt{17},x_2=-4-\sqrt{17}$。
(2) 对$2x^2 + 3 = 7x$移项整理得：$2x^2-7x+3=0$，
其中$a=2,b=-7,c=3$，
计算判别式：$\Delta =b^2-4ac=(-7)^2-4×2×3=25＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{7\pm5}{4}$，
解得：$x_1=\frac{1}{2},x_2=3$。
(3) 对$9(x+1)^2 = (2x-5)^2$两边开平方得：$3(x+1)=\pm(2x-5)$，
分两种情况计算：
①$3(x+1)=2x-5$，去括号得$3x+3=2x-5$，解得$x=-8$；
②$3(x+1)=-(2x-5)$，去括号得$3x+3=-2x+5$，移项合并得$5x=2$，解得$x=\frac{2}{5}$；
即$x_1=-8,x_2=\frac{2}{5}$。
(4) 对$(x+2)^2 - 10(x+2) + 25 = 0$，将$(x+2)$看作整体因式分解得：$[(x+2)-5]^2=0$，
化简得：$(x-3)^2=0$，
解得：$x_1=x_2=3$。
【答案】
(1)$x_1=-4+\sqrt{17},x_2=-4-\sqrt{17}$
(2)$x_1=\frac{1}{2},x_2=3$
(3)$x_1=-8,x_2=\frac{2}{5}$
(4)$x_1=x_2=3$
【知识点】
一元二次方程的解法、配方法、因式分解法
【点评】
本题侧重考查一元二次方程不同解法的灵活运用，根据方程特征选择简便的解法，能够有效提升解题效率、降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.75
解一元二次方程需根据方程的结构特征灵活选择最优解法：
(1)该方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法，先移项将常数项移到等号右侧，再给等式两边加一次项系数一半的平方配成完全平方式，最后开方求解；
(2)先整理为一元二次方程的一般形式，选用公式法求解，先确定a、b、c的取值，计算判别式判断根的存在性，再代入求根公式计算即可；
(3)方程左右两边均为完全平方形式，适合用直接开平方法，开平方后得到两个一元一次方程，分别求解即可；
(4)将$(x+2)$看作整体，左侧符合完全平方公式的结构，适合用因式分解法，利用完全平方公式因式分解后求解。
【解析】
(1) 对$x^2 + 8x - 1 = 0$移项得：$x^2+8x=1$，
配方得：$x^2+8x+16=1+16$，即$(x+4)^2=17$，
开平方得：$x+4=\pm\sqrt{17}$，
解得：$x_1=-4+\sqrt{17},x_2=-4-\sqrt{17}$。
(2) 对$2x^2 + 3 = 7x$移项整理得：$2x^2-7x+3=0$，
其中$a=2,b=-7,c=3$，
计算判别式：$\Delta =b^2-4ac=(-7)^2-4×2×3=25＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{7\pm5}{4}$，
解得：$x_1=\frac{1}{2},x_2=3$。
(3) 对$9(x+1)^2 = (2x-5)^2$两边开平方得：$3(x+1)=\pm(2x-5)$，
分两种情况计算：
①$3(x+1)=2x-5$，去括号得$3x+3=2x-5$，解得$x=-8$；
②$3(x+1)=-(2x-5)$，去括号得$3x+3=-2x+5$，移项合并得$5x=2$，解得$x=\frac{2}{5}$；
即$x_1=-8,x_2=\frac{2}{5}$。
(4) 对$(x+2)^2 - 10(x+2) + 25 = 0$，将$(x+2)$看作整体因式分解得：$[(x+2)-5]^2=0$，
化简得：$(x-3)^2=0$，
解得：$x_1=x_2=3$。
【答案】
(1)$x_1=-4+\sqrt{17},x_2=-4-\sqrt{17}$
(2)$x_1=\frac{1}{2},x_2=3$
(3)$x_1=-8,x_2=\frac{2}{5}$
(4)$x_1=x_2=3$
【知识点】
一元二次方程的解法、配方法、因式分解法
【点评】
本题侧重考查一元二次方程不同解法的灵活运用，根据方程特征选择简便的解法，能够有效提升解题效率、降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.75
7.「2026广西南宁月考，★☆」三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程$x^2 -7x +12=0$的一个根，则这个三角形的周长是（
A.9
B.12
C.13
D.12或13
C
）A.9
B.12
C.13
D.12或13
答案
由方程$x^2-7x+12=0$,得$(x-3)(x-4)=0$,
$\therefore x-3=0$或$x-4=0$,解得$x_1=3,x_2=4$.
当第三条边长为3时,$3+3=6$,不能构成三角形;当第三条边长为4时,三角形的周长是$3+6+4=13$.故选C.
$\therefore x-3=0$或$x-4=0$,解得$x_1=3,x_2=4$.
当第三条边长为3时,$3+3=6$,不能构成三角形;当第三条边长为4时,三角形的周长是$3+6+4=13$.故选C.
解析
【分析】
本题需要结合一元二次方程的求解与三角形三边关系解题，解题思路分为三步：第一步先求解给定的一元二次方程，得到第三边可能的长度；第二步根据三角形“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的性质，对求出的根进行验证，舍去不符合构成三角形条件的根；第三步用符合条件的第三边长计算三角形的周长即可。
【解析】
首先解方程$x^2 -7x +12=0$，对左边因式分解得：
$(x-3)(x-4)=0$
$\therefore x-3=0$ 或 $x-4=0$，解得$x_1=3$，$x_2=4$，即第三边的长可能为3或4。
接下来验证能否构成三角形：
① 当第三边长为3时，三边为3、3、6，此时$3+3=6$，不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去该值；
② 当第三边长为4时，三边为3、6、4，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时三角形的周长为$3+6+4=13$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础综合题，易错点是求解一元二次方程后直接代入计算周长，忽略三角形三边关系的验证，导致误选D选项，解题时要注意结合实际限制条件对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
本题需要结合一元二次方程的求解与三角形三边关系解题，解题思路分为三步：第一步先求解给定的一元二次方程，得到第三边可能的长度；第二步根据三角形“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的性质，对求出的根进行验证，舍去不符合构成三角形条件的根；第三步用符合条件的第三边长计算三角形的周长即可。
【解析】
首先解方程$x^2 -7x +12=0$，对左边因式分解得：
$(x-3)(x-4)=0$
$\therefore x-3=0$ 或 $x-4=0$，解得$x_1=3$，$x_2=4$，即第三边的长可能为3或4。
接下来验证能否构成三角形：
① 当第三边长为3时，三边为3、3、6，此时$3+3=6$，不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去该值；
② 当第三边长为4时，三边为3、6、4，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时三角形的周长为$3+6+4=13$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础综合题，易错点是求解一元二次方程后直接代入计算周长，忽略三角形三边关系的验证，导致误选D选项，解题时要注意结合实际限制条件对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.7
